概率統(tǒng)計難題選解(一)

1、概率統(tǒng)計難題選解（一）1. 在圓周上任取兩點，連接起來得一弦，再任取兩點，連接起來又得一弦。求這兩弦相交的概率。解設(shè)圓周長為1，設(shè)圓周上一點坐標(biāo)位置為0，逆時針繞圓一周后坐標(biāo)位置為1。不妨設(shè)第一條弦的一個端點位置為0 ，另一個端點位置為 X ，第二條弦的兩個端點位置為 Y 和 Z 。X ， Y 和 Z 可以看作是3 個相互獨立的服從 0,1 上均勻分布的隨機變量。當(dāng)且僅當(dāng) 0Y XZ1 或 0 ZXY1時，兩弦相交。所以，兩弦相交的概率為p P 0 Y X Z 1 P 0 Z X Y 11x11x10dydz dx0dzdy dx0x0x1x)dx1x) dx1x2 )dx1x(1x(12 (

2、 x。00032. 從一副撲克牌中（有返回地）一張張抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四種花色為止。求這時正好抽了 n 張牌的概率。解 設(shè) 4 種花色為 A 、 B、 C、 D。n1P 抽 n 次只抽到 A 。4nP 抽 n 次最多只抽到A 、 2。4P 抽 n 次抽到且只抽到A 、 P 抽 n 次最多只抽到A 、 P 抽 n 次只抽到 A P 抽 n 次只抽到 nnnnn21122 1。444443P 抽 n 次最多只抽到A 、 4n。P 抽 n 次抽到且只抽到A 、 P 抽 n 次最多只抽到A 、 P 抽 n 次抽到且只抽到A 、 P 抽 n 次抽到且只抽到A 、 P 抽 n 次抽到且只抽到、

3、1P 抽 n 次只抽到 A P 抽 n 次只抽到 P 抽 n 次只抽到 nnn3 1nn3 2n3 1n332213。4444444P 前 n1 次抽到且只抽到A 、，第 n 次抽到 n1n1n1332311。4444P 第 n 次抽，首次抽到種花式P 前 n1 次抽到且只抽到、，第n 次抽到 P 前 n1次抽到且只抽到A 、，第 n 次抽到 P 前 n1次抽到且只抽到A 、，第 n 次抽到 P 前 n1次抽到且只抽到A 、，第 n 次抽到 1n 12n11n113434444n13 2n 13 1n13n 13 2n 133。4444n 1. r 個人相互傳球，從甲開始。每次傳球時，傳球著可

4、能把球傳給其余r1個人中的任何一個。求：（）傳了 n 次球，球仍沒有回到甲手里的概率。（）傳了 n 次（ nr1 ），沒有一個人接到過兩次球的概率。（）第 n 次傳球時仍由甲傳出的概率。解（）第次從甲傳出后，又傳了n1次，每次都沒有傳給甲，即傳給其余r1 人中除了甲以外的 r 2人中的任何一人，這樣的概率為r2 ， n1 次后的概率為r1rn 12。r1（）第次，甲傳給其余r1 人中任何一人，概率為r1 ；r1r2 ；第次，傳給其余 r1 人中除了甲以外的r2 人中任何一人，概率為r1第次， 傳給其余 r1 人中除了已經(jīng)接到球的人以外的r3 人中任何一人， 概率為 r3 ；r12第 n 次，傳

5、給其余 r1人中除了已經(jīng)接到球的人以外的rn 人中任何一人， 概率為 rn 。r1因此，所求概率為r1 r2 r3rn(rn)!。r 1 r 1 r 1r 1(r 1) n(r2)!（）設(shè)P 第 n 次傳球時由甲傳出 pn ，P 第 n 次傳球時由非甲傳出1pn。由于P 第 n 次傳球時由甲傳出P 第 n1次傳球時由非甲傳出 P 傳給甲第 n1次傳球時由非甲傳出 ，所以有遞推公式1， n2, 3 ,。pn(1pn 1 ) r1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：11(1r ) n2pn1,2 ,3,r， n。11r )1 21(1r )首先，當(dāng) n1時， p1(11，第次由甲傳出， 顯然 p11，rr公式成

6、立。11(1r ) k2設(shè)已知當(dāng) nk 時，公式成立，有pk，下面看 n k1時：r11r11(1 r )k 21111(1 r ) k 2pk 1(1 pk ) r 1rr 1rr 111(1r )( k 1) 2。r公式也成立。所以，對任何n1, 2, 3,，公式都成立。3. 擲均勻硬幣直至第一次出現(xiàn)接連兩個正面為止。求這時正好擲了n 次的概率。解設(shè)pnP 擲 n 次首次出現(xiàn)“正正” 。因為P 擲 n 次首次出現(xiàn)“正正” 。P 第 1 次擲出現(xiàn)“反” ，以后擲 n1次首次出現(xiàn)“正正”P 第 1 次擲出現(xiàn)“正” ，第 2 次擲出現(xiàn)“反” ，以后擲 n2 次首次出現(xiàn)“正正” 所以有遞推公式pn1 pn 11 pn 2 ， n 3, 4, 5,。24同時，顯然有p1P 擲 1 次首次出現(xiàn)“正正”P() 0，p2P 擲 2 次首次出現(xiàn)“正正”1。4根據(jù)遞推公式 pn1 pn 11 pn2 ，可以列出方程：x 21 x1，24241515解這個方程，得到兩個解x14， x2。4所以， pn 的表達式可以寫成下列形式：nnpnA 1 5B 1 5，44其中 A ， B 是待定常數(shù)。將初