坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程

1、整理課件,1,直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系,整理課件,2,目標(biāo)在哪？,在以為X軸 以為Y軸， 坐標(biāo)是.,整理課件,3,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,請問：去融安 二中怎么走？,整理課件,4,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,腦子 進(jìn)水了？,整理課件,5,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,精神?。?整理課件,6,從這向北向 東南方向 3000米。,請問：去融安 二中怎么走？,整理課件,7,請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？,從這向東南走3000米！,出發(fā)點,方向,距離,在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。,整理課件,8,

2、極坐標(biāo)系的建立：,在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點。,引一條射線OX，叫做極軸。,再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。,這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。,O,整理課件,9,極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定,對于平面上任意一點M，用 表示線段OM的長度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點M的極徑， 叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標(biāo)。,特別強調(diào)：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,整理課件,10,題組一:說出下圖中各點的極坐標(biāo),整理課件,11,平面上一點的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種

3、表示方法？ 坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？,特別規(guī)定： 當(dāng)M在極點時，它的極坐標(biāo)=0，可以取任意值。,想一想？,整理課件,12,點的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究,如圖：OM的長度為4，,請說出點M的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式。,思考：這些極坐標(biāo)之間有何異同？,思考：這些極角有何關(guān)系？,這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。,本題點M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：,極徑相同，不同的是極角,整理課件,13,題組二:在極坐標(biāo)系里描出下列各點:,整理課件,14,整理課件,15,極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況,1給定（,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點M。,2給定平

4、面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)。,原因在于：極角有無數(shù)個。,整理課件,16,一般地,若(,)是一點的極坐標(biāo),則(,+2k)、都可以作為它的極坐標(biāo).,如果限定0,02或 ,那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了.,整理課件,17,2.在極坐標(biāo)系中,與(,)關(guān)于極軸對稱的點是( ),A.(,) B.(, ) C.(,) D.(,),A,B,題組三 1. 在極坐標(biāo)系中，與點 (3, )重合的點是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),整理課件,18,極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,整理課件,19,整理課件,20,在直角坐標(biāo)系中, 以原點作為極點, x軸

5、的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相 同的長度單位,點M的直角坐標(biāo)為,設(shè)點M的極坐標(biāo)為(,),整理課件,21,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:,設(shè)點M的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是 (,),x=cos, y=sin,整理課件,22,互化公式的三個前提條件： 1. 極點與直角坐標(biāo)系的原點重合; 2. 極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸 重合; 3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.,整理課件,23,例1. 將點M的極坐標(biāo) 化成直角坐標(biāo).,整理課件,24,已知下列點的極坐標(biāo)，求它們的直 角坐標(biāo)。,整理課件,25,例2. 將點M的直角坐標(biāo) 化成極坐標(biāo).,整理課件,26,練習(xí): 已知點的直角坐標(biāo), 求它

6、們 的極坐標(biāo).,整理課件,27,直線的極坐標(biāo)方程,整理課件,28,思考：在平面直角坐標(biāo)系中,1、過點(3,0)且與x軸垂直的直線方程為 ;過點(3,3)且與x軸垂直的直線方程為,x=3,x=3,2、過點（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_,x=a,特點：所有點的橫坐標(biāo)都是一樣，縱坐標(biāo)可以取任意值。,整理課件,29,答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動點的坐標(biāo)與之間的關(guān)系，然后列出方程(,)=0 ，再化簡并討論。,怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？,整理課件,30,例題1：求過極點，傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一點的極角都是 ，其,極徑可以取任意的

7、非負(fù)數(shù)。故所求,直線的極坐標(biāo)方程為,整理課件,31,1、求過極點，傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程。,易得,思考：,2、求過極點，傾角為 的直線的極坐標(biāo)方程。,整理課件,32,和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？,為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為,或,整理課件,33,例題2:求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。,解：如圖，設(shè)點,為直線L上除點A外的任意一點，連接OM,在 中有,即,可以驗證，點A的坐標(biāo)也滿足上式。,整理課件,34,求直線的極坐標(biāo)方

8、程步驟,1、據(jù)題意畫出草圖；,2、設(shè)點 是直線上任意一點；,3、連接MO；,4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方程,并化簡；,5、檢驗并確認(rèn)所得的方程即為所求。,整理課件,35,練習(xí)：設(shè)點A的極坐標(biāo)為A ,直線 過點A且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標(biāo)方程。,解：如圖，設(shè)點,為直線 上異于的點,連接OM，,在 中有,即,顯然A點也滿足上方程。,整理課件,36,例題3設(shè)點P的極坐標(biāo)為 ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標(biāo)方程。,整理課件,37,則 由點P的極坐標(biāo)知,由正弦定理得,顯然點P的坐標(biāo)也是它的解。,整理課件,38,直線的幾種極坐標(biāo)方程,1、過極點,2、過某個定點，且垂直于極

9、軸,3、過某個定點，且與極軸成一定的角度,整理課件,39,圓的極坐標(biāo)方程,整理課件,40,探究,如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？,x,C(a,0),O,A,=2acos ,整理課件,41,例1已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？, =r,整理課件,42,練習(xí)1,求下列圓的極坐標(biāo)方程 （）中心在極點，半徑為； （）中心在（， ），半徑為； （）中心在（，2），半徑為；,2,-2acos ,2asin ,整理課件,43,極坐標(biāo)方程分別是cos和 sin的兩個圓的圓心距是多少,練習(xí)2,整理課件,4

10、4,參數(shù)方程的概念：,整理課件,45,參數(shù)方程的概念：,物資投出機(jī)艙后，它的運動由下列兩種運動合成：,（1）沿ox作初速為100m/x的勻速直線運動； （2）沿oy反方向作自由落體運動。,整理課件,46,一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即 并且對于t 的每一個允值， 由方程組 所確定的點M(x,y)都在這條直線上，那么方程組 就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。 相對于參數(shù)方程來說，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。,整理課件,47,圓的參數(shù)方程,整理課件,48,練習(xí): 如圖，已知點P是半徑是2的圓O

11、上的一個動點，點Q是x軸上的定點，坐標(biāo)為（6，0）.當(dāng)點P在圓上運動時,線段PQ的中點M的軌跡是什么?,整理課件,49,解: 設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y).因為圓O的參數(shù)方程為,所以 可設(shè)點P的坐標(biāo)為(2cos , 2sin ).由線段中點坐標(biāo)公式得點M的軌跡的參數(shù)方程為,整理課件,50,整理課件,51,參數(shù)方程和普通方程 的互化,整理課件,52,（1）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù),如：直線L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程,（t為參數(shù)）,在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化為參數(shù)方程,（為參數(shù)）,整理課件,53,（2）參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方

12、程,如：參數(shù)方程,消去參數(shù),可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.,可得普通方程：y=2x-4,通過代入消元法消去參數(shù)t ,（x0）,注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的.,整理課件,54,例: 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明 它們各表示什么曲線？,整理課件,55,例:,整理課件,56,整理課件,57,橢圓 的參數(shù)方程為：,整理課件,58,練習(xí):1.把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程（口答）,。,整理課件,59,練習(xí),整理課件,60,（1）當(dāng)參數(shù)R時，化為普通方程是_. （2）當(dāng)參數(shù)0，時，化為普通方程是_.,（1）(x-1)2+(y+3)2=4；,4、在參數(shù)方程,中，,練習(xí)