2009年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何

1、2009年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何一、選擇題1. 1.(2009年廣東卷文)給定下列四個命題： 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中，為真命題的是 a和 b和 c和 d和 【答案】d【解析】錯, 正確, 錯, 正確.故選d2. （2009浙江卷文）設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）a若，則 b若，則 c若，則 d若，則 c

2、【命題意圖】此題主要考查立體幾何的線面、面面的位置關(guān)系，通過對平行和垂直的考查，充分調(diào)動了立體幾何中的基本元素關(guān)系【解析】對于a、b、d均可能出現(xiàn)，而對于c是正確的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2009北京卷文）若正四棱柱的底面邊長為1，與底面abcd成60角，則到底面abcd的距離為（ ） ab1cd【答案】d.w【解析】.k本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. 依題意，如圖，故選d.4. (2009山東卷文)已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )a.充分不必要條件 b.必要不

3、充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】:由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件 .答案:b.【命題立意】:本題主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念.5.（ 2009全國卷文） 已知正四棱柱中，=，為重點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為（a） (b) (c) (d) 答案：c解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，cdba,因此求eba中abe即可，易知eb=,ae=1,ab=,故由余弦定理求cosabe=，或由向量法可求。6. （2009江西卷文）如圖，在四面體中，截面是正方形，則

4、在下列命題中，錯誤的為. . 截面 . . 異面直線與所成的角為答案：c【解析】由，可得，故正確；由可得截面，故正確； 異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的，故選.7. （2009四川卷文）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是 a. b. c. 直線 d. 直線所成的角為45【答案】d【解析】ad與pb在平面的射影ab不垂直，所以a不成立，又，平面pab平面pae，所以也不成立；bcad平面pad, 直線也不成立。在中，paad2ab，pda45. d正確8. （2009四川卷文）如圖，在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，=90， 球心o到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離

5、是 a. b. c. d.2【答案】b【解析】ac是小圓的直徑。所以過球心o作小圓的垂線，垂足是ac的中點(diǎn)。 ，ac3，bc3，即bcoboc。 ，則兩點(diǎn)的球面距離9. （2009湖北卷文）如圖，在三棱柱abc-a1b1c1中，acb=900,acc1=600,bcc1=450,側(cè)棱cc1的長為1，則該三棱柱的高等于a. b. c. d. 【答案】a【解析】過頂點(diǎn)a作底面abc的垂線，由已知條件和立體幾何線面關(guān)系易求得高的長.10. （2009湖南卷文）平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為【 c 】a3 b4 c5 d6 解:如圖，用列舉法知合要求的棱為：、，故選c.11. （2009遼

6、寧卷文）如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25【解析】設(shè)地球半徑為r,則北緯緯線圓的半徑為rcos60r 而圓周長之比等于半徑之比,故北緯緯線長和赤道長的比值為0.5.【答案】c12. （2009全國卷文）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為(a) (b) (c) (d) 【解析】本小題考查棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角，基礎(chǔ)題。（同理7）解：設(shè)的中點(diǎn)為d，連結(jié)d，ad，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選d 13. （2009陜西卷文）若正方體的

7、棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 (a) (b) (c) (d) 答案:b. 解析:由題意知 以正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體（即兩個同底同高同棱長的正四棱錐），所有棱長均為1，其中每個正四棱錐的高均為，故正八面體的體積為, 故選b.15. （2009寧夏海南卷文） 如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點(diǎn)e，f，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 （a） （b） （c）三棱錐的體積為定值 （d）【答案】d【解析】可證故a正確，由平面abcd，可知，b也正確；連結(jié)bd交ac于o，則ao為三棱錐的高，三棱錐的體積為為定值，c正確；d錯誤。選d.16. （2009寧夏

8、海南卷文）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為 （a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】棱錐的直觀圖如右，則有po4，od3，由勾股定理，得pd5，ab6，全面積為：66265644812，故選.a。17. （2009重慶卷文）在正四棱柱中，頂點(diǎn)到對角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是（ ）a若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為b若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為c若側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為d若側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為【答案】c解析設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為，過作。在中，由三角形面積關(guān)系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.

9、m 設(shè)在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故為點(diǎn)到平面 的距離，在中，又由三角形面積關(guān)系得于是，于是當(dāng)，所以，所以二、填空題1. （2009全國卷文）設(shè)oa是球o的半徑，m是oa的中點(diǎn)，過m且與oa成45角的平面截球o的表面得到圓c。若圓c的面積等于，則球o的表面積等于 答案：8解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行運(yùn)算，由2. （2009浙江卷文）若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 【命題意圖】此題主要是考查了幾何體的三視圖，通過三視圖的考查充分體現(xiàn)了幾何體直觀的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體

10、積為，上面的長方體體積為，因此其幾何體的體積為183. （2009江蘇卷）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）. 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號是(1)(2)4. （2009安徽卷文）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a（1，0，2），b(1，-3，1)，點(diǎn)m在y軸上，且m到a與到b的距離相等，

11、則m的坐標(biāo)是_?！窘馕觥吭O(shè)由可得故【答案】(0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5. （2009安徽卷文）對于四面體abcd，下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的編號）。(1)相對棱ab與cd所在的直線是異面直線；(2)由頂點(diǎn)a作四面體的高，其垂足是bcd的三條高線的交點(diǎn)；(3)若分別作abc和abd的邊ab上的高，則這兩條高的垂足重合；(4)任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；（5）分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由空間四面體棱,面關(guān)系可判斷正確,可舉例說明錯誤.【答案】6. （2009四川卷文

12、）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作bc的中點(diǎn)n，連接an，則an平面bcc1b1， 連接b1n，則b1n是ab1在平面bcc1b1的射影，b1nbm，ab1bm.即異面直線所成的角的大小是907. （2009全國卷文）已知為球的半徑，過的中點(diǎn)且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_.【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎(chǔ)題。解：設(shè)球半徑為，圓m的半徑為，則，即由題得，所以。8. 2009陜西卷文）如圖球o的半徑為2，圓是一小圓，abo1o，a、b是圓上兩點(diǎn)，若=，則a,b兩點(diǎn)間的球面距離為

13、.答案: 解析:由,=2由勾股定理在中則有, 又= 則 所以在，則，那么 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由弧長公式得.9. （2009福建卷文）如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為。則該集合體的俯視圖可以是 解析 解法1 由題意可知當(dāng)俯視圖是a時，即每個視圖是變邊長為1的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是1，注意到題目體積是，知其是立方體的一半，可知選c. 解法2 當(dāng)俯視圖是a時，正方體的體積是1；當(dāng)俯視圖是b時，該幾何體是圓柱，底面積是，高為1，則體積是；當(dāng)俯視是c時，該幾何是直三棱柱，故體積是，當(dāng)俯視圖是d時，該幾何是圓柱切割而成，其體積是.故選c

14、.10.11.三、解答題1. (2009年廣東卷文)（本小題滿分13分）某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐pefgh,下半部分是長方體abcdefgh.圖5、圖6分別是該標(biāo)識墩的正(主)視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)(左)視圖;（2）求該安全標(biāo)識墩的體積（3）證明:直線bd平面peg【解析】(1)側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.（）該安全標(biāo)識墩的體積為：（）如圖,連結(jié)eg,hf及 bd，eg與hf相交于o,連結(jié)po. 由正四棱錐的性質(zhì)可知,平面efgh , 又 平面peg 又 平面peg；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. （2009浙江卷文

15、）（本題滿分14分）如圖，平面，分別為的中點(diǎn)（i）證明：平面；（ii）求與平面所成角的正弦值（）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面acd ，dc平面acd， 所以平面acd（）在中，所以 而dc平面abc，所以平面abc 而平面abe， 所以平面abe平面abc， 所以平面abe由（）知四邊形dcqp是平行四邊形，所以 所以平面abe， 所以直線ad在平面abe內(nèi)的射影是ap， 所以直線ad與平面abe所成角是 在中， ，所以3. （2009北京卷文）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)e在棱pb上.（）求證：平面； （）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時，求ae與平面p

16、db所成的角的大小.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力（）四邊形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）設(shè)acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， o，e分別為db、pb的中點(diǎn)， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.【解法2】如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）當(dāng)且e為pb的中點(diǎn)時， 設(shè)acbd=o，連接oe

17、， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.4. （2009全國卷文）（本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如圖，直三棱柱abc-a1b1c1中，abac,d、e分別為aa1、b1c的中點(diǎn)，de平面bcc1（）證明：ab=ac （）設(shè)二面角a-bd-c為60,求b1c與平面bcd所成的角的大小解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取bc中點(diǎn)f，通過證明af平面bcc1,再證af為bc的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形afed是正方形可證平面def平面bdc，從而找到線面夾角求解。此題兩問

18、也可建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解。解法一：（）取bc中點(diǎn)f，連接ef，則ef，從而efda。acba1b1c1de連接af，則adef為平行四邊形，從而af/de。又de平面，故af平面，從而afbc，即af為bc的垂直平分線，所以ab=ac。（）作agbd，垂足為g，連接cg。由三垂線定理知cgbd，故agc為二面角a-bd-c的平面角。由題設(shè)知，agc=600. 設(shè)ac=2，則ag=。又ab=2，bc=，故af=。由得2ad=，解得ad=。故ad=af。又adaf，所以四邊形adef為正方形。因為bcaf，bcad，afad=a，故bc平面def，因此平面bcd平面def。連接ae、d

19、f，設(shè)aedf=h，則ehdf，eh平面bcd。連接ch，則ech為與平面bcd所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因adef為正方形，ad=，故eh=1，又ec=2，所以ech=300，即與平面bcd所成的角為300.解法二：（）以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ab為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系axyz。設(shè)b（1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），則（1，0，2c）,e（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由de平面知debc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。（）設(shè)平面bcd的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1,

20、 z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以與平面所成的角為305. （2009江蘇卷）（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）ef平面abc； （2）平面平面.【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。6. （2009安徽卷文）（本小題滿分13分）如圖，abcd的邊長為2的正方形，直線與平面abcd平行，g和f式上的兩個不同點(diǎn)，且ea=ed，fb=fc， 和是平面abcd內(nèi)的兩點(diǎn)，和都與平面abcd垂直，（）證明：直線垂直

21、且平分線段ad：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若ead=eab=60，ef=2，求多面體abcdef的體積?！舅悸贰扛鶕?jù)空間線面關(guān)系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積，體現(xiàn)的是一種部分與整體的基本思想?！窘馕觥?1)由于ea=ed且點(diǎn)e在線段ad的垂直平分線上,同理點(diǎn)f在線段bc的垂直平分線上.又abcd是四方形線段bc的垂直平分線也就是線段ad的垂直平分線即點(diǎn)ef都居線段ad的垂直平分線上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,直線ef垂直平分線段ad.(2)連接eb、ec由題意知多面體abcd可分割成正四棱錐eabcd和正四面體ebcf兩部分.設(shè)ad中點(diǎn)為m,在

22、rtmee中,由于me=1, .abcd又bcf=vcbef=vcbea=veabc多面體abcdef的體積為veabcdvebcf=7. （2009江西卷文）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因為平面，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因為，所以平面，則，由（1）知，平面，則mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為o是bd的中點(diǎn)，則o點(diǎn)

23、到平面abm的距離等于d點(diǎn)到平面abm距離的一半，由（1）知，平面于m，則|dm|就是d點(diǎn)到平面abm距離.因為在rtpad中，所以為中點(diǎn)，則o點(diǎn)到平面abm的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：8. （2009四川卷文）（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求證：；（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （iii）求二面角的大小?！窘馕觥拷夥ㄒ唬阂驗槠矫鎍bef平面abcd，bc平面abcd，

24、bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因為abe為等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因為aef=45,所以feb=90，即efbe.因為bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中點(diǎn)n,連結(jié)cn,mn,則mnpc pmnc為平行四邊形,所以pmcn. cn在平面bce內(nèi),pm不在平面bce內(nèi), pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延長線于g,則fgea.從而fg平面abcd,作ghbd于h,連結(jié)fh,則由三垂線定理知bdfh. fhg

25、為二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.設(shè)ab=1,則ae=1,af=,則在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小為 12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (i) 設(shè)，則，從而 ，于是， , 平面，平面， （ii），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（iii）設(shè)平面的一個法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面d的一個法向量為 故二面角的大小為9.（ 2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 如圖，四棱

26、錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd,sdada,點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且dea(01). ()求證：對任意的（0、1），都有acbe:()若二面角c-ae-d的大小為600c，求的值。本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（滿分12分） （）證發(fā)1：連接bd，由底面是正方形可得acbd。 sd平面，bd是be在平面abcd上的射影，由三垂線定理得acbe.(ii)解法1：sd平面abcd，平面， sdcd. 又底面是正方形， dd，又ad=d，cd平面sad。過點(diǎn)d在平面sad內(nèi)做dfae于f，連接cf，則cf

27、ae， 故cfd是二面角c-ae-d 的平面角，即cfd=60在rtade中，ad=, de= ， ae= 。于是，df=在rtcdf中，由cot60=得， 即=3 ， 解得=10. （2009湖南卷文）（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱中，ab=4, ,點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)e在ac上，且dee.（）證明：平面平面; （）求直線ad和平面所成角的正弦值。解:（）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又de平面abc，所以de.而dee，,所以de平面.又de 平面，故平面平面. （）解法 1: 過點(diǎn)a作af垂直于點(diǎn),連接df.由（）知，平面平面，所以af平面,故是直線ad和平面所成的角。 因

28、為de，所以deac.而abc是邊長為4的正三角形，于是ad=，ae=4-ce=4-=3.又因為，所以e= = 4, , .即直線ad和平面所成角的正弦值為 .解法2 : 如圖所示，設(shè)o是ac的中點(diǎn)，以o為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a(2,0,0,), (2,0,), d(-1, ,0), e(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設(shè)是平面的一個法向量，則解得.故可取.于是 = . 由此即知，直線ad和平面所成角的正弦值為 .11.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）如圖，已知兩個正方形abcd 和dcef不在同一平面內(nèi)，m，n分別為ab

29、，df的中點(diǎn)。（i）若cd2，平面abcd 平面dcef，求直線mn的長；（ii）用反證法證明：直線me 與 bn 是兩條異面直線。 （19）解 （）取cd的中點(diǎn)g連結(jié)mg，ng. 因為abcd，dcef為正方形，且邊長為2， 所以mgcd，mg2，. 因為平面abcd平面dcef， 所以mg平面dcef，可得mgng. 所以 6分（）假設(shè)直線me與bn共面， .8分則平面mben，且平面mben與平面dcef交于en，由已知，兩正方形不共面，故平面dcef.又abcd，所以ab平面dcef.而en為平面mben與平面dcef的交線，所以aben.又abcdef,所以enef，這與矛盾，故假設(shè)

30、不成立。 所以me與bn不共面，它們是異面直線。 .12分12. （2009全國卷文）(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 （i）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。（同理18） 【解析】本小題考查空間里的線線關(guān)系、二面角，綜合題。（i）解法一：作交于n，作交于e，連me、nb，則面，,設(shè)，則,在中，。在中由解得，從而 m為側(cè)棱的中點(diǎn)m. 解法二:過作的平行線.（ii）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過作交于,作交于,作交于,則,面,面面,面即為所求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面

31、角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為am的中點(diǎn)，取sa的中點(diǎn)g，連gf，易證，則即為所求二面角.解法二、分別以da、dc、ds為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則。sabcdmzxy（）設(shè)，則，由題得，即解之個方程組得即所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。 法2：設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（）由（）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即， 二面角的大小。13. （2009四川卷文）（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求證：；（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （iii）求二面角的大小。【解析】解法一：

32、因為平面abef平面abcd，bc平面abcd，bcab，平面abef平面abcd=ab，所以bc平面abef.所以bcef.因為abe為等腰直角三角形，ab=ae，所以aeb=45，又因為aef=45,所以feb=90，即efbe.因為bc平面abcd, be平面bce,bcbe=b所以 6分（ii）取be的中點(diǎn)n,連結(jié)cn,mn,則mnpc pmnc為平行四邊形,所以pmcn. cn在平面bce內(nèi),pm不在平面bce內(nèi), pm平面bce. 8分（iii）由eaab,平面abef平面abcd,易知ea平面abcd.作fgab,交ba的延長線于g,則fgea.從而fg平面abcd,作ghbd于h,連結(jié)fh,則由三垂線定理知bdfh. fhg為二面角f-bd-a的平面角. fa=fe,aef=45,aef=90, fag=45.設(shè)ab=1,則ae=1,af=,則在rtbgh中, gbh=45,bg=ab+ag=1+=, 在rtfgh中, , 二面角的大小為12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (i) 設(shè)，則，從而 ，于是， , 平面，平面， （ii），從