化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

1、第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形若二次型只心壬,，兀)經(jīng)可逆線性變換化為只含平方項(xiàng)的形式 則稱之為二次型fa心,，兀)的標(biāo)準(zhǔn)形.由上節(jié)討論知，二次型f(xx,.,x) = XAX在線性變換x = cr下，可化 為廠(cUc)K如果Lac為對角矩陣 %L化則念宀心)就可化為標(biāo)準(zhǔn)形勺斤+6;+.+必其標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)恰好為 對角陣廳的對角線上的元素，因此上is的問題歸結(jié)為A能否合同于一個對 角矩陣.內(nèi)容分布圖示4二次型的標(biāo)準(zhǔn)性用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例1例2用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例5例6定理3 ?4用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例7例8二次型與對稱矩陣的規(guī)范形例9課堂練習(xí)返回內(nèi)容小結(jié) 習(xí)題5-2例10內(nèi)容要點(diǎn)

2、：一、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1任一二次型都可以通過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.拉格朗日配方法的步驟：(1) 若二次型含有島的平方項(xiàng)，則先把含有兀的乘積項(xiàng)集中，然后配方, 再對其余的變量進(jìn)行同樣過程直到所有變量都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過可 逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形；(2) 若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是0產(chǎn)則先作可逆變換碼=乳-刀Xj =力 +刀（2 = 12 /且2* ij）忑=兒化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按(i)中方法配方.注：配方法是一種可逆線性變換，但平方項(xiàng)的系數(shù)與A的特征值無關(guān). 因?yàn)槎涡?與它的對稱矩陣A有一一對應(yīng)的關(guān)系，由定理1即得： 定理2對任一實(shí)對稱矩陣A ,存在非奇

3、異矩陣C,使bMac為對角 矩陣.即任一實(shí)對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.二、用初等變換化二次為標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)有可逆線性變換為X = CT,它把二次型0AX化為標(biāo)準(zhǔn)型廠貯，則 CSC.己知任一非奇異矩陣均可表示為若干個初等矩陣的乘積，故存 在初等矩陣上，使C = PP2匕,于是C = EPP2 匕CAC = PJ P,=A.由此可見，對加矩陣匕施以相應(yīng)于右乘嘰 匕的初等列變換，再對A 施以相應(yīng)于左乘P：、P；、,P：的初等行變換，則矩陣A變?yōu)閷蔷仃嘊,而 單位矩陣E就變?yōu)樗鵖求的可逆矩陣C.三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2若月為對稱矩陣，C為任一可逆矩陣，令5 = lac,則乃也為對 稱矩陣，且

4、r(B) = r(A).注：(1)二次型經(jīng)可逆變換x = cr后，其秩不變，但2的矩陣由月變?yōu)?S = CAC：(2)要使二次型經(jīng)可逆變換x=cr變成標(biāo)準(zhǔn)形，即要使L/tc成為對 角矩陣，即2)、兒、廠cSceoMF,兒)2=/2+/2卅 + + )、：ijl定理3任給二次型f = Z嚀“心=a)總有正交變換X = PY,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形f = /1|7 +心 +入$：,其中人,心人是f的矩陣心冋)的特征值.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(1)(2)(3)(4)將二次型表成矩陣形式/ = xSx求出A;求出H的所有特征值入人；求出對應(yīng)于特征值的特征向量鼻鼻瓷,； 將特征向量7鼻，歹”正交化，單位化，

5、得記c =(九心);(5) 作正交變換x = cr,則得于的標(biāo)準(zhǔn)形/ = A.v? + 心 y； +2”y：.四、二次型與對稱矩陣的規(guī)范型將二次型化為平方項(xiàng)之代數(shù)和形式后，如有必要可重新安排量的次序 （相當(dāng)于作一次可逆線性變換），使這個標(biāo)準(zhǔn)形為兀1 * dpXp dp+iXp+i -，”I；其中 J.0（ = 1,2,/）.定理4任何二次型都可通過可逆線性變換化為規(guī)范形.且規(guī)范形是 由二次型本身決定的唯一形式，與所作的可逆線性變換無關(guān).0-Er0000, 且ChQ.使得注：把規(guī)范形中的正項(xiàng)個數(shù)P稱為二次型的正慣性指數(shù)，負(fù)項(xiàng)個數(shù) 廠-“稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)，r是二次型的秩.（Ep注：任何合同的

6、對稱矩陣具有相同的規(guī)范形00定理5設(shè)S為任意對稱矩陣，如果存在可逆矩陣CQ,000OCAC =0-Er0，Qaq =0-Er0000、000z則 p = q.注：說明二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)是被二次型本身唯一確定 的。例題選講：例1 （講義例1） 將.V|- + 2,V,.V2 + 2吋3 + 2卅 + 42-Vj + X；化為標(biāo)準(zhǔn)形.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.例2化二次型y = x： + 2x；+5x； + 2M2+2Xjr3+6.j3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的 變換矩陣.例3 （講義例2）化二次型/ = 2.v,x,+2x,X3-6.v,X3成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的 變換矩陣.例4用配方法將以

7、下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型./（A|,心宀/4）= 2%心一“勺 +小4 -尤沁3 +力2心 一2X3X4.用初等變換化二次為標(biāo)準(zhǔn)須例5（講義例3）設(shè)A= I 2 2,求非奇異矩陣C使CUC為對角矩陣. 2 I.例6求一可逆線性變換將簽內(nèi)+2*內(nèi)-4x,a-3化為標(biāo)準(zhǔn)形.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例 7 （講義例 4）將二次型 f = l7x； + l4 +14.V- -4a-X, -4a-8.v,x,通過正 交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.例 8 設(shè) f = 2a-,a-, + 2a-,%3 -2xjAj -+ 2xx +,求一個正交變換 x = Py,把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.二次型與對稱矩陣的規(guī)范型例9將標(biāo)準(zhǔn)型2昇-2貝-i卅規(guī)范化.例10 （講義例5）化二次型/ = 2a-