全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽模擬試卷第一卷(可編輯)

1、全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽模擬試卷第一卷 全國高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽模擬試卷題 號一二三總分13141516得 分評卷人考生注意1本試卷共三大題16個小題全卷滿分150分 2完卷時間150分鐘 用鋼筆簽字筆或圓珠筆作答不能使用計算器 3解答題書寫不要超出裝訂線 一選擇題本題滿分24分每小題4分得 分評卷人 本題共有6個小題每題均給出abcd四個結(jié)論其中有且僅有一個是正確的請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)每小題選對得4分不選選錯或選出的代表字母超過一個不論是否在括號內(nèi)一律得0分已知點 xy 在直線 x2y 3上移動當取最小值時點 x y 與原點的距離是 a b c d2設(shè)雙曲線 的離心率e則雙曲線的兩

2、條漸近線夾角的取值范圍是 a b c d 正四面體的4個面分別寫著1234將4個這樣均勻的正四面體同時投擲于桌面上與桌面接觸的4個面上的4個數(shù)的乘積被4整除的概率是 a b c d 4甲乙丙三人用擂臺賽形式進行訓練每局兩人單打比賽另一人當裁判每一局的輸方去當下一局的裁判而由原來的裁判向勝者挑戰(zhàn)半天訓練結(jié)束時發(fā)現(xiàn)甲共打12局乙共打21局而丙共當裁判8局那么整個比賽的第10局的輸方 a必是甲 b必是乙 c必是丙 d不能確定 5曲線x2y2ay 0 與ax2bxyx 0 有且只有3個不同的公共點那么必有 a a44ab4 ab1 0 b a44ab4 ab1 0 c a44ab4 ab1 0 d a

3、44ab4 ab1 06兩個周期函數(shù)y1y2 的最小正周期分別為ab且b na n2n為整數(shù) 如果函數(shù)y3 y1y2的最小正周期為t 那么五種情形t at aa t bt bt b 中不可能出現(xiàn)的情形的個數(shù)是 a 1 b2 c3 d4 二填空題本題滿分36分每小題6分得 分評卷人 本題共有6個小題要求直接將答案寫在橫線上 7已知 log a x 24 log b x 40 log abc x 12 那么 log c x 8 設(shè) f x x2 8x c1 x2 8xc2 x2 8x c3 x2 8xc4 m xf x 0 已知 m x1x2 x3 x4x5 x6 x7 x8 n 那么c1c2 c

4、3 c4 minc1c2 c3 c4 9 如果實數(shù) x y 滿足3x 2y10 那么 u x2 y2 6x2y的最小值是 10 不等式組sinx cosx tanx cotx在 0 2 中的解集 用區(qū)間表示 是 11 四面體abcd中 ab cd a bc ad b ca bd c 如果異面直線ab與cd所成的角為 那么cos 12 設(shè)a b xn ab x為關(guān)于x的不等式lgblga lgx lgblga 的解集 已知 card x 50 當ab取最大可能值時 三解答題本題90分共4個小題 第1314 15題各20分第16題30分 得 分評卷人 13 求函數(shù)f x sinx cosx tan

5、x cotx secx cscx 的最小值 其中 secx cscx 得 分 評卷人 14橢圓 x2 4y2 8 中 ab是長為的動弦 o為坐標原點 求aob面積的取值范圍 得 分評卷人 15 無窮數(shù)列xn中n1對每個奇數(shù)nxn xn1xn2 成等比數(shù)列而對每個偶數(shù)n xn xn1 xn2 成等差數(shù)列已知x1 a x2 b 1 求數(shù)列的通項公式 實數(shù)a b滿足怎樣的充要條件時 存在這樣的無窮數(shù)列 2 求的調(diào)和平均值 即的值 得 分評卷人 16 1 給定正整數(shù)n5集合 an 是否存在一一映射 anan滿足條件對一切k 1 k n1 都有k 1 2 k 2 n 為全體正整數(shù)的集合是否存在一一映射

6、n n 滿足條件 對一切kn 都有k 1 2 k 證明你的結(jié)論 注 映射 ab 稱為一一映射如果對任意 bb有且只有一個 aa 使得 a b 題中為整除符號 參考解答及評分標準說明1選擇填空題只按0分與滿分兩檔給分不設(shè)中間檔次2解答題5分一個檔次如果考生的解法與參考解答不同可參照本標準酌情給分 選擇題 每小題4分共24分 123456a c da b b 二 填空題 每小題6分共36分 789101112 60 15 arcsin 6三 解答題 13 設(shè) u sin x cos x 則 sin x cos x u2 1 sin x cos x tan x cot x sec x csc x u

7、 5 分 當 u 1 時 f x 1 u 1 1 2 5 分 當 u 1 時 f x 1 1u 21 u 1時等號成立 5 分 因此 f x 的最小值是 21 5 分 14 令 a b 的坐標為 x1 y1 x 2 y 2 直線 ab 的方程為 y kx b 代入橢圓方程整理得 4k2 1 x2 8kbx 4 b22 0 故 x1 x2 x1x2 5 分 由 ab2 k21 x2x1 2 k21 x1x 2 24 x1x2 2 4k21 b2 得到 b2 2 4k21 5 分 原點o 到 ab 的距離為 aob 的面積 s 記 u 則有 s 2 u 2u 4 u 2 5 分 u 4 的范圍為

8、u 4 為豎直弦 故 u 時 s 2 4 而 u 1時 min s 2 因此 s 的 取值范圍是 5 分 15 1 觀察前幾項 a b 猜測 x2 k-1 x2k k 1 5 分 對k 歸納證明通項公式 k 1 顯然成立設(shè) x 2 k-1 x2k 如上則x2k1 x2k2 2x2k1x2k 因此 公式成立 5 分 存在這樣的無窮數(shù)列 所有的 x n 0 5 分 2 b a 時 故 nb n1 a b a 時所有的x n a 結(jié)果也對 5 分 16 1 不存在 5 分 記 s k 當 n 2m1 時 m 2 由 2m s 2 m 及s 2 m 2m1 得 2m1 m1 mod 2m 但 2m1

9、a 2m1故 2m1 m1再由 2m1 s2m1及s2m1 m1 2m 得 2m m1 mod 2m1 又有 2m m1與的一一性矛盾 5 分 當 n 2m2 時 m2 s2m1 2m2 給出 2m2 1 或 2m2同上又得 2m1 2m m2 或 m1 矛盾 5 分 2 存在 對n 歸納定義 2n1 及 2n 如下 5 分 令 1 1 2 3 設(shè)已定義出不同的正整數(shù)值 k 1k2n 滿足整除條件且包含 12n 設(shè) v 是未取到的最小正整數(shù)值由于 2n1 與 2n2 互素根據(jù)孫子定理存在不同于v及 k 1k2n 的正整數(shù)u滿足同余式組 us2n mod 2n1 s2nv mod 2n2 5 分

10、 定義 2n1 u 2n2 v 則正整數(shù) k 1k2n2 也互不相同滿足整除條件且包含12n1 根據(jù)數(shù)學歸納法原理已經(jīng)得到符合要求的一一映射n n 5 分 附選擇填空題簡解2x4y2 4 x y 時取最小值 此時 2設(shè)漸近線y x 的傾斜角為 1 e2 tan 故 min223 事件 4個數(shù)均為奇數(shù)的概率p1 事件3個為奇數(shù)1個為2的概率p2 故p 1p1p2 4 共比賽12218 25局甲當裁判2512 13局由于同一人不會接連當兩局裁判 故甲 是第135212325局的裁判 從而第10局的輸方為甲 5 易知a0曲線ax2bxyx 0是兩條直線x 0與axby1 0 直線x 0與圓x2y2a

11、y 0 有兩個不同的公共點 00 0a 依題意有兩種可能 1 axby1 0與圓x2 y 2 相切于第三點 此時 即a44ab4 0 2 axby1 0過點 0a 且不與坐標軸平行 此時ab1 0b是y3的一個周期故tb若t a 則由y2 y3y1可得ba矛盾故t a和t b不可能下面的例子表明另外的三種情形都可能出現(xiàn)取y2 sinx sin 則b 6 1 令y1 sin 此時a 3 y3 sinx t 2 t a 2 令y1 sinx 此時a 2 y3 sin t 3 a t b 3 令y1 sinx 此時a 2 y3 2sinxsin t 6 t b 7 log x c log x abclog x alog x b log c x 60 8 令x28xc 0 的兩根為 則 8 的不等非負整數(shù)值只有 08 17 26 35 故c1c2c3 c4 071215 9 u x3 2 y1 210 半平面 3x2y10 中的點到定點 31 距離的最小值是 所以 min u 210 10 在象限圖上用區(qū)間法求解各分界線為 0k7 與方程 cosx tanx 的解 arcsin 0 arcsin 由 sinx cosx 排除區(qū)間 由 tanx cotx 排除 由 cosx tanx 排除 解集為 arcsi