誤差理論與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識(shí)

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)知識(shí)0-1 物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量誤差與不確定度誤差和不確定度的概念物理實(shí)驗(yàn)離不開對(duì)各種物理量進(jìn)行測(cè)量，由測(cè)量所得的一切數(shù)據(jù)，都毫無(wú)例外地包含有一定數(shù)量的測(cè)量誤差，沒(méi)有誤差的測(cè)量結(jié)果是不存在的。測(cè)量誤差存在于一切測(cè)量之中，貫穿于測(cè)量的全過(guò)程。隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷提高，測(cè)量誤差可以被控制得越來(lái)越小，但卻永遠(yuǎn)不會(huì)降低到零。測(cè)量誤差測(cè)量值真值。何謂真值？真值是在特定條件下被測(cè)量量的客觀實(shí)際值，當(dāng)被測(cè)量的測(cè)量過(guò)程完全確定，且所有測(cè)量的不完善性完全排除時(shí)，則測(cè)量值就等于真值。這就是說(shuō)，真值是通過(guò)完善的測(cè)量才能獲得。然而，嚴(yán)格、完善的測(cè)量難以做到，故真值就不能確定。在實(shí)踐中，有一些物理量

2、的真值或從相對(duì)意義上來(lái)說(shuō)的真值是可以知道的，這有如下幾種：（1）理論真值。如平面三角形三內(nèi)角之和恒為180；某一物理量與本身之差恒為零，與本身之比值恒為1；理論公式表達(dá)值或理論設(shè)計(jì)值等。（2）計(jì)量單位制中的約定真值。國(guó)際單位制所定義的七個(gè)基本單位，根據(jù)國(guó)際計(jì)量大會(huì)的共同約定，凡是滿足上述定義條件而復(fù)現(xiàn)出的有關(guān)量值都是真值。（3）標(biāo)（基）器相對(duì)真值。凡高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器的誤差是低一級(jí)或變通測(cè)量?jī)x器誤差的時(shí)，則可認(rèn)為前者是后者的相對(duì)真值。如經(jīng)國(guó)家級(jí)鑒定合格的標(biāo)準(zhǔn)器稱為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)器，它在同一計(jì)量單位中精確度最高，從而作為全國(guó)該計(jì)量單位的最高依據(jù)。國(guó)際鉑銥合金千克原器的質(zhì)量將作為國(guó)際千克質(zhì)量的真值。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)

3、中，真值就是指在無(wú)系統(tǒng)誤差的情況下，觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)所求得的平均值。但是，實(shí)際測(cè)量總是有限的，故用有限次測(cè)量所求得的平均值作為近似真值（或稱最可信賴值）。1誤差（error）誤差即觀測(cè)值與真值之間的差異。如前所述，測(cè)量誤差就是測(cè)量值減去真值。（1）絕對(duì)誤差（absolute error）。某物理量值與其真值之差稱絕對(duì)誤差，它是測(cè)量值偏離真值大小的反映，有時(shí)又稱真誤差。即 絕對(duì)誤差量值-真值 修正值-絕對(duì)誤差真值-量值 真值量值+修正值這說(shuō)明量值加上修正值后，就可以消除誤差的影響。在精密計(jì)量中，常常用加一個(gè)修正值的方法來(lái)保證量值的準(zhǔn)確性。（2）相對(duì)誤差（relative error）。絕對(duì)誤差與

4、真值的比值所表示的誤差大小稱為相對(duì)誤差或誤差率。有時(shí)，兩組測(cè)量的絕對(duì)誤差相同，但真值不同，而此時(shí)實(shí)際反映了兩種不同的準(zhǔn)確度。所以采用相對(duì)誤差就能夠清楚地表示出測(cè)量的準(zhǔn)確程度。按定義，當(dāng)絕對(duì)誤差很小時(shí)，此時(shí)相對(duì)誤差還有一種表達(dá)形式，即分貝誤差。同種物理量之比取對(duì)數(shù)，再乘以20，這稱為分貝A（單位用dB表示）。設(shè)兩個(gè)同種物理量之比為 （0-1-1）則按分貝的定義有 （0-1-2）如果比值a產(chǎn)生了一個(gè)誤差，那末將引起A產(chǎn)生一個(gè)誤差（此為分貝誤差），則 （0-1-3）式（0-1-3）減去式（0-1-2），得 （0-1-4）該式即為相對(duì)誤差與分貝誤差之間的關(guān)系式。從數(shù)學(xué)上可知?jiǎng)t式（0-1-4）可寫成或

5、分貝誤差主要用在聲學(xué)及無(wú)線電計(jì)量之中，如計(jì)算聲壓級(jí)，按規(guī)定空氣中的基準(zhǔn)聲壓（大約相當(dāng)于蚊子飛行發(fā)出聲音的聲壓），如有一聲的聲壓，則其聲壓級(jí)按式（0-1-4）計(jì)算為。相對(duì)誤差還有一種簡(jiǎn)便實(shí)用的形式引用誤差。它在多擋或連續(xù)刻度的儀表中得到廣泛應(yīng)用。為了減少誤差計(jì)算中的麻煩和劃分儀表正確度等級(jí)的方便，一律取儀表的量程或測(cè)量范圍上限值作為誤差計(jì)算的分母（即基準(zhǔn)值），而分子一律取用儀表量程范圍內(nèi)可能出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差值。于是，定義引用誤差為在熱工、電工儀表中，正確度等級(jí)一般都是用引用誤差來(lái)表示的，通常分成0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0七級(jí)。上述數(shù)值表示該儀表最大引用誤差的大小，但

6、不能認(rèn)為儀表在各個(gè)刻度上的測(cè)量都具有如此大的誤差。例如某儀表正確度等級(jí)為R級(jí)（即引用誤差為R%），滿量程的刻度值為X，實(shí)際使用時(shí)的測(cè)量值為（一般X），則 （0-1-5）通過(guò)上面的分析，可知為了減少儀表測(cè)量的誤差，提高正確度，應(yīng)該使儀表盡可能在靠近滿量程刻度的區(qū)域內(nèi)使用。這正是人們利用或選用儀表時(shí)，盡可能在滿刻度量程的以上區(qū)域內(nèi)使用的原因。（3）誤差的分類根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)將誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩大類。系統(tǒng)誤差在相同條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，測(cè)量值對(duì)真值的偏離（包括大小和方向）總是相同的，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是恒定性，不能用增加測(cè)量次數(shù)的方法使它減小，在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)

7、和消除系統(tǒng)誤差是很重要的，因?yàn)樗３Ｊ怯绊憣?shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確程度的主要因素，能否用恰當(dāng)?shù)姆椒òl(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差，是測(cè)量者實(shí)驗(yàn)水平高低的反映，但是又沒(méi)有一種普遍適用的方法去消除系統(tǒng)誤差，主要是靠對(duì)具體問(wèn)題作具體的分析與處理，要靠實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的積累。如果我們能夠確定系統(tǒng)誤差的數(shù)值，就應(yīng)該把它從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中扣除，消除它的影響，或者說(shuō)，把系統(tǒng)誤差的影響減小到偶然誤差的范圍以內(nèi)，這種數(shù)值已知的系統(tǒng)誤差稱為“已定系統(tǒng)誤差”。還有一類系統(tǒng)誤差，只知道它存在于某個(gè)大致范圍，而不知道它的具體數(shù)值，我們稱之為“未定系統(tǒng)誤差”。例如儀器的允差就屬于這一類。關(guān)于系統(tǒng)誤差的限制和消除將在后面介紹隨機(jī)誤差（偶然誤差）由于偶然的不確定

8、因素造成每一次測(cè)量值的無(wú)規(guī)律的漲落，測(cè)量值對(duì)真值的偏離時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，不能由上次測(cè)量值預(yù)計(jì)下一次測(cè)量值的大小，這類誤差稱為隨機(jī)誤差，也稱偶然誤差。造成偶然誤差的因素是多方面的，如儀器性能和測(cè)量者感官分辯力的統(tǒng)計(jì)漲落，環(huán)境條件（如溫度、濕度、氣壓、氣流、微震）的微小波動(dòng)，測(cè)量對(duì)象本身的不確定性（如氣壓、放射性物質(zhì)單位時(shí)間內(nèi)衰變的粒子數(shù)，小球直徑或金屬絲直徑）等等。偶然誤差的特點(diǎn)是它的隨機(jī)性，如果在相同的宏觀條件下，對(duì)某一物理量進(jìn)行多次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠大時(shí)，便可以發(fā)現(xiàn)這些測(cè)量值呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即它們服從某種概率分布。下面我們對(duì)一個(gè)實(shí)際測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（表0-1-1），就

9、可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差的特點(diǎn)和規(guī)律。表0-1-1中觀測(cè)總次數(shù)n150次，某測(cè)量值的算術(shù)平均值為3.01，共分14個(gè)分區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的間隔為0.01。為直觀起見，把表中的數(shù)據(jù)畫成頻率分布的直方圖如（圖0-1-1），從圖中便可分析歸納出隨機(jī)誤差的以下四個(gè)特點(diǎn)。表0-1-1 測(cè)值分布值區(qū)間1234567測(cè)值xi2.952.962.972.982.993.003.01誤差-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.010出現(xiàn)次數(shù)nI46611142024頻率0.0270.040.040.0730.0930.1330.16區(qū)間891011121314測(cè)值xI3.023.033.043.053.06

10、3.073.08誤差xi0.010.020.030.040.050.060.07出現(xiàn)次數(shù)n率0.1130.080.080.0660.0580.0270.018圖0-1-1 頻率分布直方圖a）隨機(jī)誤差的有界性。在某確定的條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度。表0-1-1中的xi均不大于0.07，可見絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零，即誤差有一定限度。b）隨機(jī)誤差的單峰性。絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大，最小誤差出現(xiàn)的概率最大。表0-1-1中的次數(shù)為110次，其中的占61次，而的僅40次。可見隨機(jī)誤差的分布成單峰形c）隨機(jī)誤差的對(duì)稱性。絕對(duì)值相等的

11、正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。表0-1-1正誤差出現(xiàn)的次數(shù)為65次，而負(fù)誤差為61次，兩者出現(xiàn)的頻率分別為0.427和0.407，大致相等。d）隨機(jī)誤差的抵償性。在多次、重復(fù)測(cè)量中，由于絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，所以全部誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加趨于零，即隨機(jī)誤差具有抵償性。抵償性是隨機(jī)誤差最本質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特性，凡是具有相互抵償特性的誤差，原則上都可以按隨機(jī)誤差來(lái)處理。雖然隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因尚不清楚，但由于它總體上遵守統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此理論上可以計(jì)算出它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。（4）誤差的表示方法算術(shù)平均誤差在一組測(cè)量中，用全部測(cè)值的隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值來(lái)表示。按定義 （0-1-6） 式中

12、：xi一組測(cè)量中的各個(gè)測(cè)量，i1，2，n（測(cè)量的次數(shù)）；一組測(cè)值的算術(shù)平均值，第i個(gè)測(cè)值xi與平均值之偏差（即誤差）的絕對(duì)值這種表示方法已經(jīng)考慮到了觀測(cè)次數(shù)n對(duì)隨機(jī)誤差的影響，但是各次觀測(cè)中相互間符合的程度不能予以反映。因?yàn)橐唤M測(cè)量中，偏差彼此接近的情況與另一組測(cè)量中偏差有大、中、小的情況，兩者的算術(shù)平均誤差很可能相等。標(biāo)準(zhǔn)誤差（又稱均方根誤差）它是觀測(cè)值與真值偏差的平方和觀測(cè)次數(shù)n比值的平方根，按定義 （0-1-7）式中，A被測(cè)物理量的真值； 第i個(gè)測(cè)值xi與真值A(chǔ)之偏差。在實(shí)際測(cè)量中，觀測(cè)次數(shù)n總是有限的，真值只能用最可信賴（最佳）值來(lái)代替，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤差按下式計(jì)算： （0-1-8）標(biāo)準(zhǔn)誤

13、差對(duì)一組測(cè)量中的特大或特小誤差反映非常敏感，所以，標(biāo)準(zhǔn)誤差能夠很好地反映出測(cè)量的精密度。這正是標(biāo)準(zhǔn)誤差在工程測(cè)量中廣泛被采用的原因。例1 有兩組觀測(cè)數(shù)據(jù)：第一組 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1第二組 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2求平均值、算術(shù)平均誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，并分析其準(zhǔn)確度及精密度。解 列表計(jì)算如下：第 一 組 測(cè) 量算術(shù)平均值3.0算術(shù)平均誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差n-1第 二 組 測(cè) 量算術(shù)平均值3.0算術(shù)平均誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差n-1從計(jì)算結(jié)果可知：兩組數(shù)據(jù)的平均值一樣，即測(cè)量的準(zhǔn)確度一樣；兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量精密度實(shí)際上不一樣。因?yàn)榈谝唤M數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性較好，但此時(shí)的算術(shù)平均誤差是一樣的，顯然未能

14、反映出精密度來(lái)。標(biāo)準(zhǔn)誤差n-1的計(jì)算結(jié)果說(shuō)明第一組測(cè)量數(shù)據(jù)比第二組精密度高。標(biāo)準(zhǔn)誤差不僅僅是一組觀測(cè)值的函數(shù)，而且更重要的是它對(duì)一組測(cè)量中的大誤差及小誤差反映比較敏感。因此，在試驗(yàn)中廣泛用標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示測(cè)量的精密度。極限誤差通常定義極限誤差的范圍為標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍，即3n-1。從統(tǒng)計(jì)的角度計(jì)算得，所測(cè)物理量的真值落在3n-1范圍內(nèi)的概率為99.7%，而超出此范圍的可能性實(shí)際上已經(jīng)非常小，故把它定義為極限誤差。（5）幾個(gè)重要概念精密度（簡(jiǎn)稱精度precision）它表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度，即在一定條件下，進(jìn)行多次、重復(fù)測(cè)量時(shí)，所得測(cè)量結(jié)果彼此之間符合的程度，通常用隨機(jī)不確定度來(lái)表示。正確

15、度（correctness）它表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。即在規(guī)定的條件下，測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差的綜合。準(zhǔn)確度（又稱精確度accuracy）準(zhǔn)確度是測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合，它表示測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度。從誤差的觀點(diǎn)來(lái)看，準(zhǔn)確度反映了測(cè)量的各類誤差的綜合。如果所有已定系統(tǒng)誤差已經(jīng)修正，那末準(zhǔn)確度可用不確定度來(lái)表示。2不確定度（uncertainty）不確定度是由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度。表達(dá)方式有系統(tǒng)不確定度、隨機(jī)不確定度、總不確定度?？砂垂乐档牟煌椒ò巡淮_定度歸并為A、B兩類分量。前者是多次重復(fù)測(cè)量后，用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)誤差；后者是用其他方法估計(jì)出的近

16、似的“標(biāo)準(zhǔn)誤差”。系統(tǒng)不確定度實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)誤差限，常用未定系統(tǒng)誤差可能不超過(guò)的界限或半?yún)^(qū)間寬度e來(lái)表示。隨機(jī)不確定度實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)誤差對(duì)應(yīng)于置信概率1-a時(shí)的置信區(qū)限k（a為顯著性水平）。當(dāng)置信因子k1時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差就是隨機(jī)不確定度，此時(shí)的置信概率（按正態(tài)分布）為68.27%。總不確定度是由系統(tǒng)不確定度與隨機(jī)不確定度按合成方差的方法合成而得的。它反映了測(cè)量結(jié)果中未能確定的量值的范圍。不確定度是測(cè)量結(jié)果的測(cè)度，沒(méi)有不確定度說(shuō)明，測(cè)量結(jié)果將無(wú)從比較。1993年，國(guó)際計(jì)量局（BIPM）等7個(gè)國(guó)際組織發(fā)表了測(cè)量不確定度表示指南。這一國(guó)際的權(quán)威性文獻(xiàn)，對(duì)計(jì)量和科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作極其重要。綜上所述，不確定度與誤

17、差有區(qū)別，誤差是一個(gè)理想的概念，一般不能準(zhǔn)確知道；但不確定度反映誤差存在分布范圍，即隨機(jī)誤差分量和未定系統(tǒng)誤差分量綜合的分布范圍，可由誤差理論求得?？傊淮_定度是未定誤差的特征描述，而不是指具體的誤差大小和符號(hào)，故不確定度不能用來(lái)修正測(cè)量結(jié)果。圖0-1-2 給出了精密度、正確度和準(zhǔn)確度的示意圖。圖0-1-2 精密度（a）、正確度（b）、準(zhǔn)確度（c）的示意圖0-2 概率統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)如前所述測(cè)量誤差的存在是一切測(cè)量中的普遍現(xiàn)象，那么，研究測(cè)量誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，研究如何有效地減小測(cè)量誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，科學(xué)地表達(dá)含有誤差的測(cè)量結(jié)果，以及對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何評(píng)價(jià)等，這一系列的問(wèn)題就顯得十分重要。正

18、是在這樣的背景下，產(chǎn)生并發(fā)展了一門專門的學(xué)科，這就是測(cè)量誤差理論。它是人們把概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論應(yīng)用于測(cè)量誤差的研究中而形成并發(fā)展起來(lái)的一種科學(xué)理論。要想深入地討論測(cè)量誤差，需要有豐富的實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)和概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，下面我們將介紹常用的誤差理論知識(shí)，闡述誤差分析的概率統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)。希望有助于讀者提高實(shí)驗(yàn)的誤差分析和數(shù)據(jù)處理能力。一、幾個(gè)基本概念1隨機(jī)事件及概率如拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上和背面向上的事均有可能，我們把正面向上出現(xiàn)的事件記作A，把背于出現(xiàn)的事件記為B。在拋擲之前，A事件出現(xiàn)和B事件出現(xiàn)，事先是無(wú)法知道的。也就是說(shuō)，在一定條件下，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，把這類事件稱隨機(jī)事件。在物理實(shí)

19、驗(yàn)中，有許多被測(cè)對(duì)象本身具有隨機(jī)性。例如宏觀熱力學(xué)量（溫度、密度、壓強(qiáng)等）的數(shù)值都是統(tǒng)計(jì)平均值，原子和原子核等微觀領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)漲落現(xiàn)象也非常明顯，這就使得實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值不可避免地帶有隨機(jī)性，如果在一定的條件下，共進(jìn)行N次試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生了NA次，比值NA/N稱為事件A發(fā)生的頻率。如果隨著試驗(yàn)的次數(shù)N增加，頻率NA/N愈來(lái)愈趨近某個(gè)確定值，那么，當(dāng)N時(shí)，頻率的極限值稱為事件A的概率，記為Pr（A），即 （0-2-1）2隨機(jī)變量和隨機(jī)子樣如果所研究的各個(gè)隨機(jī)事件可以分別用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，這個(gè)數(shù)就是隨機(jī)事件的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。在物理量的測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果為某一個(gè)特定的數(shù)值，是一個(gè)隨機(jī)事件，這個(gè)數(shù)值就是隨

20、機(jī)變量的取值。隨機(jī)變量全部可能取值的集合稱為母體或總體。一次測(cè)量得到的是隨機(jī)變量的一個(gè)具體數(shù)值，稱為隨機(jī)變量的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。如果總共進(jìn)行了N次獨(dú)立的試驗(yàn)，得到隨機(jī)變量的N個(gè)隨機(jī)數(shù)（x1，x2，xN），稱為隨機(jī)變量的一個(gè)隨機(jī)子樣（或稱為樣本），簡(jiǎn)稱子樣。一個(gè)子樣中隨機(jī)數(shù)的數(shù)目N稱為子樣的容量。物理量的測(cè)量結(jié)果總是獲得某些隨機(jī)變量的子樣，子樣的容量由重復(fù)觀測(cè)的次數(shù)決定。隨機(jī)變量按其取值的情況分為離散型與連續(xù)型：只能取有限個(gè)可數(shù)的一串?dāng)?shù)值的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量；可能值布滿某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量稱為連續(xù)型的隨機(jī)變量。在核物理實(shí)驗(yàn)和單光子計(jì)數(shù)實(shí)驗(yàn)中，粒子或光子的計(jì)數(shù)率是離散型的隨機(jī)變量，然而在物理量的測(cè)

21、量中，更多見的是連續(xù)型的隨機(jī)變量。3、分布函數(shù)、概率函數(shù)和概率密度函數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量，我們關(guān)心的不只是隨機(jī)變量的全部可能取值，還必須了解各種可能取值的概率，即隨機(jī)變量的概率分布。無(wú)論是離散型還是連續(xù)型的隨機(jī)變量，其可能的全部取值可以排列在實(shí)數(shù)軸上，亦即是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)子集合，設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)。函數(shù) （0-2-2）稱為X的分布函數(shù)。因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X在任一區(qū)間上的概率，在這個(gè)意義上說(shuō)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)在處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間（）上的概率。分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)。是一個(gè)不減函數(shù)01，

22、且 （0-2-3）對(duì)于離散型變量X，它只能取可數(shù)個(gè)的數(shù)值，除了用布函數(shù)描述外，還可以用概率函數(shù)來(lái)描述它的分布。概率函數(shù)在某一點(diǎn)的取值等于隨機(jī)變量X取值為的概率，即 （0-2-4）根據(jù)分布函數(shù)和概率函數(shù)的定義，有。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量可以引入概率密度函數(shù)。因此有根據(jù)式（0-2-3）應(yīng)有 （0-2-5）這就是應(yīng)滿足的歸一化條件。隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率稱為區(qū)間的概率含量。顯然，區(qū)間的概率含量為上述關(guān)于分布函數(shù)、概率函數(shù)和概率密度函數(shù)的概念都可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。特別是，如果X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么根據(jù)概率論，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于各自的概率密度函數(shù)的乘積，即 （0-2-6）

23、二、概率分布的數(shù)字特征量隨機(jī)變量有不同形式的分布，為研究方便，常用一些共同定義的數(shù)字特征量來(lái)表征它們。最重要的特征量是隨機(jī)變量的期望值和方差。1隨機(jī)變量的期望值隨機(jī)變量的期望值定義為 （0-2-7）期望值的物理意義是作無(wú)究多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果的平均值。根據(jù)期望值的定義可得 （0-2-8）上式表明分布在期望值的周圍。但期望值和概率密度函數(shù)取極大值的位置未必重合。以后我們?nèi)杂眉饫ㄌ?hào)表示括號(hào)內(nèi)隨機(jī)變量的函數(shù)的期望值，例如隨機(jī)變量的函數(shù)的期望值定義為 （0-2-9）2隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差定義為 （0-2-10）方差描述隨機(jī)變量圍繞期望值分布的離散程度，亦即隨機(jī)變量取值偏離期望值起伏的大小。

24、通常把隨機(jī)變量的方差記為方差的平方根稱為隨機(jī)變量的均方根差或標(biāo)準(zhǔn)差。3兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為 （0-2-11）協(xié)方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)程度。當(dāng)x和y相互獨(dú)立時(shí)，由式（0-2-6）和（0-2-11）可得Cov(x,y)0。若Cov(x,y)0，x和y一定不相互獨(dú)立；但是如果Cov(x,y)0，x和y可能相互獨(dú)立，也可能不相互獨(dú)立。通常還用相關(guān)系數(shù)(x,y)描述x和y的相關(guān)程度。 （0-2-12）根據(jù)協(xié)方差定義，不難證明，三、幾種常用的概率分布由于隨機(jī)變量受到不同因素的影響，或者物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)性差異，使得隨機(jī)變量的概率分布形式多種多樣，這里討論幾種常用的分布，要注意

25、掌握其概率函數(shù)（或概率密度函數(shù)）的數(shù)字特征量。1二項(xiàng)式分布若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P，不發(fā)生的概率為（1-P），現(xiàn)在討論在N次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率，顯然k是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，可能取值為0,1，N。對(duì)于這樣一個(gè)隨機(jī)事件，可導(dǎo)出其概率分布為 （0-2-13）式中因子N！/k!(N-k)!代表N次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次，而不發(fā)生為（N-k）次的各種可能組合數(shù)。若令q1-P，則這個(gè)概率表示式剛好是二項(xiàng)式展開 （0-2-14）中的項(xiàng)，因此式（0-2-13）所表示的概率分布稱為二項(xiàng)式分布。二項(xiàng)式分布中有兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù)N和P，故往往又把式（0-2-13）中左邊概率函數(shù)的記號(hào)寫作p(k;N,P)。遵

26、從二項(xiàng)式分布的隨機(jī)變量k的期望值和方差分別為 （0-2-15） (0-2-16) 二次式分布有許多實(shí)際應(yīng)用。例如，穿過(guò)儀器的N個(gè)粒子被儀器探測(cè)到k個(gè)的概率，或N個(gè)放射性核經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后衰變k個(gè)的概率等，這些問(wèn)題的隨機(jī)變量k都服從二項(xiàng)式分布，又例如，在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)或民意測(cè)驗(yàn)中，抽樣試驗(yàn)以確定合乎其條件的結(jié)果的概率，也是二項(xiàng)式分布問(wèn)題。2泊松分布對(duì)于二項(xiàng)式分布，若，且每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，但期望值趨于有限值m，在這種極限情況下其分布如何？由二項(xiàng)式分布的概率函數(shù)式并考慮到的情況，即便可得到 （0-2-17）上式表示的概率分布稱泊松分布，可見泊松分布是二項(xiàng)式分布的極限情況。注意到時(shí)，便可得到遵從泊松

27、分布的隨機(jī)變量k的期望值和方差： （0-2-18） （0-2-19）因此，泊松分布只有一個(gè)參數(shù)m，它等于隨機(jī)變量的期望值或方差。例如，一塊放射性物質(zhì)在一定時(shí)間間隔內(nèi)的衰變數(shù)，一定時(shí)間間隔內(nèi)計(jì)數(shù)器記錄到的粒子數(shù)，高能荷電粒子在某固定長(zhǎng)度的路徑上的碰撞次數(shù)等，都遵從泊松分布。3均勻分布若連續(xù)隨機(jī)變量x在區(qū)間a,b上取值恒定不變，則這種分布為均勻分布，均勻分布的概率密度函數(shù) （0-2-20）其幾何表示見圖0-2-1。圖0-2-1 區(qū)間a,b上的均勻分布 圖0-2-2 區(qū)間0，1上的均勻分布均勻分布的期望值和方差為 （0-2-21） （0-2-22）實(shí)驗(yàn)工作中常用0，1區(qū)間的均勻分布，若用r表示該區(qū)間

28、的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為這個(gè)分布如圖0-2-2所示，隨機(jī)變量r在該區(qū)間的期望值和方差，讀者不難求得。均勻分布是一種最簡(jiǎn)單的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，如數(shù)字式儀表末位1量化誤差，機(jī)械傳動(dòng)齒輪的回差，數(shù)值計(jì)算中湊整的舍入誤差等都遵從均勻分布。4正態(tài)分布實(shí)用中最重要的概率分布是正態(tài)分布（又稱高斯分布）。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為 （0-2-23）式中x是連續(xù)型隨機(jī)變量，和是分布參數(shù)，且0。為了標(biāo)志其特征，通常又用表示正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，用表示正態(tài)分布的分布函數(shù)，即不難求得，遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x的期望值和方差分別為, (0-2-24) . (0-2-25) 由此可見，正態(tài)分布中的參數(shù)是期望值，參數(shù)

29、是標(biāo)準(zhǔn)誤差，正態(tài)分布的特征由這兩個(gè)參數(shù)的數(shù)值完全確定；若消除了測(cè)量的系統(tǒng)誤差，則就是待測(cè)物理量的真值，它決定分布的位置；而的大小與概率密度函數(shù)曲線的“胖”、“瘦”有關(guān)，即決定分布偏離期望值的離散程度，不同參數(shù)值的正態(tài)分布概率密度函數(shù)曲線如圖0-2-3所示，曲線是單峰對(duì)稱的，對(duì)稱軸處于期望值和概率密度極大值所在處。圖0-2-3 不同參數(shù)值的正態(tài)分布曲線期望值和方差的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為 （0-2-26） (0-2-27)若，只要把隨機(jī)變量作線性變換 （0-2-28）則隨機(jī)變量u便遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且有 （0-2-29） （0-2-30）這樣便可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求概

30、率分布。例 某隨機(jī)變量x遵從正態(tài)分布，試?yán)脴?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表分別求出x落在期望值附近，2和3的概率含量。解：由式（0-2-27）可知，當(dāng)x偏離期望值，2和3時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量取值分別為1，2和3，故查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求隨機(jī)變量落在區(qū)間-1，1、-2，2和-3，3內(nèi)的概率即可。當(dāng)隨機(jī)變量等于1時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表給出，這是圖0-2-4曲線下的陰影部分（區(qū)間為），而我們求的是圖0-2-5曲線下的陰影部分（區(qū)間為-1，1），即圖0-2-4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 圖0-2-5 同理，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量等于2和3時(shí)，分別有故x落在區(qū)間內(nèi)的概率含量為68.3%；落在區(qū)間內(nèi)的概率含量為95.4%；落在

31、區(qū)間內(nèi)的概率含量為99.7%。理論上可以證明，若一個(gè)隨機(jī)變量是由大量的、相互獨(dú)立的、微小的因素所合成的總效果，則這個(gè)隨機(jī)變量就近似地服從正態(tài)分布。這就是說(shuō)，由不能控制的大量的偶然因素造成的隨機(jī)誤差會(huì)遵從或近似遵從正態(tài)分布。另外，許多非正態(tài)分布也常以正態(tài)分布為極限或很快趨于正態(tài)分布。例如，對(duì)于泊松分布，若期望值m足夠大時(shí)，它趨近于形式而泊松分布的故上式與正態(tài)分布的形式相同。雖然泊松分布中的k是離散型變量，但當(dāng)時(shí)泊松分布已很接近于正態(tài)分布。又例如，對(duì)于二項(xiàng)式分布，當(dāng)N足夠大時(shí)，也趨于形式為的正態(tài)分布，只不過(guò)而已。0-3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析與處理一、系統(tǒng)誤差的分析與處理系統(tǒng)誤差是一種固定的或服從一定規(guī)律

32、變化的誤差。對(duì)某物理量作多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，故通常不能用處理隨機(jī)誤差的方法來(lái)處理。前面討論隨機(jī)誤差是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不包含系統(tǒng)誤差為前提的?？墒窍到y(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差往往是同時(shí)存在于測(cè)量數(shù)據(jù)中，有時(shí)系統(tǒng)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響比隨機(jī)誤差還要嚴(yán)重。如果不消除或不減少系統(tǒng)誤差的影響，就會(huì)使得對(duì)隨機(jī)誤差的估計(jì)變得毫無(wú)意義。對(duì)于一個(gè)具體實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，要能找出造成系統(tǒng)誤差的主要原因。然后，從實(shí)驗(yàn)中設(shè)法限制和消除這些因素的影響。下面我們就系統(tǒng)誤差的主要來(lái)源如何判斷系統(tǒng)誤差的存在以及限制和消除系統(tǒng)誤差進(jìn)行討論。1.系統(tǒng)誤差的來(lái)源分析(1)裝置誤差儀器、儀表誤差儀器、儀表誤差是由于使用的儀器或量具在結(jié)構(gòu)上不

33、完善、或沒(méi)有按照操作規(guī)程使用而引起的誤差。例如電工儀表、電橋、電位差計(jì)等的誤差。標(biāo)準(zhǔn)器誤差標(biāo)準(zhǔn)器是提供標(biāo)準(zhǔn)量值的器具，如標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻等，它們本身的標(biāo)稱值含有的誤差。安置誤差安置誤差是由于儀器或被測(cè)工件的安置不當(dāng)所引的誤差。例如，有些電工儀表按規(guī)定應(yīng)水平放置，而在使用時(shí)，垂直放置儀表引起的誤差。裝備、附件誤差裝備、附件誤差主要指的是電源的波形、三相電源的不對(duì)稱度，各種測(cè)量附件如轉(zhuǎn)換開關(guān)、觸點(diǎn)、接線引起的誤差以及測(cè)試設(shè)備和電路的安裝、布置或調(diào)整不完善等產(chǎn)生的誤差。(2)方法誤差（理論誤差）測(cè)量方法本身的理論根據(jù)不完善或采用了近似公式引起的誤差稱為方法誤差。例如，電阻與溫度的關(guān)系為RR20+(

34、t-20)+(t-20)2式中：R溫度t的電阻； R20溫度20時(shí)的電阻；電阻的一次溫度系數(shù)； 電阻的二次溫度系數(shù)；在實(shí)驗(yàn)中不考慮溫度因素的影響而引起的系統(tǒng)誤差R-(t-20)-(t-20)2，消除它的方法就是進(jìn)行溫度修正。(3)觀測(cè)者誤差觀測(cè)者誤差是由于觀測(cè)者的生理或心理上的特點(diǎn)和固有習(xí)慣所造成的。例如，觀測(cè)者對(duì)刻度尺進(jìn)行估讀時(shí)，習(xí)慣地偏向某一方向（始終偏大或偏?。┯涗浶畔⒒蛴?jì)時(shí)的滯后等所造成的誤差。(4)環(huán)境誤差環(huán)境誤差是在測(cè)量時(shí)的環(huán)境影響量（如溫度、濕度、氣壓、電磁場(chǎng)等）偏離規(guī)定值時(shí)而產(chǎn)生的誤差。除上述系統(tǒng)誤差的來(lái)源外，還有很多系統(tǒng)誤差是很復(fù)雜的。例如，刻度盤刻度線不準(zhǔn)確而引起的測(cè)量示數(shù)

35、的誤差，就是一種比較復(fù)雜的系統(tǒng)誤差。因此，我們?cè)谠O(shè)計(jì)和制造測(cè)量?jī)x器以及設(shè)計(jì)選擇測(cè)量方法時(shí)，都要預(yù)先考慮系統(tǒng)誤差的來(lái)源，盡可能將系統(tǒng)誤差減小到所允許的范圍內(nèi)。2.系統(tǒng)誤差存在的判斷對(duì)比檢驗(yàn)是判斷系統(tǒng)誤差存在的常用方法。這里所說(shuō)的對(duì)比，可以是把要判斷的實(shí)驗(yàn)結(jié)果跟標(biāo)準(zhǔn)值、理論值比較；或者是跟準(zhǔn)確度較高的儀器設(shè)備的測(cè)量值相比較；還可以是跟采用不同的實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得的結(jié)果相比較。由于隨機(jī)誤差不可避免，在系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在的情況下，應(yīng)進(jìn)行多次測(cè)量以減少隨機(jī)誤差的影響，才能有效地判斷系統(tǒng)誤差的存在。在多次測(cè)量中，分析測(cè)量數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的規(guī)律（特別是偏差的變化），往往會(huì)有助于發(fā)現(xiàn)隨時(shí)間線性變化或周期變化的

36、系統(tǒng)誤差。分布檢驗(yàn)也是判斷系統(tǒng)誤差的一種重要方法。這是一種假設(shè)檢驗(yàn)，先由理論分析和過(guò)去同類測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為測(cè)量值應(yīng)該遵從某種分布，然后用統(tǒng)計(jì)量作檢驗(yàn)，判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否與假設(shè)分布相符，如果不符可懷疑測(cè)量中存在著系統(tǒng)誤差。直接分析實(shí)驗(yàn)原理、方法以及實(shí)驗(yàn)條件的變化，也是判斷系統(tǒng)誤差的一種有效方法。如果實(shí)驗(yàn)方案本身就存在著不完備性。比如說(shuō)計(jì)算公式是近似的，測(cè)量方法受到某種副效應(yīng)或某種干擾的影響，則這個(gè)實(shí)驗(yàn)必然存在著系統(tǒng)誤差。另外，有些實(shí)驗(yàn)所研究的物理現(xiàn)象存在著統(tǒng)計(jì)漲落，測(cè)量?jī)x器產(chǎn)生零點(diǎn)漂移，控制的實(shí)驗(yàn)條件隨時(shí)間而明顯變化等，這些因素也就帶來(lái)了系統(tǒng)誤差?？傊?，對(duì)實(shí)驗(yàn)本身的分析研究，往往會(huì)使我們能直接找出

37、系統(tǒng)誤差并可估計(jì)其大小。3.系統(tǒng)誤差的限制和消除方法(1)消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源。在測(cè)量之前，要求測(cè)量者對(duì)可能產(chǎn)系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細(xì)的分析，從產(chǎn)生根源上加以消除。例如，若系統(tǒng)誤差來(lái)自儀器不準(zhǔn)確或使用不當(dāng)，則應(yīng)該把儀器校準(zhǔn)并按規(guī)定的使用條件去使用；若理論公式只是近似的，則應(yīng)在計(jì)算時(shí)加以修正；若測(cè)量方法上存在著某種因素會(huì)帶來(lái)系統(tǒng)誤差，則應(yīng)估計(jì)其影響的大小或改變測(cè)量方法以消除其影響；若外界環(huán)境條件急劇變化，或存在著某種干擾，則應(yīng)設(shè)法穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)條件，排除有關(guān)干擾；若測(cè)量人員操作不善，或者讀數(shù)有不良偏向，則應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練以改進(jìn)操作技術(shù)，以及克服不良偏向等。總之，從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上加以消除，無(wú)疑是一種最根

38、本的方法。(2)在測(cè)量中限制和消除系統(tǒng)誤差。對(duì)于固定不變的系統(tǒng)誤差的限制和消除，在測(cè)量過(guò)程中常常采用下列方法：抵消法。有些定值的系統(tǒng)誤差無(wú)法從根源上消除，也難以確定其大小而修正，但可以進(jìn)行兩次不同的測(cè)量，使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等而符號(hào)相反，然后取兩次測(cè)量的平均值便可消除系統(tǒng)誤差。例如螺旋測(cè)微計(jì)空行程（螺旋旋轉(zhuǎn)但量桿不動(dòng)）引起的固定系統(tǒng)誤差，可以從兩個(gè)方向?qū)?biāo)線來(lái)消除。先順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，對(duì)準(zhǔn)標(biāo)志讀數(shù)，a為不含系統(tǒng)誤差的讀數(shù)，為空行程引起的誤差。再逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，對(duì)準(zhǔn)標(biāo)志讀數(shù)。兩次讀數(shù)取平均，即得，可見空行程所引起的誤差已經(jīng)消除。代替法。在某裝置上對(duì)未知量測(cè)量后，馬上用一標(biāo)準(zhǔn)量代替未知量

39、再進(jìn)行測(cè)量，若儀器示值不變，便可肯定被測(cè)的未知量即等于標(biāo)準(zhǔn)量的值，從而消除了測(cè)量結(jié)果中的儀器誤差。例如用天平秤物體質(zhì)量m，若天平兩臂和不等，先使m與砝碼G平衡，則有。再以標(biāo)準(zhǔn)砝碼P取代質(zhì)量為m的物體，若調(diào)節(jié)P與G達(dá)到平衡，則有。從而，消除了天平不等臂引起的系統(tǒng)誤差。交換法。根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因，對(duì)某些條件進(jìn)行交換，以消除固定的誤差。例如用電橋測(cè)電阻，得。若兩臂有誤差，可將被測(cè)電阻互換再測(cè)得。從而可得，消除了帶來(lái)的誤差。下面再討論一定規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差的消除方法。對(duì)稱觀測(cè)法。這是消除隨時(shí)間線性變的系統(tǒng)誤差的有效方法。隨著時(shí)間的變化，被測(cè)量的量值作線性變化，如圖0-3-1所示。若定某時(shí)刻為中點(diǎn)，則對(duì)

40、稱于點(diǎn)的系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值彼此相等，即有。利用此規(guī)律，可把測(cè)量點(diǎn)對(duì)稱安排，取每組對(duì)稱點(diǎn)讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)量值，便可消除這類系統(tǒng)誤差。 圖0-3-1 線性變化的系統(tǒng)誤差 圖0-3-2 周期變化的系統(tǒng)誤差有些按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，若在短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為是線性變化的，也可近似地作為線性誤差處理，從而也可用對(duì)稱測(cè)量法減少誤差。半周期偶次測(cè)量法。這是消除周期性系統(tǒng)誤差的基本方法。周期性誤差一般出現(xiàn)在有圓周運(yùn)動(dòng)的情況（如度盤等），以2為周期呈正弦變化。因此，在相距半周期（180）的位置上作一次測(cè)量，取兩次讀數(shù)的平均值，便可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。這種誤差一般表示為式中a為周期性系統(tǒng)誤差的幅值。當(dāng)位

41、相時(shí)誤差，當(dāng)位相時(shí)誤差。故相隔半周期兩次觀測(cè)誤差的平均值，即周期性系統(tǒng)誤差得到消除。實(shí)時(shí)反饋修正法。這是消除各種變值系統(tǒng)誤差的自動(dòng)控制方法。當(dāng)查明某種誤差因素（例如位移、氣壓、溫度、光強(qiáng)等）的變化時(shí)，由傳感器將這些因素引起的誤差反饋回控制系統(tǒng)，通過(guò)計(jì)算機(jī)根據(jù)其影響測(cè)量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行處理，對(duì)測(cè)量結(jié)果作出自動(dòng)補(bǔ)償修正。這種方法在微機(jī)控制的自動(dòng)測(cè)量技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用。二、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)處理的任務(wù)是要從測(cè)量結(jié)果找出隨機(jī)變量的分布規(guī)律或它的數(shù)字特征量，從而得出結(jié)論。從理論上講，只要測(cè)量的次數(shù)足夠多，隨機(jī)變量的規(guī)律性一定能呈現(xiàn)出來(lái)，但實(shí)際上進(jìn)行的或允許的觀測(cè)次數(shù)總是有限的，有時(shí)甚至是少量的

42、，因此我們關(guān)心的是怎樣有效地利用有限的數(shù)據(jù)，才能去掉那些由于測(cè)量次數(shù)不夠多引起的隨機(jī)干擾，盡可能作出精確可靠的結(jié)論。由于測(cè)量時(shí)不是對(duì)全部可能的取值進(jìn)行研究，只是得到一個(gè)容量有限的隨機(jī)子樣，因此，基于這個(gè)隨機(jī)子樣得出的結(jié)論一定包含一定的不確定性，概率就是這種不確定性的量度。這時(shí)必須用概率的語(yǔ)言來(lái)表述我們的結(jié)論。例如：對(duì)于某個(gè)正態(tài)變量測(cè)量結(jié)果表述為，通常意味在到范圍內(nèi)取值的概率為68.3%，表述這一結(jié)論所用的概率稱為置信水平。由于子樣平均值本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，故區(qū)間也應(yīng)是隨機(jī)的，則或該兩式說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)包含真值的可靠程度為68.3%，或者說(shuō)子樣均值有68.3%的可能性落在以真值a為中心、的區(qū)間范圍

43、內(nèi)。通常，稱為置信區(qū)間（或置信限），為置信區(qū)間的半長(zhǎng)。68.3%為置信概率（或置信度），常表示為，稱顯著性水平。概括起來(lái)，可以對(duì)測(cè)量結(jié)果作以下結(jié)論：測(cè)量結(jié)果子樣平均值置信區(qū)間半長(zhǎng)該結(jié)論說(shuō)明，一切測(cè)量結(jié)果應(yīng)該理解為在一定置信概率下，以子樣平均值為中心，以置信區(qū)間半長(zhǎng)為界限的量，這正是誤差統(tǒng)計(jì)意義的所在。當(dāng)隨機(jī)變量規(guī)律的函數(shù)形式已知，未知的只是其中某些參數(shù)的數(shù)值時(shí)，數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是要估計(jì)這些參數(shù)的數(shù)值。在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，這些參數(shù)往往就是我們要求的物理量的數(shù)值，如正態(tài)變量的期望值常常就是所要測(cè)量的物理量的真值。假設(shè)是分布的參數(shù)，測(cè)量得到的子樣為，當(dāng)未知時(shí)，我們可尋找子樣的一個(gè)合適的函數(shù)作為的估計(jì)量，并

44、給出這種估計(jì)的誤差大小，這種估計(jì)方法稱為分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，子樣的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。我們也可以尋找兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，而且有，使參數(shù)落在區(qū)間之間有足夠大的（給定的）概率，這種估計(jì)方法稱為分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。此外還可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或其他方面的知識(shí)給參數(shù)以某假設(shè)值，然后建立統(tǒng)計(jì)推斷方法，利用子樣提供的信息在一定的概率水平下對(duì)接受或拒絕這個(gè)假設(shè)作出決斷，這一類的假設(shè)檢驗(yàn)稱為參數(shù)檢驗(yàn)；當(dāng)隨機(jī)變量分布規(guī)律的函數(shù)形式未知時(shí)，我們也可以根據(jù)理論的預(yù)測(cè)或經(jīng)驗(yàn)對(duì)它所遵從的分布規(guī)律作出假設(shè)，用統(tǒng)計(jì)推斷的方法對(duì)是否接受這一假設(shè)作出決斷，這一類的假設(shè)檢驗(yàn)稱為擬合性檢驗(yàn)。當(dāng)然還可以利用測(cè)量結(jié)果對(duì)其他假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。根據(jù)近代物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

45、分析處理的需要，我們著重介紹參數(shù)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)）的最大似然法與分布規(guī)律的檢驗(yàn)方法。三、分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)分布參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的方法是用統(tǒng)計(jì)量作出參數(shù)的估計(jì)量，而統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)子樣的函數(shù)。隨機(jī)子樣可以看作是一個(gè)N維的隨機(jī)變量，一次測(cè)量得到子樣的N個(gè)隨機(jī)數(shù)值，另一次測(cè)量得到另N個(gè)隨機(jī)數(shù)值，因此它們的函數(shù)必然也是隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，它必然遵從一定的分布規(guī)律，有它的期待值、方差及其他數(shù)字特征量。由于統(tǒng)計(jì)量是我們對(duì)母體分布參數(shù)和分布規(guī)律進(jìn)行推斷的基礎(chǔ)，因此統(tǒng)計(jì)量本身的分布和數(shù)字特征量是我們必須加以研究的。根據(jù)母體的分布規(guī)律及統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)形式，原則上可以導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量遵從的分布規(guī)律。一般說(shuō)來(lái)，要確定統(tǒng)計(jì)量的精

46、確分布是很復(fù)雜的，對(duì)于一些特殊情形，如母體是正態(tài)分布時(shí)，這個(gè)問(wèn)題有較簡(jiǎn)單的解法。必須指出的是：統(tǒng)計(jì)量遵從的分布規(guī)律和母體的分布不一定相同。例如，當(dāng)母體為正態(tài)分布時(shí)，某些統(tǒng)計(jì)量卻遵從分布、t分布或者其他分布規(guī)律。如果參數(shù)的估計(jì)量的期待值滿足則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。有些估計(jì)量不滿足式（0-3-1）但是當(dāng)子樣容量N時(shí)滿足這種估計(jì)量稱為漸近的無(wú)偏估計(jì)量。對(duì)于同一個(gè)參數(shù)，可以用不同方法設(shè)計(jì)不同形式的統(tǒng)計(jì)量作為的估計(jì)量，常用的方法之一是最大似然法。1.參數(shù)估計(jì)的最大似然法子樣可看作N維的隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度稱為子樣的似然函數(shù)。由于是隨機(jī)變量x的隨機(jī)子樣，因此其中各個(gè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)（對(duì)于離散型

47、變量，則是概率函數(shù)）的形式和x的概率密度函數(shù)相同，只需把x換為xi。由于各xi是互相獨(dú)立的，根據(jù)式（0-3-6）似然函數(shù)等于各個(gè)觀測(cè)值xi ，概率密度的乘積，即似然函數(shù)為對(duì)于已知的，L的大小說(shuō)明哪些子樣有較大的可能性；當(dāng)未知而已知時(shí)，采用的不同估算計(jì)值L將有不同的數(shù)值，L的大小說(shuō)明哪一些值有較大的可能性，亦即實(shí)測(cè)子樣對(duì)的估計(jì)提供了一定的信息。選擇使實(shí)測(cè)數(shù)值有較大概率密度的參數(shù)值作為的估計(jì)值是一種很自然的估計(jì)辦法，這就是最大似然法。如果估計(jì)值使似然函數(shù)最大，即則稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)。求最大似然估計(jì)量的具體辦法是解似然方程 （0-3-2）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論證明，用最大似然法求出估算計(jì)量具有一系列的優(yōu)

48、良性質(zhì)，但最大似然估計(jì)量通常是漸近的無(wú)偏估計(jì)量。小子樣的最大似然估計(jì)量不一定是無(wú)偏估計(jì)量，然而可以通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整使其成為無(wú)偏估計(jì)量。2.檢驗(yàn)若N個(gè)不等精度的觀測(cè)值分別服從正態(tài)分布，這時(shí)量定義為 （0-3-3）式中的為的加權(quán)平均值。如果某些觀測(cè)值存在系統(tǒng)誤差使得它們的期待值偏離被測(cè)的真值，或者某些觀測(cè)值對(duì)誤差的估計(jì)過(guò)小都會(huì)使量的數(shù)值遠(yuǎn)小于N-1。因此，當(dāng)量的數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于N-1時(shí)，表明這組觀測(cè)值之間存在著不協(xié)調(diào)。由于的概率小于1/400，若，通常不能認(rèn)為有系統(tǒng)誤差存在；若則表明有系統(tǒng)誤差存在或者在某些測(cè)量中誤差的估計(jì)過(guò)??；當(dāng)介于1與2之間則不能確定是否有系統(tǒng)誤差的存在。當(dāng)檢驗(yàn)表明有系統(tǒng)誤差存在時(shí)，

49、應(yīng)對(duì)各個(gè)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行審核，把可疑值剔去，重新計(jì)算并再作檢驗(yàn)。檢驗(yàn)可以幫助我們發(fā)現(xiàn)是否有明顯的系統(tǒng)誤差，但并不能通過(guò)檢驗(yàn)把系統(tǒng)誤差都找出來(lái)，例如當(dāng)?shù)臄?shù)值介于1與2之間時(shí)，量偏大有可能是由于存在系統(tǒng)誤差，也可能是統(tǒng)計(jì)漲落的結(jié)果。3應(yīng)用舉例 表0-3-2列出H2電離電勢(shì)的一組不等精度的測(cè)量值，現(xiàn)在進(jìn)行綜合分析如下：表0-3-2 H2電離電勢(shì)的測(cè)量值i12345616.517.115.615.415.615.370.6745Si0.50.20.10.10.10.03用Si作為的估計(jì)值分別代入式（3-15）和（3-18）求出加權(quán)平均值和量分別為同樣用Si作為的估計(jì)值，由式（3-17）和（3-19）求出平

50、均值方差的兩種估計(jì)值分別為0.00153和0.01098，二者相差太大，疑有系統(tǒng)誤差存在，這時(shí)作檢驗(yàn)得到數(shù)值顯然太大，因此肯定有系統(tǒng)誤差存在?，F(xiàn)在去掉17.10.2這一組數(shù)據(jù)再處理一次，得到再用兩種方法計(jì)算平均值方差的估計(jì)量，分別為：0.00155和0.00243二者已無(wú)重大差別，這時(shí)作檢驗(yàn)得，可以認(rèn)為剩下的五組數(shù)據(jù)已不存在明顯的不協(xié)調(diào)，最后結(jié)果可表示為。0-4 最小二乘擬合在物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常要觀測(cè)兩個(gè)有函數(shù)關(guān)系的物理量。根據(jù)兩個(gè)量的許多組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定它們的函數(shù)曲線，這就是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的曲線擬合問(wèn)題。這類問(wèn)題通常有兩種情況：一種是兩個(gè)觀測(cè)量x與y之間的函數(shù)形式已知，但一些參數(shù)未知，需要確定未

51、知參數(shù)的最佳估計(jì)值；另一種是x與y之間的函數(shù)形式還不知道，需要找出它們之間的經(jīng)驗(yàn)公式。后一種情況常假設(shè)x與y之間的關(guān)系是一個(gè)待定的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式系數(shù)就是待定的未知參數(shù)，從而可采用類似于前一種情況的處理方法。一、最小二乘法原理在兩個(gè)觀測(cè)量中，往往總有一個(gè)量精度比另一個(gè)高得多，為簡(jiǎn)單起見把精度較高的觀測(cè)量看作沒(méi)有誤差，并把這個(gè)觀測(cè)量選作x，而把所有的誤差只認(rèn)為是y的誤差。設(shè)x和y的函數(shù)關(guān)系由理論公式y(tǒng)f（x；c1，c2，cm） （0-4-1）給出，其中c1，c2，cm是m個(gè)要通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的參數(shù)。對(duì)于每組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）i1，2，N。都對(duì)應(yīng)于xy平面上一個(gè)點(diǎn)。若不存在測(cè)量誤差，則這些數(shù)據(jù)點(diǎn)都準(zhǔn)

52、確落在理論曲線上。只要選取m組測(cè)量值代入式（0-4-1），便得到方程組 yif（x；c1，c2，cm） （0-4-2） 式中i1，2，m.求m個(gè)方程的聯(lián)立解即得m個(gè)參數(shù)的數(shù)值。顯然Nm的情況下，式（0-4-2）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得m個(gè)參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來(lái)處理。設(shè)測(cè)量中不存在著系統(tǒng)誤差，或者說(shuō)已經(jīng)修正，則y的觀測(cè)值yi圍繞著期望值 擺動(dòng)，其分布為正態(tài)分布，則yi的概率密度為,式中是分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差。為簡(jiǎn)便起見，下面用C代表（c1，c2，cm）?？紤]各次測(cè)量是相互獨(dú)立的，故觀測(cè)值（y1，y2，cN）的似然函數(shù).取似然函數(shù)L最大來(lái)估計(jì)參數(shù)C，應(yīng)使 （0-4-3）對(duì)于y的分布不限于正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，式（0-4-3）稱為最小二乘法準(zhǔn)則。若為正態(tài)分布的情況，則最大似然法與最小二乘法是一致的。因權(quán)重因子，故式（0-4-3）表明，用最小二乘法來(lái)估計(jì)參數(shù)，要求各測(cè)量值yi的偏差的加權(quán)平方和為最小。根據(jù)式（0-4-3）的要求，應(yīng)有從而得到方程組