7A版1992考研數(shù)一真題及解析

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1992 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題 一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上 .) (1) 設(shè)函數(shù) y y(x) 由方程 ex y cos(xy) 0確定,則 dy . dx (2) 函數(shù)u ln(x2 y2 z2)在點(diǎn)M (1,2, 2)處的梯度 gradu M . 1, x 0, (3)設(shè) f(x)1,2 x 0,則其以 2 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn) x 處收 1 x2, 00, 1 (x 2)dx. 求微分方程 y 2y 3y e 3x的通解. 五、( 本題滿分 8 分) 計(jì)算曲面積分 (x3 az7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 )

2、dydz (y3 ax2 )dzdx (z3 ay 2 )dxdy ,其中 為上半 球面 z a2 x2 y2 的上側(cè) . 六、( 本題滿分 7 分) 設(shè) f (x) 0, f(0) 0 ,證明對(duì)任何 x1 0,x2 0,有 f(x1 x2) f(x1) f (x2). 七、( 本題滿分 8 分) 在變力 F yzi zxj xyk 的作用下 ,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面 222 x2 y2 z2 1上第一卦限的點(diǎn) M( , , ),問(wèn)當(dāng) , , 取何值時(shí) ,力F所做的功 abc W 最大?并求出W 的最大值. 八、( 本題滿分 7 分) 設(shè)向量組 1、 2、 3 線性相關(guān) ,向量組 2、

3、3、 4 線性無(wú)關(guān) ,問(wèn)： (1) 1 能否由 2、 3 線性表出？證明你的結(jié)論 . (2) 4能否由 1、 2、 3 線性表出？證明你的結(jié)論 . 九、( 本題滿分 7 分) 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 1 1, 2 2, 3 3,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 1 1 121 31 1 1 , 2 2,33 ,又向量2, (1)將 用1,2, 3線性1表出. 493 (2)求An ( n為自然數(shù) ). 十、填空題 ( 本題滿分 6 分 , 每小題 3 分 .) 11 (1)已知 P(A) P(B) P(C),P(AB) 0,P(AC) P(BC),則事件 A、B 、 4 16 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔

4、 C 全不發(fā)生的概率為 . (2) 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 服 從 參 數(shù) 為 1 的 指 數(shù) 分 布 , 則 數(shù) 學(xué) 期 望 E(X e 2X) . 十一、 (本題滿分 6 分 ) 設(shè)隨機(jī)變量 X 與Y獨(dú)立,X 服從正態(tài)分布 N( , 2),Y服從 , 上的均勻 分布,試求 Z X Y的概率分布密度 (計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) (x)表示,其 中 1 x t2 (x) 1 e 2 dt). 2 1992 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析 (1)【答案】 【解析】 析式. 方程兩邊對(duì) 、填空題(本題共 5個(gè)小題,每小題 3分,滿分15 分.) ex y ysin( xy) ex y

5、 xsin( xy) 函數(shù) y y( x)是一個(gè)隱函數(shù) ,即它是由一個(gè)方程確定 ,寫不出具體的解 即 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 x 求導(dǎo) ,將 y 看做 x 的函數(shù) ,得 ex y(1 y ) sin(xy)(xy y) 0.解出 y , dy yex y y sin(xy) . dxex y x sin(xy) . 1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： 如果 u g(x) 在 點(diǎn) x 可導(dǎo) ,而 y f(x) 在點(diǎn) u g(x) 可 導(dǎo),則 復(fù)合 函數(shù) y f g(x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 dy f (u) g (x)或dy dy du. dx dx du dx 2.兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式： f(x) g(

6、x) f (x) g(x) f(x) g (x). 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (2) 【答案】 2 1,2, 2 9 【解析】對(duì)函數(shù) u 求各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù) ,有 u2x ； u 2y ； xx2y2z2 yx2 y2z2 由函數(shù)的梯度 (向量)的定義 ,有 u u u 1 gradu , , 2 2 2 x y zx y z 1 M 12 22 ( 2)2 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： u 2z . z x2 y2 z2 所以 gradu xyz 2,4, 4 2 1,2, 2 . 9 2x,2 y,2 z , 如 果 u g(x) 在 點(diǎn) x 可 導(dǎo) , 而 y f (

7、x) 在 點(diǎn) u g(x) 可 導(dǎo) , 則 復(fù) 合 函 數(shù) dy dy du y f g(x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 ddyx f (u) g (x)或ddxy du dx 12 (3) 【答案】 1 2 2 【解析】 x 是 , 區(qū)間的端點(diǎn) ,由收斂性定理狄利克雷充分條件知 ,該傅 氏級(jí)數(shù)在 x 處收斂于 1 f (0) f( 0) 1 1 12 1 2 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂性定理狄利克雷充分條件： 函數(shù) f(x)在區(qū)間 l,l上滿足：(i)連續(xù),或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； ()只 有有限個(gè)極值點(diǎn) .則 f (x) 在 l,l 上的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 ,而且 a0n n 0(afn(cxo),

8、s x bn sin若x x)( l,l)為f (x)的連續(xù)點(diǎn), 2 n 1 l l 1 f(x 0) f (x 0) , 若x ( l,l)為f (x)的第一類間斷點(diǎn) , (4)【答案】 y1 xfc(oslx0)Ccofs(lx,C0)為,任意若常x數(shù) l. 2 【解析】這是標(biāo)準(zhǔn)形式的一階線性非齊次方程 ,由于 e tan xdx 1 同乘 1 ,得 cosx 1 1 ,方程兩邊 |cosx| 故通解為 y xcosx 1y y cosx C cosx,C 為任意常數(shù) . 積分 1 1 y x C . cosx 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (5) 【答案】 1 【解析】因?yàn)?/p>

9、矩陣 A中任何兩行都成比例 (第i行與第 j行的比為 ai ),所以A aj 中的二階子式全為 0,又因 ai 0,bi 0,知道 a1b1 0,A 中有一階子式非零 .故 r(A) 1. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣秩的定義：如果矩陣中存在 r階子式不為零,而所有的 r 1階 子式全為零時(shí) ,則此矩陣的秩為 r . 、選擇題(本題共 5個(gè)小題,每小題 3分,滿分15 分.) (1) 【答案】 (D) 解析】對(duì)于函數(shù)在給定點(diǎn) x0 的極限是否存在需要判定左極限 x x0 和右極 限 x x0 是否存在且相等 ,若相等 ,則函數(shù)在點(diǎn) x0 的極限是存在的 . x2 1 1 1 x2 1 1 1 lim e

10、x 1 lim( x 1)ex 1 0,limex 1 lim( x 1)ex 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,故當(dāng) x 1 時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限 ,也不是 .故應(yīng)選 (D). (2) 【答案】 (C) 1 cos112 (n), n 2n 2 n 2n2 (n), 解析】對(duì)原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)取絕對(duì)值后 ,再利用等價(jià)無(wú)窮小 n ( 1)n(1 cos ) 1 cos n 1 又因?yàn)?p級(jí)數(shù)：1p 當(dāng)p 1時(shí)收斂；當(dāng) p 1時(shí)發(fā)散. n 1 n 12 所以有 1 2 收斂 . n12 n2 ( 1)n(1 cos ) 收斂 .所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .應(yīng)選 (C). n1 n 注：對(duì)于正

11、項(xiàng)級(jí)數(shù) an ,確定無(wú)窮小 an關(guān)于1的階(即與 p級(jí)數(shù)作比較)是判斷它 n 1 n 的斂散性的一個(gè)常用方法 .該題用的就是這個(gè)方法 . 1 (3) 【答案】 B 【解析】先求出切線的方向向量 ,再利用方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為 0 得切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 t 值 . 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 求曲線上的點(diǎn) ,使該點(diǎn)處的切向量 與平面 x 2y z 4的法向量 n 1,2,1 垂直 ,即可以讓切線與平面平行 . 曲線在任意點(diǎn)處的切向量 x(t),y (t),z (t) 1, 2t ,3t2 ,n n 0, 即 31 1 4t 3t3 0,解得 t 1,t 3 .(對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)

12、均不在給定的平面上 ) 因此 ,只有兩條這種切線 ,應(yīng)選(B). (4) 【答案】 (C) 【解析】因 3x3處處任意階可導(dǎo) ,只需考查 x2 |x| ( x) ,它是分段函數(shù) ,x 0是 連接點(diǎn) . 所以 ,寫成分段函數(shù)的形式 ,有 3 (x) x3,x 0, x3, x 0, 對(duì)分段函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上求微分 , 3x2,x 0, (x) 2 3x , x 0, 再考查 (x) 在連接點(diǎn) x 0處的導(dǎo)數(shù)是否存在 ,需要根據(jù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義 進(jìn)行討論 . (0) (x3) x 0 0, (0) ( x3) x 0 0 (0) 0, 2 即 (x)32x ,x 0, 3x2, x 0. 同理可

13、得 (x) 6x,x 0, (0) 0,即 (x) 6x,x 0 6|x|. 6x, x 0, 6x, x 0 對(duì)于 y x 有 y (0) 1,y (0) 1. 所以 y x 在 x 0不可導(dǎo),(0) 不存在,應(yīng)選(C). (5) 【答案】 (A) 【解析】 1, 2向量對(duì)應(yīng)的分量不成比例 ,所以 1, 2是 Ax 0兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的 解,故n r(A) 2.由 n 3知r(A) 1. 再看(A)選項(xiàng)秩為 1；(B)和(C)選項(xiàng)秩為 2 ；而(D)選項(xiàng)秩為 3.故本題選 (A). 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)齊次線性方程組 Ax 0,有定理如下 : 對(duì)矩陣 A按

14、列分塊,有 A1, 2, , n ,則 Ax 0的向量形式為 x1 1 x2 2xn n 0. 那么,Ax 0有非零解1, 2, , n線性相關(guān) r 1, 2, , n n r A n. 1 2 1 2 ( x) x , x 22 ex 1 sin x , 1 2 , x 三、 (本題共 3 小題 ,每小題 5 分 ,滿分 15 分.) (1) 【解析】由等價(jià)無(wú)窮小有 x 0 時(shí),1 1 x2 x e 1 sin x 原式 = limlim x 0 1 1 x2 x 0 上式為“ 0 ”型的極限未定式 ,又分子分母在點(diǎn) 0 處導(dǎo)2數(shù)都存在 ,所以連續(xù)應(yīng)用兩 0 次洛必達(dá)法則 ,有 ex cos

15、xex sin x 1 0 原式 洛必達(dá) lim洛必達(dá) lim1. x 0 x x 0 1 1 (2) 【解析】這是帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù),重要的是要分清 函數(shù)是如何復(fù)合的 . 由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān) ,所以本題可以先求 z ,再求 x z ( z) . yx x e sin y f2 2x, 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 z x 2 2 f1 (e sin y) f2(x y ) f1 x x x 2 zx z( f1 ex sin y f2 2x) x y y ( f11ex cos y f122 y)ex sin y f1ex cosy (f21ex cosy

16、 f222y)2x f11 e2 x sin ycosy 2f12 ex ( ysin y xcosy) 4f22 xy f1 e cosy. 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù) u (x,y),v (x,y) 都在點(diǎn) (x,y)具有對(duì) x及對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) z f (u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則 復(fù)合函數(shù) z f( (x,y), (x,y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 ,且有 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 z z uz vuv f1f2 ； x u xv xxx z z uz vuv f1f2 . y u yv yyy (3)【解析】分

17、段函數(shù)的積分應(yīng)根據(jù)積分可加性分段分別求積分.另外 ,被積函數(shù)的 中間變量非積分變量 ,若先作變量代換 ,往往會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算 . 四、 令x 2 t,則dx dt.當(dāng)x 1時(shí),t1；當(dāng) x 3時(shí),t 1,于是 0 t e 1 3 1 0 2 1 t 1 3 f(x 2)dxf (t)dt分段 1 t2 dt e tdt t t3 1 1 1 0 3 ( 本題滿分 6 分.) 71 解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程 ,所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方 r2 2r 3 (r 1)(r 3) 0有兩個(gè)根為 r1 1,r23,而非齊次項(xiàng) e x, 3 r2為 1 單特征根 ,因而非齊次方程有如下形式的特解

18、 Y x ae 3x ,代入方程可得 a 1 , 4 故所求通解為 y C1ex C2e 3x xe 3x ,其中C1 ,C2 為常數(shù). 4 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè) y*(x) 是二階線性非齊次方 程 y P(x)y Q(x)y f (x) 的一個(gè)特解 .Y(x) 是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程 y P(x)y Q(x)y 0的通解,則 y Y(x) y* (x)是非齊次方程的通解 . 2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法： 對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程 的通解 Y ( x) ,可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的 P(x)、Q(x)均 是常數(shù)

19、,方程變?yōu)?y py qy 0 .其特征方程寫為 r2 pr q 0 ,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解 出兩個(gè)特征根 r1,r2 ； 分三種情況： (1)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 r1,r2 ,則通解為 y C1erx1 C2er2x; (2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 r1 r2 ,則通解為 y C1 C2x erx1; (3) 一對(duì)共軛復(fù)根 r1,2i ,則通解為 y e x C1cos x C2sin x . 其中 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 C1,C2 為常數(shù). 3. 對(duì)于求解二階線性非齊次方程 y P(x)y Q(x)y f( x)的一個(gè)特解 y*(x) ,可 用待定系數(shù)法 ,有結(jié)論如下： 如 果 f

20、 ( x) mP ( x)x e 則, 二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 具 有 形 如 y* (x) xkQm(x)e x 的特解,其中Qm(x)是與 Pm (x)相同次數(shù)的多項(xiàng)式 ,而k按 不是特征方程的根、是 特征方程的單根或是特征方程的重根依次取 0、 1 或 2. 如果 f (x) e xPl(x)cos x Pn(x)sin x ,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方 程 y p(x)y q(x)y f (x) 的特解可設(shè)為 y* xke x Rm(1) (x)cos x Rm(2) ( x)sin x , 其中 Rm(1)(x)與Rm(2)(x)是 m次多項(xiàng)式 ,m max

21、 l,n ,而k按 i (或 i )不是特 征方程的根、或是特征方程的單根依次取為 0 或 1. 五、( 本題滿分 8 分) 解析】將原式表成 I Pdydz Qdzdx Rdxdy PQR xyz 2 2 2 3(x2 y2 z2). 以考慮用高斯公式來(lái)求解 ,但曲面 不是封閉的 ,要添加輔助面 .如果本題采用投 影法計(jì)算是比較復(fù)雜的 ,故不采用 . 添加輔助面 S:z 0(x2 y2 a2) ,法向量朝下 ,S與 圍成區(qū)域 ,S與 取 的外法向量 .在 上用高斯公式得 32 3 2 3 2 2 22 I (x3az2 ) dydz(y3ax 2 )dzdx(z3ay2 ) dxdy3 (x

22、2y2z2)dV . S 用球坐標(biāo)變換求右端的三重積分得 3 (x2 y2 z2 2a )dV 3 d 2sin d 2 2d a 4 1 5 6 5 3 2 2sin d4d3 2 1 1a5 6 a5 . 0 0 5 5 注意S垂直于平面 yOz與平面xOz ,將積分投影到 xOy平面上,所以左端 S上 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 的曲面積分為 Pdydzdx Qdzdx Rdxdy S 22 0 0R( x, y,0) dxdyay2dxdy a y2dxdy S SDxy 2a a 0 d 0 r 2 sin2 rdr (極坐標(biāo)變換 ) 4 2 2 a 3 a 5 a

23、sin d r dr a a . 0 0 4 4 6 55 29 5 因此 I a5a5 a5 . 5 4 20 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 1.高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 是由分片光滑的閉曲面 所圍成 , 函數(shù) P(x,y,z) 、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則有 P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, P Qx Ry z 或 P Q R dv Pcos Qcos Rcos dS, xyz 這里 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) ,cos 、cos 、cos 是 在點(diǎn) (x,y,z) 處的法 向量的方向余弦 .上述兩個(gè)公式叫做高斯公式 . 2.對(duì)于球面坐標(biāo)與直角坐

24、標(biāo)的關(guān)系為： x rsin cos , y r sin sin , z r cos , 其中 為向量與 z軸正向的夾角 ,0 ； 為從正 z軸來(lái)看自 x 軸按逆時(shí)針?lè)?向轉(zhuǎn)到向量在 xOy平面上投影線段的角 ,02 ； r為向量的模長(zhǎng) ,0 r . 球面坐標(biāo)系中的體積元素為 dv r2 sin drd d ,則三重積分的變量從直角坐 標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式是： f (x, y, z)dxdydz f (r sin cos ,r sin sin ,rcos )r 2 sin drd d . 六、( 本題滿分 7 分) 【解析】 證法一 :用拉格朗日中值定理來(lái)證明 . 不妨設(shè) x2 x1 0,要證

25、的不等式是 f(x1 x2) f (x2) f (x1) f (0). 在0, x1上用中值定理,有f (x1) f(0) f( )x1,0 x1； 10 在x2,x1 x2 上用中值定理 ,又有 f (x1 x2) f (x2) f ( )x1,x2x1 x2 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 由 f (x) 0,所以 f (x)單調(diào)減 ,而x1 x2,有 f ( ) f ( ),所以 f(x1 x2) f(x2) f (x1) f(0) f(x1), 即 f (x1 x2) f(x1) f(x2). 證法二： 用函數(shù)不等式來(lái)證明 .要證 f(x1 x) f(x1) f(x),x

26、0 ,構(gòu)造輔助函數(shù) (x) f(x1) f(x) f (x1 x), 則 (x) f (x) f (x1 x).由f (x) 0,f (x)單調(diào)減, f (x) f (x1 x), (x) 0. 由此, (x) (0) f (x1) f(0) f(x1) 0(x 0).改 x為x2即得證. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日中值定理 :如果函數(shù) f (x) 滿足在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù),在開 區(qū)間 a,b 內(nèi)可導(dǎo) ,那么在 a,b 內(nèi)至少有一點(diǎn) (ab) ,使等式 f (b) f (a) f ( )(b a) 成立. 七、( 本題滿分 8 分) 【解析】(1)先求出在變力 F 的作用下質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)

27、到點(diǎn) M ( , , ) 時(shí)所 作的功W的表達(dá)式.點(diǎn)O到點(diǎn)M的線段記為 L,則 (2)計(jì)算曲線積分： L的參數(shù)方程是 x t, y t,zt,t從 0到1, W F ds yzdx zxdy xydz W 1( t2 t2 化為最值問(wèn)題并求解 t2 )dt 31t2dt. ： 問(wèn) 題 變 成 求 W 在 22 a b2 c21 ( 0 ,0 下, 的最大0值)與最大值點(diǎn) . 用拉格朗 日 乘 F子 法 2求 解0,. 拉 格 朗 2 日函 F( , , , ) 22 2F b2F c2 12,則有2 0, b2 解此方程組：對(duì)前三個(gè)方程 F 2 2 0, 分別乘以 , ,c 得 2 2 2 ,

28、( 0 時(shí)) c 代入第四個(gè)方程得 1 a, 3ab2, b2 3cc2. 1 0. 11 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 相應(yīng)的 W 1 abc 3 abc.當(dāng)0時(shí)相應(yīng)的 , , 得W 0. 3 3 9 1 1 1 因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值,所以當(dāng) ( , , ) ( 1 a, 1 b, 1 ) 時(shí)W 取最大值 333 3 abc. 9 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日乘子法： 要找函數(shù) z f(x, y)在附加條件 (x, y) 0下的可能極值點(diǎn) ,可以先作拉格朗 日函數(shù) L(x,y) f (x,y) (x, y), 其中 為參數(shù).求其對(duì) x與 y的一階偏導(dǎo)數(shù) ,并使之為零 ,然后與附加條件聯(lián)立起 來(lái)： fx(

29、x,y)x(x,y) 0, fy(x,y)y(x,y) 0, 由這方程組解出 x,y 及 ,這(x樣, y得) 到0.的 (x,y )就是函數(shù) f(x,y) 在附加條件 (x,y) 0 下的可能極值點(diǎn) . 八、( 本題滿分 7 分) 【解析】 (1) 1能由 2、 3線性表出 . 因?yàn)橐阎蛄拷M 2、 3、 4線性無(wú)關(guān),所以 2、 3 線性無(wú)關(guān),又因?yàn)?1、 2、 3線性相關(guān) ,故 1能由 2、 3線性表出 . (2) 4 不能由 1、 2、 3 線性表出 , 反證法：若 4能由 1、 2、 3線性表出 ,設(shè) 4 k1 1 k2 2 k3 3. 由(1)知, 1能由 2、 3 線性表出,可設(shè)

30、1 l1 2 l2 3 ,那么代入上式整理得 4 (k1l1 k2 ) 2 (k1l2 k3) 3 . 即 4能由 2、 3線性表出,從而 2、 3、 4線性相關(guān),這與已知矛盾 . 因此, 4不能由 1、 2、 3線性表出 . 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義：存在一組不全為零的數(shù) 12 k1,k2, ,km,使 k1 1 k2 2km m 0,則稱 1, 2, , m線性相關(guān) ；否 則,稱 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1, 2 , , m線性無(wú)關(guān) 九、( 本題滿分 7 分) 【解析】 (1)設(shè)x1 1 x2 2 x3 3 ,即是求此方程組的解 第一行乘以 對(duì)增廣矩

31、陣 ( 1, 2, 3, )作初等行變換 , 1 分別加到第二行和第三行上 , 再第二行乘以 3 加到第三行上 , 第三行自乘 12,有 第三行乘以 1 1 1 1 1 2 3 1 1 4 9 3 2 、 1 分別 100 1 1 1 1 0120 到第0二行3和8第一2行上 0,再0第二1行1乘以1 加到第一 2 行上,有增廣矩陣 An 13 0 1 0 2 . 0 0 1 1 解出 x3 1,x2 2,x1 2,故 2 1 2 2 3. (2)由 為 A的特征值可知 ,存在非零向量 使 A,兩端左乘 A,得 A2A(A ) A( ) A 2 ,再一直這樣操作下去 ,有 Ann . 因?yàn)?,

32、故0 .按特征值定義知 n是 An的特征值,且 為相應(yīng)的特征向量 所以有 A i i i,An i in i(i 1,2,3),據(jù)(1)結(jié)論2 1 2 2 3,有 A A(2 1 2 2 3) 2A 1 2A 2 A 3 , 3 2 1n 1 2 2n 2 3n 3 設(shè) A 是 n 階矩陣 , 若存在數(shù) 及非 零的n維列向量 X 使得 AXX 成立,則稱 是矩陣 A的特征值 ,稱非零向量 X 是矩陣 A 的特征向量 . 十、填空題 ( 本題滿分 6 分 , 每小題 3 分 .) 【 解 析 】 由 條 件 概 率 和 乘 法 公 式 ： 從 P(AB) 0 , 可 知 P( A B)C ( P A) B( P0, A B C 由加法公式： 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用