人教版高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)[知識(shí)梳理定積分和微積分基本定理

1、精品文檔用心整理定積分和微積分基本定理【考綱要求】1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。2.正確計(jì)算定積分，利用定積分求面積?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】定積分的概念定積分的性質(zhì)微積分基本定理定積分的幾何意義及應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、定積分的概念定積分的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=xxx01i-1xx=b將in區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x,x上任取一點(diǎn)x(i=1,2,n)，作和式i-1iii=f(x)dx=ninni=1i=1b-anf(x)，當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在if(x)dx，即bf(x)d

2、xlim區(qū)間a,b上的定積分.記作baanni=1b-anf(x)，這里，a與b分別叫做積分下i限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.要點(diǎn)詮釋：（1）定積分的值是一個(gè)常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；.（2）用定義求定積分的四個(gè)基本步驟：分割；近似代替；求和；取極限要點(diǎn)二、定積分的性質(zhì)（1）bkf(x)dx=kbf(x)dx（k為常數(shù)），f(x)fa12（2）ab12a(x)dx=bf(x)dxbf(x)dx，aa（3）bf(x)dx=cf(x)dx+bf(x)dx（其中acb），aac（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分：若函數(shù)y=f(x)在

3、區(qū)間-b,b上是奇函數(shù)，則bf(x)dx=0；-b若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-b,b上是偶函數(shù)，則bf(x)dx=2bf(x)dx.-b資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用0精品文檔用心整理要點(diǎn)三、微積分基本定理如果f(x)=f(x)，且f(x)在a,b上連續(xù)，則bf(x)dx=f(b)-f(a),其中f(x)叫做f(x)的一a個(gè)原函數(shù).由于f(x)+c=f(x),f(x)+c也是f(x)的原函數(shù)，其中c為常數(shù).a.因此，微積分基本定理可以寫成形式：一般地，原函數(shù)在a,b上的改變量f(b)-f(a)簡記作f(x)bbaf(x)dx=f(x)ba=f(b)-f(a).要點(diǎn)詮釋：求定積分主要是要找到被積函

4、數(shù)的原函數(shù)，也就是說，要找到一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)四、定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù).在a,b上，當(dāng)f(x)0時(shí)，定積分bf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b與ax軸圍成的曲邊梯形的面積；如圖（1）所示.在a,b上，當(dāng)f(x)0時(shí)，由曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b與x軸圍成的曲邊梯形位于x軸下方，定積分bf(x)dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值；a在a,b上，當(dāng)f(x)既取正值又取負(fù)值時(shí)，定積分bf(x)dx的幾何意義是曲線y=f(x)，兩條直線a在x=a,x=b與x軸所圍成的各

5、部分面積的代數(shù)和.在x軸上方的面積積分時(shí)取正號(hào)，x軸下方的面積積分時(shí)，取負(fù)號(hào).如圖（2）所示.要點(diǎn)五、應(yīng)用（一）應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理1.如圖，由三條直線x=a，x=b(ab)，x軸（即直線y=g(x)=0）及一條曲線y=f(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面積：s=bf(x)dx=bf(x)-g(x)dx；aa2.如圖，由三條直線x=a，x=b(ab)，x軸（即直線y=g(x)=0）及一條曲線y=f(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面積：s=bf(x)dx=-bf(x)dx=bg(x)-f(x)dx；aaa3.如圖，由曲線y=f(x)y=

6、f(x)f(x)f(x)0及直線x=a，x=b(ab)圍成圖形的面112212積公式為：s=1212baf(x)dx-f(x)=bf(x)dx-bf(x)dx.aa4.利用定積分求平面圖形面積的步驟：（1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；（3）寫出定積分表達(dá)式；（4）求出平面圖形的面積.（二）利用定積分解決物理問題變速直線運(yùn)動(dòng)的路程作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即s=bv(t)dt.a變力作功物體在變力f(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿

7、著與f(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b(ab)，那么變力f(x)所作的功w=bf(x)dx.a【典型例題】類型一：運(yùn)用微積分定理求定積分例1.運(yùn)用微積分定理求定積分資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（1）p(sinx-cosx)dx；（2）(x-x2+)dx；（3）(cosx+ex)dx.201【解析】（1）(-cosx-sinx)=sinx-cosx，1x0-p(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)（2）(p0x2x31-+lnx)=x-x2+，23xp0=2；(x-x2+211x2x3)dx=(-+lnx)x23215=ln2-.6（3）(sinx+ex)=c

8、osx+ex，0-p(cosx+ex)dx=(sinx+ex)0-p=1-1ep；【總結(jié)升華】求定積分最常用的方法是微積分基本定理，其關(guān)鍵是找出使得f(x)=f(x)的原函數(shù)f(x)。通常我們可以運(yùn)用基本函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則從反方向求f(x)，即利用求導(dǎo)函數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算。舉一反三：【變式】計(jì)算下列定積分的值：（2）(8（1）2p(x+sinx)dx，1x-x8)dx00102=ppp【解析】（1）2(x+sinx)dx=(x2-cosx)2028+118xx9171（2）(8x-x8)dx=(-)=-0ln8903ln29【定積分和微積分基本定理394577典型例題四】例2.求

9、p21-sin2xdx0【解析】資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用2p21-sin2xdx=p精品文檔用心整理sin2x+cos2x-2sinxcosxdxpsinx-cosxdx=psinx-cosxdx+ppsinx-cosxdxp(cosx-sinx)dx+pp(sinx-cosx)dx0=24200420044p2=(sinx+cosx)pp4+(-cosx-sinx)04=2-1-1+2=22-2【總結(jié)升華】化簡被積函數(shù)是積分的前提，直到最簡為止.舉一反三：【變式】計(jì)算下列定積分的值.（1）x(4-x)dx；（2）(x-1)3dx；（3）3-12121(x+1x)2dx；x(4-x)dx

10、=3(4x-x2)dx=(2x2-x3)3=33-1【解析】（1）3-1120-1，（2）(x-1)3dx=(x3-3x2+3x-1)dx=(x4-x3+x2-x)2=.42411221311（3）(x+)2dx=2(x+2+)dx=(x2+2x+lnx)|2=+ln2.xx2212111171f(x)=x,x1,2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上的積分；2x,x2,3例3.求定積分x3,x0,1【解析】3f(x)dx=1f(x)dx+2f(x)dx+3f(x)dx=1x3dx+2xdx+32xdx0012012=-5x412322x3=+x2+4031ln2244+2+.123ln2【總結(jié)升華

11、】當(dāng)被積式為分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)分段積分。舉一反三：【變式】求定積分：3x-1dx；0【解析】3x-1dx1x-1dx3x-1dx001資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用(1-x)dx13精品文檔用心整理(x-1)dx220(x-111x2)|1+(x2-x)|30115+2=22類型二：利用定積分的幾何定義例4.（2016河南商丘模擬）求定積分：24-x2dx；【解析】設(shè)y=014-x2，則x2+y2=4(y0,0x2)表示個(gè)圓，41由定積分的概念可知，所求積分就是圓的面積,42所以20舉一反三：14-x2dx=4p=p402【變式】求定積分：216-x2dx0【解析】設(shè)y=16-x2，則x2+y2=

12、16(y0,0x2)表示如圖的曲邊形，3其面積s=s扇形2+s=p+23,d故20216-x2dx=p+23.3類型三：利用定積分求平面圖形面積xx例5.(2015山東淄博一模)如圖所示，曲線yx21，2，0，陰影部分的面積為()y0圍成的a.2x2-1dx0b.2(x2-1)dx0c.2(x2-1)dx0(xd.102-1)dx+2(1-x2)dx1【答案】a【解析】由曲線y|x21|的對(duì)稱性，所求陰影部分的面積與如下圖形的面積相等，即2x2-1dx，選a.0【總結(jié)升華】求平面圖形的面積體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是解題的主要思路.求圖形的面積的一般步驟資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整

13、理是：（1）畫出圖形，并把圖形適當(dāng)分解為若干個(gè)基本的曲邊梯形；（2）找出相關(guān)曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即解方程組，確定每個(gè)曲邊梯形的積分區(qū)間（即積分上下限）（3）確定被積函數(shù)，即解決“積什么”的問題，是解題的關(guān)鍵；（4）寫出表示各曲邊梯形面積的定積分表達(dá)式；（5）計(jì)算各個(gè)定積分，求出所求的面積.舉一反三：【定積分和微積分基本定理394577典型例題一】【變式1】由直線x=11，x=2，曲線y=及x軸所圍圖形的面積為().2x15171abcln2d2ln2442【解析】s=2121xdx=lnx2121=ln2-ln()=2ln22【答案】d【變式2】(2015江西宜春月考)已知函數(shù)f(x)x3x2x1

14、，求其在點(diǎn)(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形的面積【解析】(1,2)為曲線f(x)x3x2x1上的點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k，則kf(1)3x22x12，s=2(2x-x2)dx=x2-x3|2=4-=過點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即y2x.y2x與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形如圖：y=x2由可得交點(diǎn)a(2,4)y=2xy2x與函數(shù)g(x)x2圍成的圖形的面積18403033類型四：利用定積分解決物理問題例6.汽車以每小時(shí)32公里的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以勻減速度a=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？【解析】首先要求出從

15、剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理3600當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度v=32公里/小時(shí)3210000米/秒8.88米/秒.剎車后汽車減速行駛，其速度為v(t)=v-at=8.88-1.8t.0當(dāng)汽車停車時(shí)，速度v(t)=0，故從v(t)=8.88到v(t)=0用的時(shí)間t=8.88-04.93秒.1.8于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車所走過的距離是s=4.93v(t)dt=4.93(8.88-1.8t)dt0(8.88t-1.8012t2)|4.9321.90米.0即在剎車后，汽車需走過21.90米才能停住.【總結(jié)升華】解決實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是弄清事物變化發(fā)展的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律變化找到相應(yīng)的函數(shù)式.舉一反三：【變式1】一物體在力f(x)=3x+4的作用下，沿著與f相同的方向，從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4處，求力f所做的功?！窘馕觥縲=f(x)dx=4(3x+4)