考點五十三二項式定理(理)學(xué)生

1、玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂二項式定理知識梳理1 二項式定理n0 n1 n 1r n r rn n*(a b) Cna Cnab Cna b Cnb (n N )這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做( a b)n 的二項展開式，其中的rr n r r系數(shù) Cn(r 0， 1， 2， ， n)叫做第 r 1 項的二項式系數(shù)式中的Cna b 叫做二項式展開式的第 r 1 項 (通項 )，用 Tr 1 表示，即展開式的第 r 1項； Tr 1 Cnran r br 2. 二項展開式形式上的特點(1) 項數(shù)為 n 1(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即 a 與 b 的指數(shù)的和為 n

2、.(3)字母 a 按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n 逐項減 1 直到零；字母b 按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1 直到 n.(4) 二項式的系數(shù)從 C0n，C1n，一直到 Cnn 1， Cnn3.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1) 對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，0 k n 時， Ckn與 Cnn k的關(guān)系是Ckn Cnn k.(2) 增減性與最大值先增后減中間最大n 1n 1當(dāng) r 2 時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)r 2時，二項式系數(shù)是遞減的；當(dāng) n 為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，即第n 1 項的二項式系數(shù)最大；2當(dāng) n 為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大，即第 n1項和 n

3、3項的二項式系數(shù)最大22(3) 二項式系數(shù)和： 二項式系數(shù)的和等于 2n，即 C0n C1n C2n Cnn 2n，(4) 二項式展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C0n C2n C4n C1n Cn3 C5n 2n 1.典例剖析題型一二項展開式指定項的系數(shù)例 1 (1)(2015 福建理 )(x 2) 5 的展開式中， x2 的系數(shù)等于 _(用數(shù)字作答 )(2)(2015 重慶理 ) x3 15 的展開式中 x8 的系數(shù)是 _(用數(shù)字作答 )2x玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂變式訓(xùn)練(1)(2015 四川理 )在 (2x 1)5 的展開式中，含x2 的項的系數(shù)是 _(

4、用數(shù)字填寫答案 )(2)(2015 廣東理 )在 ( x 1)4 的展開式中， x 的系數(shù)為 _題型二三項或乘積形式的展開式問題例 2 (2015 新課標(biāo)理 )(x2 x y)5 的展開式中， x5y2 的系數(shù)為 ()A10B 20C 30D 60變式訓(xùn)練(1 x)8(1 y)4 的展開式中 x2y2 的系數(shù)是 _題型三二項式系數(shù)的性質(zhì)2n例 3 若 ( x x2)展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是()A360B 180C 90D 45變式訓(xùn)練(2015 湖北理 )已知 (1 x)n 的展開式中第 4項與第 8 項的二項式系數(shù)相等， 則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 ()A29B

5、210C 211D 212題型四賦值法與二項式系數(shù)和問題例 4 如果 (2x1) 6 a0a1x a2x2 a6x6，那么 a1 a2 a6 的值等于 _變式訓(xùn)練(2015 新課標(biāo) II 理)( a x)(1 x)4 的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a _.當(dāng)堂練習(xí)1 (2015 湖南理 )已知a5的展開式中含的項的系數(shù)為 30，則 a ()xxA. 3B 3C 6D 62在 2x2 1 5 的二項展開式中，x 的系數(shù)為 ()xA10B 10C40D 403. 若 (x 1)5 a5( x 1)5 a1(x 1) a0，則 a0 和 a1 的值分別為 ()A 32,80B 32

6、,40C 16,20D 16,104若二項式a 7的展開式中184，則實數(shù) a 等于 ()(2x )x3的系數(shù)是xA 2B. 54C 1D.245 (2015 新課標(biāo) II 理 )( ax)(1 x)4 的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則 a_.玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂課后作業(yè)一、 選擇題1 (2015陜西理 )二項式 (x 1)n(n N )的展開式中 x2 的系數(shù)為15，則 n 等于 ()A 4B 5C 6D 72 (2014四川 )在 x(1 x)6 的展開式中，含x3 項的系數(shù)為 ()A30B 20C 15D 103 (2014南湖)(1x 2y)5 的展開式中 x2y

7、3 的系數(shù)是 ()2A 20B 5C 5D 204在x16 的展開式中，常數(shù)項為 ()3x55A 3B 3C 5D 5215的二項展開式中，第二項的系數(shù)為()5在 (x )xA10B10C5D 56已知 (x a)8 展開式中常數(shù)項為 1 120，其中實數(shù) a 是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是x()A28B 38C1 或 38D1 或 287在 ( x 1)n 的展開式中，只有第 5 項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是()23xA 7B 7C 28D 288若x a2x1 5 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項為 ()xxA 40B 20C20D 40二、填空題9 (2015 安徽理 )x31 7 的展開式中 x5 的系數(shù)是 _(用數(shù)字填寫答案 )x16的展開式中， x2的系數(shù)為 _10 (2015 天津理 )在 x4x11 (2015 北京理 )在(2 x)5 的展開式中，x3 的系數(shù)為 _(用數(shù)字作答 )三、解答題12已知 (1 2x)7 a0 a1xa2