北師大版1.4船有觸礁的危險嗎(精品教案 兩課時)

1、 1.4 船有觸礁的危險嗎（兩課時）教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用. 2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.教學(xué)重點(diǎn)： 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.教學(xué)過程設(shè)計(jì)教 學(xué) 過 程 設(shè) 計(jì)補(bǔ)充完善一、復(fù)習(xí)引入 問題提出：下面我們就來看一個問題海中有一個小島a，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在a島南偏西55的b處，往東

2、行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的c處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)二、知識要點(diǎn)1、 一物體沿坡度為的山坡向上移動，則物體升高了答案：12、 在地面上一點(diǎn)，測得一電視塔尖的仰角為，沿水平方向，再向塔底前進(jìn)，又測得塔尖的仰角為，那么電視塔的高為答案：3、如圖所示，在高，坡角為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要答案：4、如圖所示，鐵路的路基橫斷面是等腰梯形，斜坡的坡度為，坡面的水平寬度為，基面寬為，則，三、典例分析（一）應(yīng)知應(yīng)會例1下面我們再來看剛剛引入

3、新課的問題：海中有一個小島a，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在a島南偏西55的b處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的c處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?分析：老師提出以下問題，學(xué)生思考并回答：1、我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? 2、請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.學(xué)生首先我們可將小島a確定，貨輪b在小島a的南偏西55的b處，c在b的正東方，且在a南偏東25處.示意圖如下. 3、貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定? 4、能將實(shí)際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成

4、數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看ad如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢? 生已知bc20海里，bad55，cad25. 5、在示意圖中，有兩個直角三角形rtabd和rtacd.你能在哪一個三角形中求出ad呢? 生在rtacd中，只知道cad=25，不能求ad. 生在rtabd中，知道bad=55，雖然知道bc20海里，但它不是rtabd的邊，也不能求出ad. 但是發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，ad是它們的公共直角邊.而且bc是這兩個直角三角形bd與cd的差，即bcbd-cd.bd、cd的對角是已知的，bd、cd和邊ad都有聯(lián)系. 6、有何聯(lián)系呢?在rtabd中，tan55，bd=adtan55；在rtacd

5、中，tan25，cdadtan25. 解：過a作bc的垂線，交bc于點(diǎn)d.得到rtabd和rtacd，從而bd=adtan55，cdadtan25，由bd-cdbc，又bc20海里.得 adtan55-adtan2520. ad(tan55-tan25)20， ad=20.79(海里). 這樣ad20.79海里10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.例2接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 想一想：如圖，小明想測量塔cd的高度.他在a處仰望塔頂，測得仰角為30，再往塔的方向前進(jìn)50m至b處.測得仰角為60.那么

6、該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1 m) 分析：老師提出以下問題，學(xué)生思考并回答： 1、我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30的仰角、60的仰角分別指哪兩個角? 請同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個問題的思路，然后回答. 解：在rtadc中，tan30=， 即ac在rtbdc中，tan60=, 即bc，又ab=ac-bc50 m，得 -=50. 解得cd43(m)， 即塔cd的高度約為43 m. 若學(xué)生提問：我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量cd的高度時應(yīng)考慮小明的身高. 師答：這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高

7、，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 問： 如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎? 對應(yīng)訓(xùn)練：1、如圖，兩建筑物的水平距離，從測得點(diǎn)的俯角為，測得點(diǎn)的俯角為，則較低建筑物的高為 。答案：2、河堤的橫斷面如圖所示，堤高，迎水斜坡的長為，那么斜坡的坡度是 北東3、幾個學(xué)生利用水塔影測塔高，他們在某一時刻測得高的竹竿影長為，但他們馬上測塔高時，因水塔靠近一棟樓，影子不是全部落在地面上，有一部分影子落在墻上，他們測得留在地面部分的影長是，留在墻壁部分的影長是，則水塔高為 答案：例3 如圖所示，某船從點(diǎn)向正東方向航行，在處望見燈

8、塔在東北方向，前進(jìn)到處望見燈塔在北偏西方向，又航行了半小時到處，望見燈塔恰在西北方向，若船速為每小時海里，求，兩點(diǎn)間距離答案：作，垂足為，設(shè)海里，在rt中，即，得，（海里）隨堂練習(xí)： 1.如圖，一燈柱ab被一鋼纜cd固定，cd與地面成40夾角，且db5 m，現(xiàn)再在c點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ed，那么鋼纜ed的長度為多少?解：在rtcbd中，cdb=40，db=5 m，sin40= ，bc=dbsin40=5sin40(m). 在rtedb中，db=5 m，be=bc+ec2+5sin40(m). 根據(jù)勾股定理，得de=7.96(m). 所以鋼纜ed的長度為7.96 m. 2.如圖，水庫大壩的

9、截面是梯形abcd，壩頂ad6 m，坡長cd8 m.坡底bc30 m，adc=135. (1)求abc的大?。?2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3)解：過a、d分別作aebc，dfbc，e、f為垂足. (1)在梯形abcd中.adc135， fdc45，efad=6 m.在rtfdc中，dc8 m.dffccd.sin45=4 (m). be=bc-cf-ef=30-4-6=24-4(m).在rtaeb中，aedf=4 (m). tanabc0.308. abc17821. (2)梯形abcd的面積s(ad+bc)ae = (6+30)4 =72

10、 (m2). 壩長為100 m，那么建筑這個大壩共需土石料10072 10182.34(m3). 綜上所述，abc17821，建筑大壩共需10182.34 m3土石料.（二）綜合拓展(2003年貴州貴陽)如圖，某貨船以20海里時的速度將一批重要物資由a處運(yùn)往正西方向的b處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里時的速度由a向北偏西60方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1)問：b處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：1.4， 1.7) 分析：這是

11、一道需借助三角知識解決的應(yīng)用問題，需抓住問題的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學(xué)問題上下功夫. 解：(1)過點(diǎn)b作bdac.垂足為d. 依題意，得bac30，在rtabd中，bd= ab=2016=160200， b處會受到臺風(fēng)影響. (2)以點(diǎn)b為圓心，200海里為半徑畫圓交ac于e、f，由勾股定理可求得de=120. ad=160. ae=ad-de=160 -120， =3.8(小時). 因此，陔船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物.（三）歸納小結(jié)本節(jié)課我們運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，提高了我們分析和解決實(shí)際問題的能力. 其實(shí)，我們這一章所學(xué)的內(nèi)容屬于“三角學(xué)”的范疇.請同學(xué)們閱讀“讀

12、一讀”，了解“三角學(xué)”的發(fā)展，相信你會對“三角學(xué)”更感興趣.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.答案：；生應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.生根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到a的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.a到bc所在直線的最短距離為過a作adbc，d為垂足，

13、即ad的長度.我們需根據(jù)題意，計(jì)算出ad的長度，然后與10海里比較.總結(jié)：在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一.學(xué)生口答：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30的仰角指dac，60的仰角指dbc.(教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))學(xué)生答: 示意圖如右圖所示，解答過程可知cc43 m，則cd43+1.644.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m.三、課堂檢測xoayb1、 如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高24m，斜坡的坡角為，斜坡的坡角的正切值為，則坡底的長為 .24m

14、6m答案：m2、如圖，機(jī)器人從a點(diǎn)，沿著西南方向，行了個4單位，到達(dá)b點(diǎn)后觀察到原點(diǎn)o在它的南偏東60的方向上，則原來a的坐標(biāo)為 （結(jié)果保留根號）北東答案：(0，4)3、由于過度采伐森林和破壞植被，使我國某些地區(qū)多次受到沙塵暴的侵襲近日市氣象局測得沙塵暴中心在市正東方向的處，正在向西北方向轉(zhuǎn)移（如圖所示），距沙塵暴中心的范圍內(nèi)將受其影響，問：市是否會受這次沙塵暴的影響？答案：過作于，在rt中，abcd故市會受到這次沙塵暴的影響4、臨江市為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展，計(jì)劃修建跨河大橋，現(xiàn)需要測出河的寬度，已知在河邊一座高為的山頂觀測點(diǎn)處測得點(diǎn)和點(diǎn)的俯角分別為，求河的寬度（運(yùn)算過程和結(jié)果都保留根號）答案：在

15、rt中，即河的寬度為北5、如圖，海關(guān)某緝私艇巡邏到達(dá)處時，接到情報(bào)，在處北偏西方向的處發(fā)現(xiàn)一艘可疑船只，正以的速度向正東方向前進(jìn)，上級命令對可疑船只進(jìn)行檢查，該艇立即沿北偏西的方向快速前進(jìn)，經(jīng)過的航行，正好在處截住可疑船只，求該艇的速度（結(jié)果保留到整數(shù)）答案：由已知得設(shè)，則在rt中，又，6、海中有一個小島，它的周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)測得小島在北偏東，航行12海里到達(dá)點(diǎn)，這時小島在北偏東，如果漁船不改變方向航行，繼續(xù)向東捕撈，有沒有觸礁的危險？請說明理由答案：有觸礁的危險，理由略東7、如圖，一艘漁船正以每小時的速度由西向東航行，在處看見小島在船的北偏東方向上，后，漁船

16、行至處，此時看見小島在船的北偏東方向上若以小島的中心周圍的范圍內(nèi)是危險區(qū)，問：這艘漁船繼續(xù)向東航行是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？答案：過作交的延長線于易知，在rt中，故這艘漁船繼續(xù)向東航行，沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能8、 某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一古塔，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光線與水平面的夾角是，此時塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子；而在春分日正午光線與地面的夾角是，此時塔尖在地面上的影子與墻角有15米的距離（b、e、c在一條直線上），求塔的高度（結(jié)果保留根號）答案：解：過點(diǎn)作，垂足為f四邊形是矩形設(shè)米在中，在中，解得答：塔的高度是米作業(yè)：反比例函數(shù)學(xué)案（一）基礎(chǔ)落實(shí)1當(dāng)為何值時，函數(shù)是反比例函數(shù)2已知

17、變量與成反比例，且時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式3已知反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，求這個函數(shù)表達(dá)式4已知函數(shù)，與成正比例，與成反比例，且當(dāng)時，；當(dāng)x=3時，（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)時，求的值5給出下列四個關(guān)于是否成反比例的命題，判斷它們的真假（1）面積一定的等腰三角形的底邊長和底邊上的高成反比例；（2）面積一定的菱形的兩條對角線長成反比例；（3）面積一定的矩形的兩條對角線長成反比例；（4）面積一定的直角三角形的兩直角邊長成比例（二）綜合拓展1設(shè)反比例函數(shù)，正比例函數(shù)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明它是什么函數(shù)（三）課堂檢測1在；四個函數(shù)中，為反比例函數(shù)的是2如果函數(shù)是反比例函數(shù)，那么的值是3當(dāng) 時

18、，函數(shù)是反比例函數(shù)5已知與成反比例，當(dāng)時，則當(dāng)時，6近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距米成反比例，已知度近視眼鏡鏡片的焦距為米，那么眼鏡度數(shù)與鏡片焦距之間的函數(shù)關(guān)系式是4.船有觸礁的危險嗎第8題. 某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，其中，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算，和的長度（結(jié)果保留根號）答案：過，分別作，為垂足在rt中，在rt 中，第10題. 如圖，燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，其中，外口寬，燕尾槽的深度是，求它的里口寬的寬度答案：分別作，垂足為，在rt中，第11題. 臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力根據(jù)氣象觀測，距沿海某城市的正南方向的處有一臺風(fēng)中心，其

19、中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心，風(fēng)力就減少一級，該臺風(fēng)中心正以的速度沿北偏東方向往移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變?nèi)舫鞘兴茱L(fēng)力達(dá)到或超過4級，則稱受臺風(fēng)影響（1）該城市是否會受到此次臺風(fēng)的影響？請說明理由（2）若受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？答案：（1）過點(diǎn)作，垂足為，該城市受臺風(fēng)影響（2）設(shè)，即當(dāng)臺風(fēng)中心從處移到處時，該城市會受到臺風(fēng)的影響，則臺風(fēng)影響該城市時間要持續(xù)（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于處時，市受到風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為（級）第12題. 如圖，中，利用此圖可得（）答案：第13題. 已知在中，求的長答案：作于，在rt中，由于，故有點(diǎn)

20、在線段上或在線段延長線上兩種可能（1）當(dāng)點(diǎn)在上時，在rt中，在rt中，（2）當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，由上而得，綜上，的長是12或6乙甲第14題. 甲、乙兩樓相距80m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫椋瑥募讟琼斖覙琼數(shù)母┙菫?，求甲、乙兩樓的高（精確到1m）答案：甲80m，乙34m第15題. 學(xué)校校園內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地，計(jì)劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計(jì)花園1m造價30元，學(xué)校建這個花園需要投資多少錢？（精確到1元）？20m30m答案：779 4元第16題. 如圖，墊鐵小端高度cm，長cm，大端高度cm，求墊鐵的傾斜角（精確到）答案：2m3m第17題. 一條水渠的橫斷面是等腰梯形，坡

21、角為，渠深為2m，渠底寬3m，求水渠的上口寬和橫斷面的面積（保留四個有效數(shù)字）答案：7.767m，10.77m第18題. 在加工如圖所示的墊模時，需計(jì)算斜角，根據(jù)圖示數(shù)據(jù)求83140150124答案：abced第19題. 如圖，沿方向開山修渠，為加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工從上的一點(diǎn)取，m，那么開挖點(diǎn)離多元，正好能使，成直線（精確到0.1m）？答案：離約m，正好能使，成一直線（注意：這時，問題就轉(zhuǎn)化為解關(guān)于直角三角形的問題）第20題. 如圖，梯形是一堤壩橫截面的示意圖，坡角，斜坡，上底求壩高及下底的長（結(jié)果保留根號）答案：壩高，下底長第21題. 如圖，在港口的正東15海里處有一觀測站

22、，一艘貨船從處向正北方向航行，當(dāng)貨船航行到處時，從觀測站測得貨船的方向?yàn)楸逼?.5h后，貨船到這處，此時從處測得貨船的方向?yàn)楸逼髑筘洿叫械乃俣龋ň_到1海里，）東北答案：約為13 n mile/h巧用直角三角形解決實(shí)際生活問題黑龍江 王國仁 在生活實(shí)際中，特別在勘探、測量工作中，常需了解或確定某種大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的兩地之間的距離等，而這些問題一般都要通過嚴(yán)密的計(jì)算才可能得到答案，并且需要先想方設(shè)法利用一些簡單的測量工具，如：皮尺，測角儀，木尺等測量出一些重要的數(shù)據(jù)，方可計(jì)算得到有關(guān)設(shè)計(jì)的原理就是來源于本章的太陽光或燈光與影子的關(guān)系和解直角三角形的有關(guān)知識下面介紹幾例使同學(xué)們增加對直角三角形應(yīng)用的認(rèn)識例1 （甘肅）如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高ab=cd=30m，兩樓間的距離ac=24 m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光的影響情況當(dāng)太陽光與水平線的夾角為300時，求甲樓的影子在乙樓上有多高?(精確到0.1 m，1.41， 1.73) 分析：太陽光可看成平行投影，本題關(guān)鍵是構(gòu)造可解的直角三角形 解：設(shè)甲樓影子在乙樓上最高點(diǎn)為e，作efab于f，則在rtbfe中，bf=eftan300=actan300=813.8(m)， ce=ab-bf=16.2(m)答：甲樓在乙樓上的影子有16.2 m高例2 有一輛客車在平坦的大路上行駛，前方有兩幢高樓，