完整版)“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題

1、“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者之一.費(fèi)馬點(diǎn)一一就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)爾馬的結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過 120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).下面簡(jiǎn)單說明如何找點(diǎn) P使它到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和 PA+PB+PC最小？這就 是所謂的費(fèi)馬問題.解析：如圖1，把 APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到 APC,連接PP.則厶APP為等邊三角形， AP= PP P C = PC,所以 PA+PB+PC= PP + PB+ PC.點(diǎn)C可看成是線段 AC繞A點(diǎn)逆時(shí)

2、針旋轉(zhuǎn)60而得的定點(diǎn)，BC為定長(zhǎng)，所以當(dāng)B、P、 P、C 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，F(xiàn)A+PB+PC最小.這時(shí)/ BPA=180- / APP =180-60 =120 ,/ APC= / A P C =180-Z AP P=180 -60 =120 ,/ BPC=360-Z BPA- Z APC=360 -120。-120 =120因此，當(dāng)厶ABC的每一個(gè)內(nèi)角都小于 120。時(shí)，所求的點(diǎn)P對(duì)三角形每邊的張角都是120 可在AB、BC邊上分別作120 的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和

3、最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.例1（2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為2 -.6，求此正方形的邊長(zhǎng).分析：連接AC,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和就是到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離 之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問題的變形，只是背景不同.解 如圖2，連接人6把厶AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到 GFC，連接EF、BG、 AG，可知 EFC、 AGC都是等邊三角形，則 EF=CE.又 FG =AE, AE+BE+CE = BE+EF+FG （圖 4）.點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

4、60所得）.線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、F兩點(diǎn)都在BG上（圖3）.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a，那么BO=CO=GC=2a , GO=3BG=BO+GO =a +2點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為.2,6 .6，解得 a =2.注本題旋轉(zhuǎn)厶AEB、 BEC也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試.例2（2009年北京中考題）如圖4,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中， ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6,0 , B 6,0 , C 0,4-. 3，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=1 AC ,過點(diǎn)D作2DE / AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 作C點(diǎn)關(guān)于

5、直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線y kx b將 四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3） 設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y kx b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿 y軸到達(dá)G 點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線 GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍， 試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá) A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.分析和解：（1） D點(diǎn)的坐標(biāo)（3,3 ）（過程略）.（2）直線BM的解析式為y ,3x 6.3 （過程略）.（3）如何確定點(diǎn) G的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在設(shè)Q點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度為v,則P沿MtQt A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為MQ2v

6、AQ，使P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)所用的V時(shí)間最短，就是1mQ + AQ最小，或MQ + 2AQ 最小.解法1/ BQ=AQ, MQ + 2AQ最小就是 MQ + AQ+ BQ最小，就是在直線 MO上找點(diǎn)G使他到A、B、M三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問題的變 形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.把厶MQB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60。，得到厶MQB，連接QQ、MM （圖5）,可知QQB、A MM、都是等邊三角形，則 QQ=BQ.又 M Q =MQ , MQ + AQ+ BQ= M Q + QQ +AQ.點(diǎn)A、M為定點(diǎn)，所以當(dāng) Q、Q兩點(diǎn)在線段A M上時(shí)，MQ + AQ + BQ最小

7、.由條件1可證明Q 點(diǎn)總在AM 上,所以A M與0M的交點(diǎn)就是所要的 G點(diǎn)（圖6）.可證0G=丄MG .F丿/O /Mi/一齊弓個(gè)、Jf i fG一MiG A0B *A0BA0 E芝圖5圖6圖71解法2 考慮MQ + AQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K，由0B=6 ,OM = 63 ,21可得/ BMO = 30 所以 QK = MQ21要使MQ + AQ最小，只需使 AQ+ QK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn) A、2Q、K在一條直線上時(shí)，AQ+QK最小，并且此時(shí)的 QK垂直于BM，此時(shí)的點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)G (圖7).過A點(diǎn)作AH丄BM于H,則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的 G點(diǎn).由 0B=

8、6, 0M = 6,3，可得/ OBM=60 ,/ BAH=30 在 RtA OAG 中，OG=AO tan / BAH =2 3 G點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 2 3 ) (G點(diǎn)為線段OC的中點(diǎn)).例3(2009年湖州中考題)若點(diǎn) PABC所在平面上一點(diǎn)，且/ APB= / BPC=/ CPA=120 ,則點(diǎn)P叫做 ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(1) 若P為銳角 ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ ABC=60PA=3,PC=4,則PB的值為;(2) 如圖8，在銳角厶ABC的外側(cè)作等邊 ACB 連結(jié)BB求證：BB 過厶ABC的費(fèi)馬點(diǎn) P, 且 BB=FA+PB+PC.圖8解：(1)利用相似三角形可求 PB的值為2 3 .(2)

9、設(shè)點(diǎn)P為銳角 ABC的費(fèi)馬點(diǎn), 即/ APB= / BPC= / CPA=120如圖8,把厶ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到厶BCE,連結(jié)PE ,則厶EPC為正三角形./ BEC = / APC =120 , / PEC=60/ BEC+ / PEC=180即P、E、B 三點(diǎn)在同一直線上/ BPC=120 / CPE=60 ,/ BPC + / CPE =180 ；即 B、 P、 E 三點(diǎn)在同一直線上 B、P、E、B 四點(diǎn)在同一直線上，即 BB 過 ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P.又 PE=PC, BE= FA, BB =E B +PB + PE=FA+PB+PC.注 通過旋轉(zhuǎn)變換,可以改變線段的位置,優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu).在使用這一方法解題 時(shí)需注意圖形旋