高中物理競賽：天體部分習(xí)題精選

1、天體部分習(xí)題精選1. 試證明質(zhì)量均勻、厚度均勻的球殼內(nèi)一質(zhì)點受到球殼的萬有引力為零.證明 設(shè)球殼單位面積質(zhì)量為 , 殼內(nèi) P 點處有一質(zhì)點 m,如圖 4-17 所示 , 球殼上取一小面元 S1, 距 P 為 r 1 , 過此面元邊界與 P 連接并延長 , 在球殼上又取下對應(yīng)面元 S2 , 距 P 為 r 2 , 可得 S1與 S2 對質(zhì)點 m的總?cè)f有引力 F i 為Fi =F1 - F 2 .S1S1S1Or1PPOr2S2S2S2圖 4-17Fi=G m S1- G m S2r12r22S1 S2=Gm( r 2-r2).12從圖中可得S1- S222.r1r2因為 S1 和S2 很小 ,

2、所以S1 =S1 cos , S2=S2 cos ,即 S1= S2.22r1r2這樣可得F i =0.所以F=Fi =0.i=12. 兩個質(zhì)量為 1.0g 的質(zhì)點相距 10m.開始時兩質(zhì)點相對靜止，且其中一個質(zhì)點固定 . 如果它們之間只有萬有引力作用， 問：無初速釋放一個質(zhì)點后， 經(jīng)過多長時間它們相碰？解設(shè)想 m1 繞 m2 做半徑為 l 的圓周運動， m2 為圓心 . 由于兩質(zhì)點只有萬有引力作用，故可視為m1 做類似于太陽系行星的運動. 設(shè) m1 在 A 點速度減小，開始沿虛線做橢圓運動， m2 為焦點，如圖 4-18 所示 . 設(shè)圓運動和橢圓運動的周長分別l 和 lA為 T 和 T ，圓

3、半徑和橢圓半長軸分別為，由開普勒第三定律有 m1lT T 22TT 1m23l= l3圖 4-18當 m1 在 A 點的速度減為零時，有 l1T 2，則 m1 從 A 運動到 m2 的時間 t= 2 .又因為 m1 做圓周運動時，受向心力Fn = Gm1m2=m1 l4 2作用，故l 2T 2T 24 2.2l3 =Gm 21231T1（l2，所以 t=)由 、 兩式得 T =2）Gm2=( 2210 8 s.32 1 =1.36 Gm23. 求半徑為 R的液態(tài)行星中心處壓強， 假設(shè)液態(tài)不可壓縮且密度為 . 若 R=6.410 6 m， =1.7 10 3 kg/m 3 ，計算此壓強。解 將行

4、星球體分成大量厚 r 的薄球?qū)?. 不難證明：各層對該層內(nèi)微粒萬有引力之和等于零 . 為此研究小頂角的圓錐，其中含有質(zhì)量為 m的微粒 . 圓錐從球?qū)由戏殖雒娣e分別為 S1 和 S2 兩部分（圖 4-19 ） .若球?qū)訂挝幻娣e表面攤有物質(zhì)的質(zhì)量為，則 S1 和 S2部分對質(zhì)量 m的萬有引S1力分別為B11F1 Gm S1，F(xiàn)2m S2，M 1A1r12Gr1r22但是 S21 cos1S22 cos2O,r1r2M 2r2式中： 為圓錐頂點 O處立體角 .B2S2作 OM=OA 和 OM =OA ，所以A211222OA M =OA M .1122圖 4-19此外， OA1 B1= OA2 B2

5、 . 因為 1 = OA1 B1- OA1 M1 ， 2 =OA2 B2 - OA2 M2 ，所以 1 = 2，因此， S21=S22 .r1r2結(jié)果 F1 =F 2 ，這兩個力彼此相互平衡. 對球?qū)悠渌糠诌M行類似研究，我們證明了前面作出的結(jié)論 .4r3Sr體積 S r 元層所受指向行星中心的引力為F =G 3.r 2式中： r 是從此元層到行星的距離.由此求出厚 r 部分壓強的增加為 p=F= 4G2r r . S3于是在離行星中心距離r 0 處的壓強為p=p0+ 4G2r r .3由于r r 等于圖像 y=r 與軸 r 所圍圖形面積，所以（ R+r0）（ R-r0）R2 -r2r r=2

6、=2，因而2222p=p 0 +G（ R r0 ）.3取行星表面處壓強等于零，得到2222p=G（ Rr0）.3在行星中心處（ r 0 =0）壓強等于222p=G R .代入 和 R數(shù)值，得到P 1.6 10 29 N/m2 .4. 使航天器飛越太陽系的設(shè)計方案之一， 建議使用面積 S=1km2 的太陽帆，當航天器繞太陽沿半徑 R地 =1.5 10 8 km的地球軌道運行時，太陽帆展開 . 在隨后運行中指令帆始終垂直太陽光線的方向，在地球軌道上太陽光壓強為p=10-5 pa.問：（1）當航天器質(zhì)量多少時它可以飛離太陽系？（2）當航天器質(zhì)量為多少時，它可以飛到半徑R火 =2.3 108 km的火

7、星軌道？不考慮地球以及其他行星的引力影響.太陽質(zhì)量與萬有引力恒量的乘積等于M太 G=1.31011 km3 /s 2 .解 （1）當太陽帆張開時太陽引力和太陽壓強作用在航天器上， 這兩個力的合力為M 太 mM 太 m2- pS = G- G地F=GR地2mR pSR地2GmR地22（）M 太 - pSR地 /Gm m= GR地2可見，太陽光壓好像減少了太陽對航天器的引力. 這個力結(jié)果是使太陽質(zhì)量不是M太 ，而是某個減少后的等效質(zhì)量，即M效 = M太 -pSR地2 .Gm我們利用引入的等效質(zhì)量， 可以不考慮太陽光壓而進一步解題. 在質(zhì)量為 M效 的物體的引力場里，航天器總機械能為E =1 mv2

8、 - G mM 效 .2R根據(jù)能量守恒定律，航天器在軌道任何一點機械能應(yīng)該等于E = 1 mv地2 - GmM 效，地2R式中： v 地 為航天器在離太陽距離R地 且當帆張開時具有的速度。根據(jù)航天器在太陽引力作用下沿地球軌道運動方程來求這個速度.v地2= GmM 太M 太.mR地2，即 v 地 = GR地R地由此可見，E = GmM 太-M效)R地(22M 太= G地).m ( pSR-R地Gm2如果 E0, 即在下面條件下2pSR地 - M 太 0，Gm2航天器可以飛離太陽系。由此求出，當航天器質(zhì)量為多少時這才可能實行。（ 2）設(shè) M為某一質(zhì)量 m1 時，航天器與火星軌道相切， 航天器能夠飛

9、到火星軌道（穿過軌道）所具有的一切可能質(zhì)量m中， m1 是最大的 . 在這種情況下，航天器軌道是橢圓，其長半軸等于（R地 +R火 ）（圖 4-20 ），在切點航天器速度垂直于航天半徑矢量。Rv地根據(jù)機械能守恒定律，有12Gm1 M 效=12m1M 效，2 m1v地-R地2 m1v火 - GR火V地2- V火2 = 2GM效 （1-1）.R地R火根據(jù)開普勒第二定律V地 R地 = V 火 R火 ，即V火=V地R地 .圖 4-20R火綜合上兩式并考慮到v 地 = GM 太，經(jīng)不太復(fù)雜代換后得到2 M 效R火=M太R地pSR2地（R火+R地），即2（M太-）R火 =M太(R 火+R地）.Gm1由此求出

10、航天器可以飛到火星軌道所具有的最大質(zhì)量m1 ：2R火4 kg.m =地102pSR1GR火 -R地m太5. 質(zhì)量為 400kg 的宇宙飛船繞地球沿離地面高 h 1 =200km的圓周軌道運行 . 啟動火箭，發(fā)動機在短時間 t 內(nèi)工作，使宇宙飛船速度增加了 v=10m/s，而運行軌道變?yōu)闄E圓形，離地面最近距離 h 1 =200km，離地面最遠距離 h 2 =234km.球在離地面最遠距離處宇宙飛船的速度v 2 為多少，火箭發(fā)動機牽引力F 多大，工作時間 t 多長，消耗燃料質(zhì)量 m多少以及火箭發(fā)動機的工作效率多大.飛船質(zhì)量的變化不計 . 地球的半徑 R 6370km，地球的質(zhì)量 M=6 10 24

11、 kg，萬有引力恒量 G=6.67 10-1122，每秒消耗燃料m = m= 1kg/s ，噴氣Nm /kg0 t流速度 u=4000m/s.燃料和氧化劑的燃燒值為q=1.2 107 J/kg.解 離地面最近點宇宙飛船速度v 1 等于v 1 = v 0 + v .沿圓周軌道運行速度v 0 可以由下面方程求得1mv02=G M m .22R1式中： R1= R + h 1 = 6.57 10 6 m .由此v0 =GMR1代入數(shù)值，得到6.67 10-1124v 0=6 106.57106=7.805 10 3 m/s ,v 1 =7.805 10 3 +10=7.81510 3 m/s.根據(jù)動

12、量守恒定律，有mv1 R1 = mv 2 R2所以在遠點速度 v 2為 v 2 = v1R1 ，R2式中： R = R + h2= 6.604 106 m .2代入數(shù)值，可得v 2 = 7.815 1036.570 1066.604106=7.775 10 3 m/s.根據(jù)動量守恒定律求得火箭發(fā)動機的牽引力 FFt = mu，式中： m為在時間 t 內(nèi)火箭發(fā)動機噴出的氣體質(zhì)量，u 為噴氣流速度 .改寫這方程mu = m cu .F =t代入數(shù)值，得到 F=14000=4 103 N.發(fā)動機工作時間可以根據(jù)宇宙飛船動量的變化得到：Ft = m v，得：m v40010.t=1sF4000消耗燃料

13、和氧化劑的質(zhì)量 m 可以根據(jù)對于“飛船燃料物”系統(tǒng)動量守恒定律得到： m v= mu ，即 m= m v = 400 10 =1kg .u4000火箭發(fā)動機工作效率由下式確定：=P，式中P 為發(fā)動機功率，Q為燃料Q燃燒時釋放的功率。2由于 P= m0 u ， Q=mq，所以火箭發(fā)動機工作效率等于：02u2（4 1032）=0.67.=1.21072q26. 木星彗星族的形成粗略描述為下木星面. 彗星從遙遠處無初速“落”向太陽，遠日點并從木星不遠處飛過（圖4-21 ）當木星引力場對彗星的顯著影響消失后，它又在太陽引力場中運行，并且它的速度方向與木星速度方向相反 . 彗星新軌道的遠日點位于木星軌道

14、附近，即在離太陽為 R=5.2 天文單位*圖 4-21處.太陽試求此處彗星軌道的近日點將位于離太陽多遠處 .解 注意：太陽為巨重木星 10 3 倍，結(jié)果同太陽影響相比，木星引力范圍大小為其軌道半徑的10 -6 . 并且彗星與木星實質(zhì)性相互作用時間，與木星運轉(zhuǎn)周期以及彗星繞太陽運行周期相比是不可比擬的短 . 因而，在這段時間內(nèi)彗星的攝動就算不了什么 . 所以我們把彗星的運動分為三個獨立階段： （1）彗星從遙遠處沿著指向太陽系方向， 在太陽引力作用下運行； （2）在木星引力場里 “瞬間”掉轉(zhuǎn)頭來；（3）沿橢圓軌道繞太陽運行（且可不必考慮木星的影響） .木星受到太陽（質(zhì)量為M）的引力作用而沿著圓周軌道運行，其條件為v2=GM2 .RR由此得到木星的速度v=GM .R當彗星飛近木星第一階段結(jié)束時，速度vk 由能量守恒定律得出vk2- GM =0 ，即 v k =2GM = 2v .2RR木星和彗星兩星速度方向互相垂直，則彗星相對木星速度等于v1=（ 3 - 1）v .從飛出木星引力場后（第三