力的保守性具有伽利略變換的不變性

1、4.力的保守性具有伽利略變換的不變性李學(xué)生 （山東大學(xué)物理學(xué)院 山東濟(jì)南 250100）摘要：通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)驗(yàn)證了保守力經(jīng)過伽利略變換后仍然是保守力，加深了對(duì)“力是伽利略變換的不變量”的理解，證明了慣性力都是保守力。 關(guān)鍵詞：保守力；顯含時(shí)間的力場；相對(duì)性原理；伽利略變換不變性；慣性力中圖分類號(hào)：O 313.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A現(xiàn)在的力學(xué)教材都是利用環(huán)路積分為0定義保守力的，文獻(xiàn)18指出如果力的保守性可隨參照系而變，那么在不同的慣性系中做關(guān)于某力的保守性的物理實(shí)驗(yàn)，將可根據(jù)該力在一慣性系中做功是否與路徑有關(guān)，從而判斷該慣性系相對(duì)施加該力的作為另一慣性系的物體是否在運(yùn)動(dòng)這是相對(duì)性原理不能允許的。力是

2、伽利略變換的不變量就不成立了，經(jīng)典力學(xué)理論本身就出現(xiàn)了矛盾。顯含時(shí)間力場的定義：對(duì)于力F=F（r，t），如果時(shí)間t不能通過恒等變換消去，只能表示為位置和時(shí)間的二元函數(shù)，或者說力F對(duì)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不恒等于0，那么力F就是一個(gè)顯含時(shí)間的力場或者說是一個(gè)不穩(wěn)定場。定理：在兩個(gè)相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系o、O1中，如果o系中力f是保守力，那么在O1系中該力F=f也是保守力。證明：設(shè)0時(shí)刻慣性系o、O1完全重合，且O1系相對(duì)于o系以正常數(shù)u的勻速開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)t時(shí)刻，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在慣性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分別為：r，v，a，f，w，在O1系中分別為：R，V，A，F(xiàn)，W，則據(jù)微分運(yùn)算有R=

3、r-ut，V=v-u，A=a-0=a，F(xiàn)=mA=ma=f； (1)dR=Vdt=vdt-udt=dr-udt。 (2)dW=FdR=f(dr-udt)=fdr-umadt=dw-mudv=dw-md(uv)， （3）=-d(uv)，W=w-muv+muv0。 （4）由dv=adt和dr=vdt知，W=w-muv+muv0=w1(t)-muq(t)+muv0=j(t)， (5)由于R=r-ut=r(t) -ut=(t) (6)是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)刻的速度都是唯一存在的，因此R=(t)也是可導(dǎo)函數(shù)，如果該函數(shù)出現(xiàn)常值函數(shù)區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)靜止，受到的力是0，不是顯含時(shí)間的力，下面不研究這個(gè)

4、區(qū)間，去掉該常值函數(shù)區(qū)間，該函數(shù)的極值點(diǎn)可以把它劃分為若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，設(shè)D是該函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)反函數(shù)的定義在該區(qū)間上存在反函數(shù)t=-1(R)，在區(qū)間D上W=j(t)=j1(R)是位置的函數(shù)，對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)等于0，F(xiàn)是保守力。由于在任意單調(diào)區(qū)間上成立，所以該結(jié)論在任何位置都成立，F(xiàn)=mA=ma=f是O1系中的保守力。另證：F（r）=F1（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=(t)是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)刻的速度都是唯一存在的，因此R=(t)是可導(dǎo)函數(shù)，如果該函數(shù)出現(xiàn)常值函數(shù)區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到的力是恒力，不是顯含時(shí)間的力，下面不研究這個(gè)區(qū)間，去掉該常值

5、函數(shù)區(qū)間，該函數(shù)的極值點(diǎn)可以把它劃分為若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，設(shè)D是該函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)反函數(shù)的定義在該區(qū)間上存在反函數(shù)t=-1(R)，所以F（r）=F1（R -ut）= F1（R -u-1(R)= F2（R） (7)仍然是位置的一元函數(shù)，對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)等于0，不是顯含時(shí)間的力。有些文獻(xiàn)3僅僅從F=f（r）=F1（R-ut）出發(fā)得出顯含時(shí)間的力，其實(shí)經(jīng)過數(shù)學(xué)變換可以消去時(shí)間t，力經(jīng)過伽利略變換后仍然可以表示為位置的函數(shù)，此時(shí)只能說是隱含時(shí)間的一元函數(shù)，文獻(xiàn)9的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。不要認(rèn)為在力的解析式中有時(shí)間變量就認(rèn)為一定是顯含時(shí)間的力場，必須分析一下能否消去變量t，表示為位置的一元函數(shù)，例如當(dāng)把彈

6、簧振子固定在地面上時(shí)，在地面系觀察彈力F=-kx=-kx-kAsin(t+），但不是顯含時(shí)間的力場，否則地面系機(jī)械能也不守恒。只要力不是顯含時(shí)間的力，場也不是顯含時(shí)間的力場。 從分析力學(xué)角度來看，只要所研究系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間，系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒，與矢量力學(xué)的結(jié)論完全一致，因?yàn)楦鶕?jù)dEp=（-f）dr可知只有力場顯含時(shí)間，勢(shì)能才能顯含時(shí)間，從而機(jī)械能顯含時(shí)間。力場顯含時(shí)間是指場的坐標(biāo)含有時(shí)間參量t，r是指質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，含有時(shí)間參量t是必然的，通過坐標(biāo)變換可以完全消去，不叫做顯含時(shí)間。由于牛頓力學(xué)適用于絕對(duì)時(shí)空，因此場或者力的坐標(biāo)必須是相對(duì)于力源靜止坐標(biāo)系里的坐標(biāo)(因此力是伽

7、利略變換的不變量包括力場的性質(zhì)不變)，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)是觀察者坐標(biāo)系里的坐標(biāo)，這一點(diǎn)和相對(duì)論不同，在相對(duì)論中場的坐標(biāo)和質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)都是觀察者坐標(biāo)系里的坐標(biāo)，伽利略變換和洛倫茲變換在這一點(diǎn)上是有區(qū)別的，不能僅僅看做是洛倫茲變換的低速近似，伽利略變換只研究質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)，不研究場（或者力）的坐標(biāo)。朗道的書力學(xué)中說，在慣性參考系中自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，由于時(shí)間和空間的均勻性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間和廣義坐標(biāo)和速度的方向。保守力利用環(huán)路積分為0定義，注意這里的環(huán)路積分是對(duì)于同一個(gè)坐標(biāo)系而言，而不是同一個(gè)參照系。參照系和坐標(biāo)系有時(shí)是相同的，有時(shí)可以不同。例如在一個(gè)相對(duì)于地面勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上放一塊小木塊，

8、小木塊在滑動(dòng)摩擦力的作用下，從皮帶的A點(diǎn)向后運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，然后和皮帶一起運(yùn)動(dòng)一段距離，在某一個(gè)時(shí)刻皮帶突然停止，小木塊由于慣性向前運(yùn)動(dòng)，在滑動(dòng)摩擦力的作用下從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，如果以皮帶為參照系，小木塊受到摩擦力的環(huán)路積分為0，滑動(dòng)摩擦力成為了保守力?？墒切∧緣K的動(dòng)能不變，內(nèi)能增加，能量守恒定律不成立。在這里問題的癥結(jié)在于皮帶這個(gè)參照系其實(shí)代表兩個(gè)慣性系，開始時(shí)相對(duì)于地面勻速運(yùn)動(dòng)，后來相對(duì)于地面靜止，其實(shí)對(duì)于其中任何一個(gè)慣性系小木塊都沒有形成環(huán)路。在這里參照系和慣性系不是一回事，這個(gè)問題搞不明白，容易出錯(cuò)，把耗散力變成保守力，也可以把保守力變成非保守力，文獻(xiàn)10就是出現(xiàn)類似錯(cuò)誤。 下面以簡諧振動(dòng)為

9、例說明一下這個(gè)情況假設(shè)彈簧振子固定在地面上，小車相對(duì)于地面的速度為u，取簡化假設(shè)k=1，u=1，m=1， A=， ，在地面上看小球的坐標(biāo)隨時(shí)間變化是 （8）小車上看小球的坐標(biāo)的變化是 （9）小球往程出發(fā)時(shí)（t=0）的坐標(biāo)是x（0）= x（0）=0，那么在地面上看，從（8）式顯然可見，在時(shí)間0t/2中，小球的坐標(biāo)x隨著時(shí)間t增加，直至t=/2，x（t）達(dá)到最大值/2。在小車上看，從（9）式容易證明，在時(shí)間0tarccos(2/)內(nèi)x隨著時(shí)間t增加，直至t= arccos(2/)，此時(shí)x（t）達(dá)到最大值 （10） 然后x（t）隨著時(shí)間減小，至?xí)r間t=/2， 達(dá)到x=0，即回到出發(fā)點(diǎn)。兩者比較，由于

10、arccos(2/)/2， 所以在小車上看小球達(dá)到（4)式所表示的最大坐標(biāo)xmax時(shí)，地面上看小球還未達(dá)到它的振幅呢！而當(dāng)在小車上看，小球已經(jīng)從最大坐標(biāo)值回到出發(fā)點(diǎn)x=0時(shí)（t=/2），地面上的觀察者看到小球正好第一次達(dá)到它的振幅。所以，在小車上看，小球在時(shí)間0到/2內(nèi)完成了一個(gè)往返。力的往返路徑積分是 (11)這等式的等號(hào)右邊兩個(gè)積分的被積力函數(shù)和有不同的函數(shù)形式。因?yàn)椋瑢⒋耸酱胧?11)得 (12) 兩個(gè)積分的被積函數(shù)中的項(xiàng)可以互相抵消，但是作為的函數(shù)是函數(shù)（t）的反函數(shù)，在的區(qū)間和中的表示式是不同的，分別記為和，它們不能相互抵消，所以Q2不是零。具體計(jì)算就是：從(11)出發(fā)。注意到在（

11、11）中，積分的自變量是x，其往程和返程的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在xmax，由（10）式表示?，F(xiàn)在做變量代換x=x-ut ，往程和返程的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就要用xmax所對(duì)應(yīng)的x和t來表示了。上面式（9）和式（10）之間的文字已經(jīng)說明，往程和返程的時(shí)間轉(zhuǎn)折點(diǎn)是 arcos(2/)，而根據(jù)（8）得此時(shí)x達(dá)到，此即轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x值。所以（11）式化為= (13)因?yàn)樗陨鲜交癁?！上面計(jì)算過程錯(cuò)誤的根源在于理解為質(zhì)點(diǎn)在相對(duì)空間里運(yùn)動(dòng)，時(shí)間卻是絕對(duì)時(shí)間，既不是伽利略變換也不是洛倫茲變換，在經(jīng)典力學(xué)中研究問題必須在同一個(gè)時(shí)空里討論。文獻(xiàn)11認(rèn)為勢(shì)函數(shù)不僅僅與位置有關(guān)，還和速度有關(guān)，其實(shí)經(jīng)過數(shù)學(xué)變換可以消去速度，表示為位置的函數(shù)

12、。力是伽利略變換的不變量是指各個(gè)慣性系里的觀察者在同一個(gè)力場中研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。文獻(xiàn)12分析了慣性力的性質(zhì)，證明了慣性力是保守力，根據(jù)愛因斯坦的觀點(diǎn)：慣性力等價(jià)于引力場，因此也是保守力?；蛘呒僭O(shè)愛因斯坦的廣義相對(duì)性原理成立，那么能量守恒定律在所有參照系成立，只要一個(gè)物理過程在慣性系能量守恒，在非慣性系也一定守恒，也可以證明慣性力是保守力。文獻(xiàn)13說明對(duì)于慣性力是否是保守力，需要單獨(dú)證明，下面給出一個(gè)數(shù)學(xué)證明，證明慣性力不是顯含時(shí)間的力。證明：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在慣性系的加速度為a1，慣性加速度為a2，此時(shí)對(duì)于質(zhì)點(diǎn)dv/dt= a1+ a2=a(t)，所以質(zhì)點(diǎn)的速度是時(shí)間t的函數(shù)v=f(t)，ds/dt

13、=f(t)，位移也是時(shí)間t的函數(shù)s=(t)，是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)刻的速度都是唯一存在的，因此s=(t)也是可導(dǎo)函數(shù)， 如果該函數(shù)出現(xiàn)常值函數(shù)區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)靜止，受到的力是0，不是顯含時(shí)間的力，下面不研究這個(gè)區(qū)間，去掉該常值函數(shù)區(qū)間，該函數(shù)的極值點(diǎn)可以把它劃分為若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，設(shè)D是該函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)反函數(shù)的定義在該區(qū)間上存在反函數(shù)t=-1(s)，這樣a=a(-1(s)，慣性力F=ma(-1(s)與時(shí)間t無關(guān)，不是顯含時(shí)間的力，也不是耗散力，是一個(gè)保守力。只有力的大小是位移和時(shí)間的二元函數(shù)，并且時(shí)間t不能被消元的話，才是顯含時(shí)間的力。文獻(xiàn)14列舉的實(shí)例也可以消去時(shí)間t，不

14、是顯含時(shí)間的力。文獻(xiàn)15證明了慣性離心力也是一個(gè)保守力，給出了離心力勢(shì)能公式=I=mr2，文獻(xiàn)16證明了在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中某位置的離心力勢(shì)能的表達(dá)式為=-m2r2，r=0時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)。文獻(xiàn)1720證明了直線勻加速度參考坐標(biāo)系和勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系，其慣性力為保守力，對(duì)于直線非勻加速度參考坐標(biāo)系和非勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系，其慣性力顯含時(shí)間為非保守力是錯(cuò)誤的，此時(shí)是隱含時(shí)間的力，通過變換可以消去時(shí)間t，此時(shí)慣性力也是保守力。文獻(xiàn)21認(rèn)為除了牽連慣性力是非保守力，其他慣性力是保守力，也是同樣的錯(cuò)誤。文獻(xiàn)22證明了非勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系機(jī)械能守恒定律也成立，即此時(shí)慣性力也是保守力。其實(shí)

15、對(duì)于直線非勻加速度參考坐標(biāo)系慣性力也是一個(gè)保守力，例如假設(shè)在一部變加速上升（加速度a=a(t)）的電梯內(nèi)觀察一個(gè)自由降落的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)受到重力和一個(gè)慣性力，慣性力的大小是時(shí)間t的函數(shù)，如果慣性力是顯含時(shí)間的力非保守力，會(huì)觀測(cè)到質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能不守恒，能量來自哪里呢？文獻(xiàn)2324的錯(cuò)誤類似，不再分析。文獻(xiàn)25利用慣性力勢(shì)能解決了一個(gè)問題。文獻(xiàn)26認(rèn)為機(jī)械能的哈密頓量是位置坐標(biāo)的函數(shù)，在進(jìn)行該位置坐標(biāo)上的坐標(biāo)變換時(shí)總會(huì)攜帶時(shí)間，導(dǎo)致其哈密頓量對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)不為0，是完全錯(cuò)誤的，通過上面的分析可以看出時(shí)間t完全可以消去，其哈密頓量對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)始終為0。設(shè)彈簧振子處于平衡位置時(shí)振子的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o，沿橫

16、軸x方向以v運(yùn)動(dòng)的慣性參考系中的動(dòng)能為，勢(shì)能為，則x=Acos (t)，k=m2，=-Asin (t)，a=-2Acos (t)，= x-vt=Acos (t)-vt，=-Asin (t)-v，=-2Acos (t)=a，=m=ma=-m2Acos (t)=-kx(t)=-=kxd(x-vt)=kxdx-kvAcos (t)dt(t) -(0) =xdx -2vAcos (t)dt=kx2-k02-mvAsin (t)-mvAsin (0)。(t)=k A2cos2 (t)-mvAsin (t)，(0)=0(t)=m=m-Asin (t)-v2=m2A2sin2 (t)+2vAsin (t)+

17、=kA2sin2 (t)+mvAsin (t)+m。=(t) +(t)=kA2sin2 (t)+mvAsin (t)+m+k A2cos2 (t)-mvAsin (t)=kA2+m= const。所以變換后系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，守恒值為kA2+m。所以=0。海森伯認(rèn)為：自然科學(xué)不是自然界本身，而是人和自然界之間關(guān)系的一部分，因而就依賴于人，有人的烙印。在量子力學(xué)中，可以有幺正變換，幺正變換可以是任意的，可以把一個(gè)不含時(shí)的哈密頓量變換為一個(gè)含時(shí)的哈密頓量，也可以反過來，把含時(shí)的哈密頓量變?yōu)椴缓瑫r(shí)的。哈密頓量，這里相當(dāng)于是能量。幺正變換其地位就是類同于時(shí)空變換，只不過后者是時(shí)空（外部空間自由度）變換，

18、而幺正變換（以及規(guī)范變換），是內(nèi)部空間自由度的變換。雖然具體含義不同，物理地位意義其實(shí)相當(dāng)。在這里一定要注意幺正變換不是伽利略變換。在時(shí)空變換中，洛倫茲變換中力是協(xié)變量，伽利略變換中力是不變量。日本的粒子物理學(xué)家湯川秀樹（Hicliki Yukawa，19071981）評(píng)價(jià)愛因斯坦時(shí)說：“愛因斯坦擁有一份只有少數(shù)物理學(xué)家才擁有的美感?！睈垡蛩固挂苍?jīng)說：“我坦白地承認(rèn)我被自然界向我們顯示的數(shù)學(xué)體系的簡潔性和優(yōu)美性強(qiáng)烈的吸引住了照亮我的道路，并不斷給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、是美和真?！眳⒖嘉墨I(xiàn)：1李衛(wèi)平，羅潔.注意力的保守性和參照系的關(guān)系.中學(xué)物理，2013年3月第5期：4243

19、.2劉瑞金.機(jī)械能相關(guān)問題的討論.淄博學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)與工程版），2001（12）：4750.3謝永珠，凌寅生.物理定律在慣性坐標(biāo)系間的形式不變性.物理教師，1999（7-8）：6869.4趙治華，史祥蓉.什么是保守力.工科物理，1997（1）：24.5朱如曾.力場與時(shí)間有關(guān)系統(tǒng)的功能定理及其應(yīng)用.大學(xué)物理，2016（10）：1116.6俞仲林.機(jī)械能守恒與參照系的選取有關(guān).柳州師專學(xué)報(bào)，1994年6月第2期：1113.7鄭金.對(duì)一道物理競賽題的兩種互異解答的探討.物理通報(bào)，2015（7）：109112.8舒幼生.力學(xué)，北京大學(xué)出版社，2005年9月第一版：85.9白靜江.機(jī)械能守恒定律的一

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