高中數(shù)學(xué)論文：高考題中的新“主角”—導(dǎo)數(shù)

1、高考題中的新“主角”導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新課程中的新增內(nèi)容，它是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)、解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具從近幾年高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容的考查力度逐年加強(qiáng)，是新增內(nèi)容的主要得分點(diǎn)命題的熱點(diǎn)主要是：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的極值問(wèn)題；考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題；考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；考查導(dǎo)數(shù)與其它知識(shí)相融合的綜合問(wèn)題基于以上認(rèn)識(shí)，下文通過(guò)例題加以詳述一、考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】（05北京卷理12）過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為；切線的斜率為解：設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程是 切線過(guò)原點(diǎn)，從而切點(diǎn)為，切

2、線斜率是點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，切線方程是注意：切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上二、考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題【例2】（05福建19）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：(1)略解由點(diǎn)在切線上可得又且由得，所以所求的函數(shù)解析式為(2)由得，；由得，或函數(shù)的遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是和【例3】（05湖南卷理21）已知函數(shù)， (1)若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍解：當(dāng)時(shí)，則函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間有解又，則有的解當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口向上的拋物線，總有的解；當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口向下的拋物線，而有的解，則，且方程至少有一正根此時(shí)

3、，綜上述，的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)為解決某些復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題提供了有效途徑對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，(1)若時(shí)，都有，則在d內(nèi)是增函數(shù)；若時(shí)，都有，則在d內(nèi)是減函數(shù)(2)若函數(shù)在d內(nèi)是增函數(shù)，則時(shí)，恒有；若 在d內(nèi)是減函數(shù)，則時(shí)，恒有(注意此結(jié)論成立的前提條件是：在區(qū)間d的任何子區(qū)間內(nèi)不恒為零)三、考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的極值問(wèn)題【例3】（05重慶卷理19）已知，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：，令，得當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、不妨設(shè)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)即或時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，于是，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)無(wú)極值當(dāng)，即時(shí)，恒有，故函數(shù)為增函數(shù)，此時(shí)無(wú)

4、極值綜上述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)評(píng)：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) ，把滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)切記兩個(gè)結(jié)論：(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)；(2)可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)求可導(dǎo)函數(shù)的極值法則：先求函數(shù)的駐點(diǎn)，再判斷函數(shù)駐點(diǎn)左右兩側(cè)的符號(hào)，若的符號(hào)相反，則駐點(diǎn)是極值點(diǎn)；若的符號(hào)相同，則駐點(diǎn)不是極值點(diǎn).四、考查利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題【例4】（05全國(guó)卷理22）已知，函數(shù)(1)當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？證明你的結(jié)論解：令，則，解得，從而有下表+0待添加的隱藏文字內(nèi)容20+極大值極小值在處取得極大值，處取得極小值，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，取最小值點(diǎn)評(píng)：連續(xù)函數(shù)

5、在閉區(qū)間上必有最值求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可分兩步進(jìn)行：(1)求在內(nèi)的極值；(2)將極值與、比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值注意：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的最值時(shí)，一定要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、連續(xù)性以及函數(shù)值的符號(hào)來(lái)判斷，一般最值在極值點(diǎn)取得(如本題)五、考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例5】（04福建理16）如圖1，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器（圖2）當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為時(shí)，其容積最大 圖1圖2解：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則容器高為容積由，得當(dāng)時(shí)，時(shí)，由實(shí)際問(wèn)題的意義可知，當(dāng)時(shí)，取最大值為點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

6、的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)把實(shí)際問(wèn)題譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問(wèn)題及即時(shí)速度、邊際成本問(wèn)題，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化注意：在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極值，那么極值就是最值六、考查導(dǎo)數(shù)與其它知識(shí)相融合的綜合問(wèn)題【例6】（01北京春季）在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列記，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)；(2)當(dāng)時(shí)，比較和的大小，并證明你的結(jié)論解：(1)略解. (2)構(gòu)造函數(shù)()，則又在上單調(diào)遞增即，也就是()點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)為不等式的證明提供了新途徑，本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù) 另外，數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，也經(jīng)常可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題，主要在于構(gòu)造一個(gè)合理的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題導(dǎo)數(shù)還可以與解析幾何融合，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美結(jié)合注意：欲用導(dǎo)數(shù)，先構(gòu)造函數(shù)小結(jié)：導(dǎo)數(shù)作為一類特殊函數(shù)，為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象、曲線的