因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的梯形問(wèn)題

1、得 a 2 6,a =1,1.5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問(wèn)題例1 2018年上海市松江區(qū)中考模擬第 24題已知直線y= 3x 3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A, B,拋物線y = ax2 + 2x+ c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, B.(1) 求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 記該拋物線的對(duì)稱軸為直線I,點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱 點(diǎn)為C,若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形 ABCD為梯形. 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)； 將此拋物線向右平移， 平移后拋物線的頂點(diǎn)為 P,其對(duì)稱3軸與直線y= 3x 3交于點(diǎn)E,若a NQE = -，求四邊形BDEP 的面積.思路點(diǎn)撥1. 這道題的最大障礙是畫(huà)圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)必

2、須畫(huà)準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫(huà)出，畫(huà)出 對(duì)稱軸就可以了.2. 拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于 7.3. 已知/ DPE的正切值中的7的幾何意義就是 D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7,那么點(diǎn)P向 右平移到直線x= 3時(shí)，就停止平移.滿分解答(1)直線y= 3x 3與x軸的交點(diǎn)為 A(1, 0)，與y軸的交點(diǎn)為 B(0, 3).將 A(1, 0)、B(0, 3)分別代入 y= ax2 + 2x+ c,DH所以拋物線的表達(dá)式為y = x2 + 2x 3.對(duì)稱軸為直線x= 1,頂點(diǎn)為(一1, 4).(2)如圖2,點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(一2, 3). 因?yàn)镃

3、D/AB，設(shè)直線CD的解析式為y= 3x+ b,代入點(diǎn)C( 2, 3)，可得b = 3.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, 3).過(guò)點(diǎn)P作PH丄y軸，垂足為 H，那么/ PDH = / DPE .由 tan. DPE ，得 tan. PDH =-PH.而 DH = 7,所以 PH = 3. 因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3, 6).所以 s梯形 bdep =?(BD +EP) PH =24 .第(2)用幾何法求點(diǎn) D的坐標(biāo)更簡(jiǎn)便: 因?yàn)榭键c(diǎn)伸展CD/AB，所以/ CDB =Z ABO .因此BC OA =1 .所以 BD = 3BC = 6, OD= 3.因此 D (0, 3).BD OB 3例2 2018年衢州市中

4、考第24題Rt AOB和Rt COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中, 在x軸上.已知點(diǎn) A(1 , 2)，過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線分別交 x軸、 + c經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn).(1) 求該拋物線的函數(shù)解析式；(2) 點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作y軸的 平行線交拋物線于點(diǎn) M ,交x軸于點(diǎn)N,問(wèn)是否存在這樣的 點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在， 求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 若厶AOB沿AC方向平移(點(diǎn) A始終在線段AC 上，且不與點(diǎn) C重合)， AOB在平移的過(guò)程中與 COD 重疊部分的面積記為 S.試探究S是否存在最大值？若存在， 求出這個(gè)最大值；若不存在，如圖1,

5、把兩個(gè)全等的請(qǐng)說(shuō)明理由.使直角邊OB、ODy軸于點(diǎn)E、F.拋物線y = ax2 + bx1.如果四邊形ABPM 形和兩個(gè)全等的直角三角形,思路點(diǎn)撥這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩是等腰梯形，那么AB為較長(zhǎng)的底邊，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段.2. A AOB與厶COD重疊部分的形狀是四邊形 EFGH，可以通過(guò)割補(bǔ)得到，即 OFG減去 OEH .3. 求厶O(píng)EH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊 OH上的高EK,那么RtA EHK的直角邊的比為1 : 2.4. 設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的水平距離為 m,那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示.滿分解答(1) 將 A(1, 2)、O(0, 0)、C(2, 1)分別代

6、入 y= ax2 + bx+ c,4a b c =2,得 2c =0解得 a=-3 , b =7 , c=0. 所以 y =-x?+x .I ，22224a 2b c =1.(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P、M分別作梯形 ABPM的高PP、 那么 AM = BP ，因此 yA y M = yP - yB .1直線OC的解析式為y= x ,2解方程 2 _(_3x2 7x-x,2 2 2MM 如果梯形ABPM是等腰梯形,1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,_x)2那么 M(x,_?x27x).2 2(3)如圖3, AOB與厶COD重疊部分的形狀是四邊形 設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的水平距離為 m,那么OG = 1 + m, GB = m

7、.EFGH，作 EK丄 OD 于 K.在 RtOFG 中，fG #OG =1(1 m) 所以 S. ofg =1(1 m).在 Rt A HG 中，A G= 2 m,所以 HGAG 二丄(2 m) =1 -丄 m .2 2 2所以 OH =OG HG =(1 m) (1 1 m) =3m .2 2在 Rt OEK 中，OK = 2 EK ;在 RtA EHK 中，EK = 2HK ;所以 OK = 4HK. 因此 OK =4OH =4 3m =2m 所以 EK =OK =m .3 3221 1332所以 S oeh OH EKmm m .2 2241x 23212111 .1.23于疋 S =

8、 S ofgS oeh(1m)mmm(m)一 一 44224228因?yàn)镺v mv 1,所以當(dāng)m=】時(shí)，S取得最大值，最大值為 -.2 8考點(diǎn)伸展第(3)題也可以這樣來(lái)解：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a.由直線 AC: y= x+ 3, 可得 A (a, a+ 3).11由直線 OC : y 二一x，可得 F(a,-a).22由直線 OA: y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直線 O A ： y= 2x 3a + 3, H (旦弓 0).2 ， 由直線OC和直線O A可求得交點(diǎn)E(2a 2, a 1).由E、F、G、H 4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得例4 2011年義烏市中考第24題O、P兩點(diǎn)除外)，以每秒.

9、2個(gè)單位長(zhǎng)度的速 度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN/X軸，交PB于點(diǎn)N.至仏P1MN .間為t秒，求在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè) P1MN與梯形OMNB S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A (2, 0)、C(0, 12) 與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn) B.(1) 求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 如圖1,在直線 y= 2x上是否存在點(diǎn) D , 點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x= 4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P,使四邊形 OPBD為等腰梯形？若存在，求出將厶PMN沿直線MN對(duì)折，得 的重疊部分的面積為 S,運(yùn)動(dòng)時(shí)AL0JP1圖1

10、圖2思路點(diǎn)撥1第(2)題可以根據(jù)對(duì)邊相等列方程，也可以根據(jù)對(duì)角線相等列方程，但是方程的解都要 排除平行四邊形的情況.2第(3)題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO的中點(diǎn).滿分解答24a+k = 0,(1) 設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x-4) k ,代入A(2, 0)、C(0, 12)兩點(diǎn)，得16a+ k = 12.fa = 1,解得Ik = Y.所以二次函數(shù)的解析式為 y = (x-4)2-4 = x2-8x 12，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4， 4).(2) 由 y = x2-8x 12 = (x-2)(x-6)，知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(6, 0).假設(shè)在等腰梯形 OPBD，那么DP

11、= OB = 6 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(鄉(xiāng)2x).由兩點(diǎn)間的距離公式，得 (x -4)2 (2x 4)2 =36 .解得x=或x= 2.如圖3,當(dāng)x = 2時(shí)，四邊形 ODPB是平行四邊形.524所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一，)時(shí)，四邊形 OPBD為等腰梯形.55(3)設(shè)厶PMN與厶POB的高分別為 PH、PG . 在Rt PMH 中，PM = 2t, PH =MH =t .所以Rt PNH 中，PH =t , NH PH 所以 2 2PG =2t _4 .S J 3t -t2. 2 24如圖5，當(dāng)2 v tv 4時(shí)，重疊部分是梯形，面積等于 PMN的面積減去 PDC的面積由如圖4,當(dāng)Ov t 2時(shí)，重

12、疊部分的面積等于厶PMN的面積.此時(shí)于SS PMN PDCPG23t2 =3(2t 一4)2.44此時(shí) S？(2t 4)2 = 912t -12 .4 44考點(diǎn)伸展第(2)題最好的解題策略就是拿起尺、規(guī)畫(huà)圖：方法一，按照對(duì)角線相等畫(huà)圓.以P為圓心，0B長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線 y= 2x有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是等腰梯形的頂點(diǎn)，一個(gè)是平行四邊形的頂點(diǎn).方法二，按照對(duì)邊相等畫(huà)圓.以B為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線 y= 2x有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是等腰梯形的頂點(diǎn)，一個(gè)是平行四邊形的頂點(diǎn).例5 2010年杭州市中考第24題1 2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是 y = x 1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,

13、0),4平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A, B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q(x, y)在拋物線上， 點(diǎn)P(t, 0)在x軸上.(1) 寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)四邊形CMQP是以MQ , PC為腰的梯形時(shí). 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量 x的取值范圍； 當(dāng)梯形CMQP的兩底的長(zhǎng)度之比為 1 : 2時(shí)，求t的值.圖1思路點(diǎn)撥1. 第（1）題求點(diǎn)M的坐標(biāo)以后，Rt OCM的兩條直角邊的比為 1 : 2,這是本題的基本背 景圖.2. 第（2）題中，不變的關(guān)系是由平行得到的等角的正切值相等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，列關(guān)于t與x的比例式，從而得到t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系.3探求自變量x的取值范圍，要考慮梯形不存

14、在的情況，排除平行四邊形的情況.4.梯形的兩底的長(zhǎng)度之比為1 : 2,要分兩種情況討論.把兩底的長(zhǎng)度比轉(zhuǎn)化為QH與M0的長(zhǎng)度比.滿分解答因?yàn)锳B= 0C = 4,A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2 .將x= 2代入y= - x21 ,4得y= 2 .所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0, 2）.1 2 如圖2,過(guò)點(diǎn)Q作QH_x軸，設(shè)垂足為 H，貝U HQ = y x 1 , HP = x-t .4因?yàn)?CM/PQ，所以/ QPH = Z MCO .因此 tan/QPH = tan/MCO，即竺=9=丄 所 HP OC 21 2 11 2以一x 1 (x -t) 整理，得 t x x-2 .422如圖3,

15、當(dāng)t = -4，解方程 一4 = _1 x2 x _ 2，得 X = 1 _ , 5 .2Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，P與C重合時(shí),如圖4,當(dāng)x= 2.七PQHQ1112丄c當(dāng)_時(shí)，HQOM=1.解萬(wàn)程一 x 1 =1，得x = 0 （如圖5）.此時(shí)CMOM224t = -2 .當(dāng)PQ HQ=2時(shí)，HQ =2OM-4 .解方程-x24，得 x 二 一2、一3 .CMOM4考點(diǎn)伸展本題情境下，以Q為圓心、QM為半徑的動(dòng)圓與x軸有怎樣的位置關(guān)系呢?設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x,?1，那么QM一宀112而點(diǎn)Q到x軸的距離為一x 1 .4因此圓Q的半徑QM等于圓心Q到x軸的距離，圓 Q與x軸相切.

16、例7 2009年廣州市中考第25題如圖1,二次函數(shù)y = X2 px q(p ： 0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0,51), ABC的面積為三.4(1) 求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2) 過(guò)y軸上的一點(diǎn) M (0, m)作y軸的垂線，若該垂線與 ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求 m的取值范圍；(3) 在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？ 若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥1根據(jù) ABC的面積和AB邊上的高確定 AB的長(zhǎng)，這樣就可以把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)用一個(gè)字母 表示.2數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)確定 OA、OB、OC間

17、的數(shù)量關(guān)系，得到 AOC COB ,從而得到厶ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，再根據(jù)對(duì)稱性寫(xiě)出 m的取值范圍.3. 根據(jù)直角梯形的定義， 很容易確定符合條件的點(diǎn) D有兩個(gè)，但是求點(diǎn)D的坐標(biāo)比較麻煩， 根據(jù)等角的正切相等列方程相對(duì)簡(jiǎn)單一些.滿分解答-2a1ME圖3圖21或a圖42 x所以DF C0 =2 因止匕BF AO1(x+1)(x-2)55 二2 解得x .此時(shí)點(diǎn) D的坐標(biāo)為(-一 ,9) 2 2因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式1點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-)，(2,0).(2)如圖2,因?yàn)?A OB 0C2 =1，所以O(shè)A唏因此 aoc亠cob 所以 ABC是以AB為斜邊的直角三

18、角形，外接圓的直徑為AB 因此m的取值范圍是 mW 44D，過(guò)點(diǎn)D作DE丄x軸于E1解得25一 5 3x此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一，)2 2 2過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線于D,過(guò)點(diǎn)D作DF丄x軸于F 因?yàn)閠an E DBF = tan乙CAO ,55(1)因?yàn)镺C =， ABC的面積為-，所以AB=衛(wèi)42y = x2 px q 中，p .： 0 ,所以拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)因此1 2所以拋物線的解析式為 y = (x )(x2) = x223x2設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,50),那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a + , 0) 2設(shè)拋物線的解析式為55y = (x a)(x a -一)，代入點(diǎn) C (0, - 1)

19、，得 a(a +)= 1 解得22因?yàn)?tan. DAB -tan. OBC，所以 DE_ CO _ 11(x -)(2)因此2AEBO 2.1x21(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, (x -)(-2) 2如圖3，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交拋物線于5 35綜上所述，當(dāng)D的坐標(biāo)為(,)或(一工,9)時(shí)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形.2 22考點(diǎn)伸展1第(3)題可以用代數(shù)的方法這樣解：例如圖3,先求得直線BC為y x - 1 ,再根據(jù)AD/BC21 1求得直線AD為y x ，由直線AD和拋物線的解析式組成的方程組，得到點(diǎn) D的坐標(biāo).241.5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的梯形問(wèn)題例1 2018年上海市松江區(qū)中考模

20、擬第 24題已知直線y= 3x 3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A, B,拋物線y = ax2 + 2x+ c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, B.(1) 求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 記該拋物線的對(duì)稱軸為直線 I,點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為C,若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形 ABCD為梯形. 求點(diǎn)D的坐標(biāo)； 將此拋物線向右平移， 平移后拋物線的頂點(diǎn)為 P,其對(duì)稱軸與直線y= 3x 3交于點(diǎn)E,若a ZDE =3，求四邊形BDEP的面積.圖1例2 2018年衢州市中考第24題如圖1,把兩個(gè)全等的 Rt AOB和Rt COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn) A(1,

21、 2)，過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線分別交 x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y = ax2 + bx+ c經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn).(1) 求該拋物線的函數(shù)解析式；(2) 點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作y軸的 平行線交拋物線于點(diǎn) M ,交x軸于點(diǎn)N,問(wèn)是否存在這樣的 點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在， 求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 若厶AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合), AOB在平移 的過(guò)程中與 COD重疊部分的面積記為 S.試探究S是否存在最大值？若存在， 求出這個(gè)最大值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1例3 2011年義烏市中考第24題已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) A (2, 0)、C(0, 12) 與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn) B.