完整版)洛必達(dá)法則詳述與其在高考中的實(shí)際運(yùn)用

1、L Hospital法則(洛必達(dá)法則)法則1設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域 u (a,d)內(nèi)有定義，且 滿足:llrnif(x)= 及 xmg(x)=o ；of (x)和 g(x)在u (a,d)內(nèi)可導(dǎo)，且 gX) 1 0 ；呢品=A(A為常數(shù)，或?yàn)楹莿t有 limfA = |imfJ(x)= A。 x a g xx? a g (x)o法則2設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域 U (a,d)內(nèi)有定義，且 滿足:(i)lim g x ;x ao f (x)和 g(x)在u (a,d)內(nèi)可導(dǎo)，且 g(x) 1 0 ；lim O=A (A為常數(shù)，或?yàn)閟) x?a gg)則有利

2、用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意:1.將上面公式中的 xt a,xis換成 xs, xt-s, x?+a，x? a洛必達(dá)法則也成立。2洛必達(dá)法則可處理0，, 0 , 1 ,0I型。，1 ，就不能用洛必達(dá)法則，這3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0，, 00定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí), 時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。型:lim xlnx= lim+-lnx（化為一型）x? +X? + 1X=lim 一=（化為型，但無(wú)法求解） X? +1In xlim （tanx

3、- secx）= lim sinx 1 = lim cosx =（通分后化為 型） x?2x?2 cosxx?2-sinx1 型:型: 型:1xm（cosxFIn cos x limX? x2=e-sin x lim 一 x? COSX忽X=e=e 2（化為型）0.1.1ln x 1sinlim sin 粕 x limlimlim x X = eX?+x =eX?+ x =ex?+ x=1（化為一型）x? + sinxX?m+ xlim竺:? + cscxlim:? x（- cscxcot x）limx? +=esin xtan xx=1（化為一型）變形舉例：lim X =x? - 1 + X

4、2=-1（不變形求導(dǎo)無(wú)法求出0 故 f (x)在(,0)x 2ax (1 2a)x，f (0)0，時(shí)，x (0,ln 2a)時(shí)，原解在處理第(II)時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下:另解：(II )當(dāng)x 0時(shí)，f (x)0，對(duì)任意實(shí)數(shù) a均在f (x)0 ；二.高考題處理1.(2010年全國(guó)新課標(biāo)理 股函數(shù)f(x) ex 1 x ax2。(1) 若a 0，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若當(dāng)x 0時(shí)f(x) 0，求a的取值范圍原解：(1) a 0 時(shí)，f(x) ex 1 x， f (x) ex 1.當(dāng) x (,0)時(shí)，f(x)0 ；當(dāng) x (0,)時(shí)，f(x)單調(diào)減，在(0,)單調(diào)增(II

5、) f (x) ex 12ax由知ex 1 x，當(dāng)且僅當(dāng)x 0時(shí)等號(hào)成立故f (x)1從而當(dāng)1 2a 0,即a 時(shí)，f(x)0 (x 0)，而于是當(dāng)x 0時(shí)，f(x) 0.1 由 ex 1 x(x 0)可得 ex 1 x(x 0).從而當(dāng) a - f (x) ex 1 2a(ex 1) e x(ex 1)(ex 2a)，故當(dāng) x (0,l n 2a)時(shí)，f (x) 0,而 f (0) 0，于是當(dāng) f (x)0.綜合得a的取值范圍為x0 時(shí)，f (x)0等價(jià)于ae x2xxxxx 1x 2 x令 g x2(x0),則 g (x)3xxXX令 h x xg2gx 2 x 0 ，則hXXXee 1 , h XXe0，知hX在0,上為增函數(shù)，h X h 00 ；知hX在0,上為增函