極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限教案

1、 1.7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限問題，有些可用上節(jié)運(yùn)算法則獲得解決，但更多的遠(yuǎn)不能sin x解決，例已知X ：時(shí)，f X0,X但X 0時(shí)，f X二叱 ? 0是否有？如果有，怎樣求？X01再如f n =(1)nn； “無限多個(gè)積，n換成X？n一極限存在準(zhǔn)則I1 準(zhǔn)則I如果數(shù)列Xn,yn,zn n =1,2， 滿足：(1) yn f 乞 Zn n =1,2,(2) lim yn 二 a , lim zn 二 anjpc那么數(shù)列Xn的極限存在，且lim x n = a.njpc證：tlim yn =a , lim z n = a，n ，n，PE 0 EN1，當(dāng) n N1 時(shí)，有 yn a

2、 0三n2，當(dāng)nN2時(shí)，有za,取 N 二 maxN1,Nf，則當(dāng) n N 時(shí)，有,yn-av zn-av名同時(shí)成立即 a-yn a ；, a _ ； ： zn ： a ；,而 yn 乞 xn 豈 z n n 二 1,2，n， awcyn 蘭 Xn EZn ca + J 即 XnaS故 lim xn = a。n n：數(shù)列極限存在準(zhǔn)則I可推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則如果 xU（?0，r）（或 x M ）時(shí)，有 gx_fx_hx 成立； lim g A, lim h x ;= A （ x； x0或 x；）,那么 lim h xi；=A （ x； x0 或 x； ： ）準(zhǔn)則1,1 稱為夾逼準(zhǔn)則。sin x2

3、利用準(zhǔn)則I 證明第一個(gè)重要極限：lim =1 xT xsin x證：函數(shù)在x = 0時(shí)有定義x單位圓中，AOB的面積V扇形AOB的面積v AOD的面積111即一sinx xtanx,sin x用-x代x時(shí)，cosx與 都不變號(hào),x22一sin x “cosx ：: 1 （1）（x對(duì) xJI 1,0也成立）。2lim cosx = 1x=0JI0X 時(shí)，0 COSX -1 = 1 2-cos2sin2|/| x2x2 2即0 v1 -cosx v x , xt 0 x2 2由準(zhǔn)則I 有l(wèi)im cosx =1xtsin x由式（1）及準(zhǔn)則I 即得lim=1XTO x3.應(yīng)用：求極限（1） lim

4、sinx = 1 lim1xt xxto sin x3x1 lim x_0-cosxx2弋02sin2x ）：lim tanx 二 1 lim xsin- = 1,x.0sin5x limx0sin 3x-si nx2cos2xs inx olimlim2x7xx0lim 2n sin二7（ x 式0 ,常數(shù)） n ,2口ex:lim coscos- cos-n： 2 22 2nlimn j：:x xx= cosCOSp cos2 22:sin * = 0, y2ns lim y =1xn_：n, ysinx2sinx2nxsin 2n2n二極限存在準(zhǔn)則U如果數(shù)列Xn滿足捲空X2 -XnXny

5、 -,稱為單調(diào)增加的（減少）。已知收斂的數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。若數(shù)列單調(diào)且有界，則有：1 準(zhǔn)則U：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。（正確性通過數(shù)列的幾何意義容易從直 觀上看出，嚴(yán)格的證明用實(shí)數(shù)理論，不作證明。）幾何解釋：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列的點(diǎn)只向一個(gè)方向移動(dòng) Xn)二尤,Xn 定點(diǎn)A 因?yàn)橛薪?，所以xn都落在- M,M 1內(nèi)，且極限的絕對(duì)值不超過 MX_：2討論第二個(gè)重要極限lim 1+丄1考慮x取n并t中辺 x丿(1、設(shè)Xn = 1+- | ,證數(shù)列單調(diào)有界。 n丿X 1 n1 n(n-1) 1 n(n -1)(n-2) 1 n(n-1) (n - n 1) 1Xn - 1,1! n1 ( 1+1

6、+ 12!Xn1 = 1+1+2!2! n21 1 f 1 Y1n!一一+ n 3!彳 1 11 -n13! C n-1、 廣 1 1+3!2n-1-3n1n!2n!2)( + 1 X LnJ (1n1 -1 -、n +1 丿 n +1 丿n 1n 1nnn - 11 -n丿比較Xn與Xn 1，Xn Xn 1數(shù)列單調(diào)增加廠1丄1丄丄1n!又 Xn1+1+-2!3!：1 1 1212212n，21 一2二：:X的極限都存在且等于e，X)二因此，lim1+丄x丿XI二 e.(e=2.718281828 )11利用代換z二-0可有l(wèi)im 1 z ez 03.應(yīng)用求極限(1) lim 1x_）：、x1

7、、lim 1 xe J limx(2) limX_c(e3 )lim 1 +- |5x彳21、x丿x2 1JO =e= lim 1x_oc I1+2Xx21+ 2x.利用極限存在準(zhǔn)則求極限2n lim 0 n n!FI2 2 22 2 21 2 3 n 一 3例1.證明:、 2n證：由于0=n!2n所以 lim 一=0. y n!nd. nR ,lim.3 丿、n工=0,例2.已知對(duì)n =1,2,均有0 ： xn : 1,且xn d2-2xn - xn ,求 lim xnnT：-解：由于 Xn 1 = 2Xn _ X：,故 Xn - X. = X. _ X：Xn 1 - Xn而 0 ： xn ”： 1，故 Xn Xn 0Xn即Xn 1，Xn,數(shù)列單調(diào)增加。又Xn廠1 - Xn -1 2 ：1,可知數(shù)列有界.所以lim xn存在，設(shè)lim xn二an2 2則由 lim xn .二 lim (2xn - xn),有 a = 2a - a