《工程電磁場第一章》PPT

1、第第 一一 章章靜靜 電電 場場 第一章 靜電場 Steady Electric Field 基本方程、分界面上的銜接條件 邊值問題、惟一性問題 分離變量法 有限差分法 鏡像法和電軸法 電容和部分電容 靜電能量與力 靜電場的應(yīng)用 環(huán)路定律、高斯定律 電場強度和電位 序 下 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.0 序 靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的 電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由 此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應(yīng)用推 廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。 本章要求 深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等 概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。

2、掌握 電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電 容、能量、力的各種計算方法。 Introduction 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力 有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法 數(shù)值法解析法 邊值問題 邊界條件電位 基本方程D 的散度 基本物理量 E、D 基本實驗定律（庫侖定律） 靜電場知識結(jié)構(gòu) E 的旋度 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.1.1 庫侖定律 (Coulombs Low) Electric Field Intensity and Electric Potential 2 12 0 2

3、1 21 4R qqe F N (牛頓) 1221 FF 適用條件： 庫侖定律 1.1 電場強度和電位 圖1.1.1 兩點電荷間的作用力 點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考 兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力; 真空中的介電常數(shù) 12 0 108.85 F/m 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.1.2 電場強度 ( Electric Intensity ) t q q zyx zyx t ),( ),( lim 0 F E V/m ( N/C ) 定義：電場強度 E 等于單位正電荷所受的電場力F （a） 單個點電荷產(chǎn)生的電場強度 R t p R q q Re F

4、 E 2 0 4 )( V/m 4 )( 2 0 rr rr rr rE q p ) ( 4 3 0 rr rr q 圖1.1.2 點電荷的電場 一般表達式為 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 （b) n個點電荷產(chǎn)生的電場強度 ( 矢量疊加原理 ) （c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度 R R q eE 2 0 4 d d k N k k k R q erE 1 2 0 4 1 )( 圖1.1.4 體電荷的電場 圖1.1.3 矢量疊加原理 元電荷產(chǎn)生的電場 N k k kk q 1 3 0 )( 4 1 rr rr SdldVqdd， 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜

5、 電電 場場 R S R S eE 2 0 d 4 1 R l R l eE 2 0 d 4 1 線電荷分布lqdd 體電荷分布Vqdd Sqdd面電荷分布 R V R V eE 2 0 d 4 1 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 )(4 d ),(d 22 z z z o E E z z dd 22 z E Ed z d 22 E 解: 軸對稱場，圓柱坐標系。 例1.1.1 真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電 荷線密度為 ,試求P 點的電場。 cosdd z EE sinddEE 下 頁上 頁返 回 圖1.1.5 帶電長直導(dǎo)線的電場 x x 第第 一一 章章靜靜 電電

6、 場場 z z z E L L o z d )(4 2 1 2 3 22 z z E L L o d )(4 2 1 2 3 22 , 21 時當LLL zz EEzeeE ),( e 0 2 無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場 e 0 2 平行平面場。 )( 4 2 2 1 1 2 2 2 2 L L L L o ) 11 ( 4 2 2 1 2 2 2 LLo 0 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 矢量積分與標量積分； 點電荷是電荷體分布的極限情況，可以把它看 成是一個體積很小，電荷密度為 ，總 電量不變的帶電小球體。 )( )()(rrrq 基本概念 平行平面場與軸對稱場； 點電

7、荷的相對概念和數(shù)學(xué)模型 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 矢量恒等式FFFCCC ) ( 1 ) ( 1 333 rr rr rr rrrr rr 0) ( 3) ( 1 33 rr rr rr rr rr 故0)(rE靜電場是無旋場 1. 靜電場的旋度 1.1.3 旋度和環(huán)路定律 ( Curl and Circuital Law ) 3 0 4 )( rr rr rE q 點電荷電場 3 0 4 )( rr rr rE q 取旋度 0 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. 靜電場的環(huán)路定律 電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場，是無旋場。 由Stok

8、es定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量 sl SElEd)(d0 說明 l 0dlE即 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.1.4 電位函數(shù) ( Electric Potential ) 負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。 在直角坐標系中 1. E 與 的微分關(guān)系 ,0E矢量恒等式0 由 zyx e z e y e x E 根據(jù)E與 的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點 ( ) ( ) 00E? 00E? 下 頁上 頁返 回 E 所以 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. 已知電荷求電位 1 4 4 )( 0 3 0 rr rr rr rE qq C q N i i

9、i 1 0 4 1 )( rr r 點電荷群 C dq V 0 4 1 )( rr r 連續(xù)分布電荷 以點電荷為例 )( 4 0 r rr q C q 4 )( 0 rr r lSVqd ,d ,d d 式中相應(yīng)的積分原域。 ,lSV 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 3. 與 E 的積分關(guān)系 圖1.1.6 E 與 的積分關(guān)系 線積分 00 dd P P P P llE 式中)ddd()(d zyxzyx zyx zyx eeeeeel dddd z z y y x x 設(shè)P0為電位參考點，即 ， 則P點電位為 0 0 P 0 d P P P lE 00 0 dd P P

10、P P PP lE所以 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 4. 電位參考點 例如：點電荷產(chǎn)生的電位： C r q 0 4 0 0 r C 0 r r q 0 4 0C 點電荷所在處不能作為參考點 0 Rr R q r q 00 44 R q C 0 4 場中任意兩點之間的電位差與參考點無關(guān)。 選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。 電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能 選取一個參考點。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點。 電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點， 為什么？ 見參考書電磁學(xué)專題研究P59

11、1P597 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 5) 電力線與等位線（面） 0d lEE 線微分方程 z E y E x E z y x ddd 直角坐標系 當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線( 面 )。 Czyx),( 等位線(面)方程 曲線上任一點的切線方向是該點電場強度 E 的方向。 電位相等的點連成的曲面稱為等位面。 1.1.7 電力線方程 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 解： 在球坐標系中 21 12 0210 4 ) 11 ( 4rr rrq rr q p 2 1 2 2 1 )cos 4 (dr d rr 2 0 2 0 44 cos

12、 rr qd r p ep 所以 用二項式展開，又有rd，得 cos 2 2 d rrcos 2 1 d rr 例1.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 ( rd ) 。 2 1 2 2 2 )cos 4 (dr d rr 圖1.1.8 電偶極子 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 )sincos2( 4 3 0 eeE rp r q E r E r r dd 電力線方程 ( 球坐標系 ) ： 2 sinDr 等位線方程 ( 球坐標系 ) ：cosCr 將 和 代入 E 線方程 E r E 表示電偶極矩（dipole moment)，方向由dpq -q 指向 +q。 圖1.

13、1.9 電偶極子的等位線和電力線 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 電力線與等位線（面）的性質(zhì)： 圖1.1.10 點電荷與接地導(dǎo)體的電場 圖1.1.11 點電荷與不接地導(dǎo) 體的電場 E 線不能相交, 等 線不能相交； E 線起始于正電荷，終 止于負電荷; E 線愈密處，場強愈大; E 線與等位線（面）正交； 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 圖1.1.12 介質(zhì)球在均勻電場中圖1.1.13 導(dǎo)體球在均勻電場中 圖1.1.14 點電荷位于無限大介質(zhì)上方圖1.1.15 點電荷位于無限大導(dǎo)板上方 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 作散度運算

14、 1.2.1 真空中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum) 0 ) ( )( r rE 高斯定律的微分形式 1. E 的散度 V V d) ( 4 1 )( 3 0 r rr rr rE 0E0E0E 說明 靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。 1.2 高斯定律 Gausss Theorem 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. E 的通量 VV VVd 1 d 0 E n i i S q 1 0 1 d SE 圖1.2.1 閉合曲面的電通量 圖1.2.2 閉合面外的電荷對場的影響 散度定理 S 面上的 E 是 由系統(tǒng)中全部電 荷產(chǎn)生的。 E 的

15、通量等于 閉合面 S 包圍的 凈電荷。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.2.2. 電介質(zhì)中的高斯定律 (Gausss Theorem in Dielectric) 1. 靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì) 導(dǎo)體內(nèi)電場強度 E 為零，靜電平衡； 導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面； 電場強度垂直于導(dǎo)體表面，電荷分布在導(dǎo)體表面， 接地導(dǎo)體都不帶電。（ ） 一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ） 任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不 變的。 （ ） 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 無極性分子有極性分子 圖1.2.3 電介質(zhì)的極化 2. 靜電場中的電介質(zhì) 電介質(zhì)在

16、外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 (polarized charge)； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。 下 頁上 頁返 回 E E 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 極化強度P ( polarization intensity )表示電介質(zhì)的 極化程度，即 V V p P lim 0 C/m2電偶極矩體密度 實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中 EP 0 e 電介質(zhì)的極化率 e 各向同性媒質(zhì) 媒質(zhì)特性不隨電場的方向改變,反 之，稱為各向異性媒質(zhì)； 線性媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨電場的值而變化，反之， 稱為非線性媒質(zhì)； 均勻媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標而變化

17、，反 之，稱為非均勻媒質(zhì)。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 極化強度 P 是電偶極矩體密度，單個電偶極子 產(chǎn)生的電位 2 0 2 0 4 1 4 cos RR qd R ep 體積 V 內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位 d ) ()( 4 1 3 0 V P V rr rrr 3. 極化強度與極化電荷的關(guān)系 圖1.2.4 電偶極子產(chǎn)生的電位 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 d ) ( 4 1 2 0 V R V R erP RRR R 11 2 e d 1 ) ( 4 1 0 V R V rP d ) ( 4 1 d ) ( 4 1 0 0 V R V R VV

18、 rPrP 矢量恒等式：uuuFFF)( 下 頁上 頁返 回 圖1.2.5 體積 V 內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生 的電位 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 d ) ( 4 1 d ) ( 4 1 n 0 0 S R V R SV erPrP 令P p 極化電荷體密度 n eP p 極化電荷面密度 d ) ( 4 1 d ) ( 4 1 )( 0 0 S R V R S p V p rr r d ) ( 4 1 d ) ( 4 1 0 0 V R V R VV rPrP 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 33 0 d ) )( d ) )( 4 1 )( VS pfpf SV rr rr

19、 rr rr rE 0dd n VS SVePP 0 d )( )( 4 1 )( VS pfpf SdV rrrr r 思考 根據(jù)電荷守恒定律，極化電荷的總和為零 。0 p 電介質(zhì)均勻極化時，極化電荷體密度 有電介質(zhì)時，場量為 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 4. 電介質(zhì)中的高斯定律 f ff )( 0 00 p 0 PE P E 定義 PED 0 電位移矢量 （displacement vector） 所以 D 高斯定律的微分形式 取體積分 VV VVddD 有 S qSD d高斯定律的積分形式 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 在各向同性介質(zhì)中

20、ED 介電常數(shù) F/m r 0 其中 相對介電常數(shù)，無量綱量。 er 1 EEEEPED 0000re 構(gòu)成方程 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.2.1 平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D 、E 和 P 線分布。 圖1.2.6 D、E 與 P 三者之間的關(guān)系 D線E線P線 思考 D 線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷； E 線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷； P 線由負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。 電介質(zhì)內(nèi)部的電場強度是否減少了？ 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例 1.2.2 若點電荷q 分別置于金屬球殼內(nèi)外，問 （1) 穿過閉合面（金

21、屬球殼）的 D 通量是多少？ （2) 閉合面上的 D 與 q 有關(guān)嗎？ （3) 若在金屬球殼外放置電介質(zhì)，重問 1 )，閉合 面上 的 D 與電介質(zhì)有關(guān)嗎？ 下 頁上 頁返 回 圖1.2.7 點電荷 q 分別置于金屬球殼的內(nèi)外 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 計算技巧： a） 分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律 求解。 b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使 中的 D 可作為常數(shù)提出積分號外。 S SD d 高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對 稱性的場才有解析解。 5. 高斯定律的應(yīng)用 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.2.3 試求電荷線密度為 的無限長均勻帶

22、電體的電場。 解: 分析場分布,取圓柱坐標系 ,dq S SD由 eD 2 e D E 0 2 0 1 dd SS SDSDL LLD 2得 下 頁上 頁返 回 圖1.2.8 無限長均勻帶電體 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 球殼內(nèi)的電場 qrD S 2 4dSD r r q eD 2 4 球殼外的電場 qrD S 2 4dSD r r q eD 2 4 例1.2.4 哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？ 下 頁上 頁返 回 圖1.2.10 q分別在金屬球內(nèi)外 圖1.2.9 q在金屬球殼內(nèi) 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.3 基本方程、分界面上的銜接條件 1.3.1 基本方程 ( Ba

23、sic Equation ) 靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。 Basic Equation and Boundary Condition 靜電場的基本方程為 0 E D微分形式 0d l lEq S SDd 積分形式 構(gòu)成方程ED 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 zyx zyx AAA zyx eee A z x y y zx x y z y A x A x A z A z A y A eee)()()( 0 矢量 A 可以表示一個靜電場。 能否根據(jù)矢量場的散度判斷該場是否靜電場? 例1.3.1 已知 試判斷它 能否表示靜電場？ ， zyx zyxeeeA54

24、3 解: 根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì), 思考 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 包圍點 P 作高斯面 ( )。 0L 1.3.2 分界面上的銜接條件（Boundary Condition) 1. D 的銜接條件 SSDSD n2n1 則有 q S SDd根據(jù) 圖1.3.1 介質(zhì)分界面 n1n2 DDD 的法向分量不連續(xù) 當 時， D 的法向分量連續(xù)。0 n2n1 DD 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. E 的銜接條件 圍繞點 P 作一矩形回路( )。 0 2 L tt EE 12 E 的切向分量連續(xù)。 0d l lE根據(jù) 0 1t21t1 lE

25、lE則有 3. 折射定理 當交界面上 時，0 2 1 2 1 tan tan 折射定律 n2n1 DD t 2t 1 EE 222111 coscosEE 2211 sinsinEE 下 頁上 頁返 回 圖1.3.2 介質(zhì)分界面 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 0dlim 0 0 21 d d lE 4、 的銜接條件 設(shè) P1 與 P2 位于分界面兩側(cè)， 0d n ED n ED 2 2n22n2 1 1n11n1 , 21 因此電位連續(xù) nn 2 2 1 1 得電位的法向?qū)?shù)不連續(xù) 由 ，其中 n1n2 DD 圖1.3.3 電位的銜接條件 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場

26、場 說明 （1）導(dǎo)體表面是等位面，E 線與導(dǎo)體表面垂直； 圖1.3.4 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面 例1.3.2 試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。 解: 分界面銜接條件 t2t 1n1n2 EEDD， nn 2 2 1 121 ， n 0 , const 0 tn ED，導(dǎo)體中 E0 ，分解面介質(zhì)側(cè) （2）導(dǎo)體表面上任一點的 D 等于該點的 。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 解：忽略邊緣效應(yīng) 1221 02 1 dd U E 1221 01 2 dd U E 1 1 21 EE 2211 0 SS q 圖(a) 圖(b) 02211 qSS 2 2 1 1 例1.3.3

27、試求兩個平行板電容器的電場強度。 2211 EE 02211 UdEdE 下 頁上 頁返 回 圖1.3.5 平行板電容器 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.4 邊值問題、惟一性定理 1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation) 2 泊松方程 E0E EEE 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 拉普拉斯算子 D Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem 0 2 拉普拉斯方程當 =0時 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.4.2 邊值問題（Bou

28、ndary Problem) 邊值 問題 微分 方程 邊界 條件 初始 條件 場域邊界條件(待講） 分界面銜 接條件 強制邊界條件 有限值 lim 0r 自然邊界條件 有限值 r r lim 泊松方程 / 2 拉普拉斯方程0 2 21 nn 2 2 1 1 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 場域邊界條件 1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet) 2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann) 3）第三類邊界條件 已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合 已知邊界上導(dǎo)體的電位)(| 1 sf s 已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度 或 電力線) )( 2 s

29、f n S )() 3 sf n S （ 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 有限差分法 有限元法 邊界元法 矩量法 積分方程法 積分法 分離變量法 鏡像法、電軸法 微分方程法 保角變換法 計算法 實驗法 解析法 數(shù)值法 實測法 模擬法 邊 值 問 題 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.4.2 試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。 解：根據(jù)場分布的對稱性 確定計算場域，邊值問題 0 2 2 2 2 2 yx （陰影區(qū)域） U bxbybybx )0,0,(及 0 )0,0,( 222 yxayx 0 ),0( aybx x 0 ),0( axby

30、y 下 頁上 頁返 回 圖1.4.1 纜心為正方形的 同軸電纜 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 0) d d ( d d1 2 2 2 2 2 r r rr )(ra 通解 4 3 221 0 2 1 )( 1 6 )(C r C rC r C r r 例1.4.3 試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。 解：采用球坐標系,分區(qū)域建立方程 邊界條件 arar 21 arar rr 2 0 1 0 有限值 01 r 參考電位0 2 r 0 1 2 2 1 2 ) d d ( d d1 r r rr )(ar 下 頁上 頁返 回 圖1.4.2 體電荷分布的球體 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 電場強度（

31、球坐標梯度公式）： 11 )(rE ra r a r rr eerE 2 0 2 2 22 3 )( 得到 ra r a r arrar 0 3 2 22 0 1 3 )( 0)3( 6 )( 圖1.4.3 隨r變 化曲線 E， e rrr sin 11 eer ar r r rr 0 3 0 1 ee 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2 0 1 .x d U A 答案:（C ） 1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem) 例1.4.4 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？ 惟一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的 電位微分方程的解是惟一的。

32、0 0 2 .Ux d U B 0 0 3 .Ux d U C 下 頁上 頁返 回 圖1.4.4 平板電容器外加電源U0 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.5 分離變量法 分離變量法采用正交坐標系，將變量分離后得 到微分方程的通解， 當場域邊界與正交坐標面重合 或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。 1.5.1 解題的一般步驟： Separation Variable Method 分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程； 解常微分方程，并疊加得到通解； 寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）； 利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜

33、 電電 場場 例1.5.1 試求長直接地金屬槽內(nèi) 電位的分布。 解: 邊值問題 1.5.2 應(yīng)用實例 1. 直角坐標系中的分離變量法（二維場） x a yx axay ayaxaxyayx sin100 0 0 0 , 0 ,0 , 00 , 0 2 2 2 2 2 （D 域內(nèi)） 下 頁上 頁返 回 圖1.5.1 接地金屬槽的截面 y x a sin100 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 分離變量)()(),( 21 yxyx 2 2 2 2 d d1 y ， 2 1 2 1d d1 x 設(shè) -分離常數(shù), 有和, 0 0 , 0 22 nn kk 0 d d1 d d1 2 2 2 2 2

34、1 2 1 yx 代入微分方程， 0 d d1 0 d d1 2 2 2 2 2 1 2 1 y x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 d d1 d d1 n n k y k x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 d d1 d d1 n n k y k x 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 )sh()ch()(sin()cos( )sin()cos()(sh()ch( 1 1 ykDykCxkBxkA ykDykCxkBxkA nnnnnnn n n nnnnnnn n n 代入邊界條件，確定積分常數(shù) ), 3 , 2 , 1( n a n kn 0 0 軸)

35、0 Aya 0 0 0) 0 n CCxb，軸 0 0 B0)axc ) sh() sin(),( 1 y a n x a n Fyx n n )()()( 000021 yDCxBAyx通解 )sh()ch()(sin( 1 ykDykCxk nnnnn n 沿 x方向作正弦變化，0 nnn ABA 下 頁上 頁返 回 圖1.5.2 雙曲函數(shù) 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 ayd) sin(100 a x ) sin()(sh) sin(100 1 x a n nF a x n n 比較系數(shù) 當 時，1n0 n F ) sh() sin( sh 100 ),(y a x a yx 當 時

36、，1n100sh 1 F sh 100 1 F ) sh() sin(),( 1 y a n x a n Fyx n n 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 若金屬槽蓋電位 ，再求槽內(nèi)電位分布 0 U 通解 ) (sh) sin), 1 y a n x a n Fyx n n （ ) sin() sin()(sh 11 0 x a n Ex a n nFU n n n n 等式兩端同乘以 ，然后從 積分x a m sina0 (1) d) sin() sin(d) sin( 1 00 0 xx a m x a n Exx a m U n a n a 左式 ) cos1 ( 0

37、 m m aU 1,3,5,. 2 0,2,4,. 0 0 m m aU m 當 時， 0 Uay 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 右式 nmE a xx a n E nm nn 2 d) (sin 0 2 a 0 代入式（1） )sh( 22 2 0 nF a E a m aU nn 代入通解 ) sh() sin( sh 1 4 ),( 1 0 y a n x a n nn U yx n n奇數(shù) 1,3,5,. sh 4 0 nm nn U F n 下 頁上 頁返 回 圖1.5.3 接地金屬槽內(nèi) 的等位線分布 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 解： 取圓柱坐標系，邊值

38、問題 0 0 1 )( 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 a a0 cos ，0 102 21 021 EEx a 根據(jù)對稱性 0) 2 ,( ),(),( 及 例1.5.2 垂直于均勻電場 E 放置 一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒 ， 試求 圓柱內(nèi)外 和 E 的分布。 下 頁上 頁返 回 圖1.5.4 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 當 時， 0n 000000 )( ln)(DCBAR， 當 時，0nnDnCBAR nnn n n n nn sincos)( )( ， )sincos( )( 1 nDnCBA nn n n n n n 代入微分方程 分離變量, 設(shè)

39、 )()(),(R 0 d d1 d d d d 2 2 2 22 R R R R )(ln(),( 0000 DCBA通解 0 d d d d 2 2 2 2 Rn RR 取 n2 = 常數(shù)，令 0 d d 2 2 2 n 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 根據(jù) ， 比較系數(shù)得到 cos 01 E 當 時，1n，EABA 100 ，0 n B E n n n coscos),( 1 1 根據(jù) 0 ， 0 00 0 2 n BBA 1 2 cos),( n n n nA 利用給定邊界條件確定積分常數(shù) 當 時，1n， 0 0 no ABA nBABA n n n n n co

40、s)()ln(),( 1 00 通解 根據(jù)),(),( 0, 0 0 n DC得到 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 比較系數(shù) 1 2 1 01 1 )( A a B EaA a B Ea和當n=1時， 當 時，An=Bn= 0， 則最終解1n 1 1 1 1 0 11 cos)coscos( coscoscos n n n n n n n n n n n n nanAn a B E naAn a B Ea 由分界面 的銜接條件，得a cos )( )( cos),( 0 2 0 1 E a E a a0 cos 2 cos)1 (),( 0 0 0 0 2 EE 下 頁上

41、 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 aE a esin )( )( 1 2 0 2 0 xx E x eeE 0 02 2 2 2 a0 圖1.5.5 均勻外電場中介質(zhì)圓 柱內(nèi)外的電場 eEcos )( )( 1 2 0 2 0 11 E a 介質(zhì)柱內(nèi)電場均勻，并與外 加電場 E0 平行，且 E2 E1 。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.6 有限差分法 1.6.1 二維泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation) F yx 2 2 2 2 （1） 二維靜電場邊值問題 Finite Differenc

42、e Method 基本思想：將場域離散為許多網(wǎng)格 ，應(yīng)用差分原 理，將求解連續(xù)函數(shù) 的微分方程問題轉(zhuǎn)換為求解 網(wǎng)格節(jié)點上 的代數(shù)方程組的問題。 （2）)(Lf L 下 頁上 頁返 回1.6.1 有限差分的網(wǎng)格分割 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 令 h = x - x0，將 x = x1 和 x3 分別代入式 ( 3 ) 0 3 3 3 0 2 2 2 003 0 3 3 3 0 2 2 2 001 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h x h x h x h （4） （5） )(0)()( ! 1 0 0 00 n n

43、K K K K x xxxx xK （3） 由式（4）+（5） 2 301 2 2 2 )( 0 hx xx （6） 2 402 2 2 2 )( 0 hy yy （7） 同理, 沿 x方向在 x0 處的泰勒公式展開為 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 將式(6)、式(7)代入式(1)，得到 2 04321 4Fh 當場域中0 04 04321 )( 4 1 2 43210 Fh 即 )( 4 1 43210 即 若場域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為 F hhhh 0 2 2 2 1 42 2 2 21 2 1 2) 11 ()( 1 )( 1 1.6.2 矩形網(wǎng)格剖分 五點差

44、分格式 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.6.2 邊界條件離散化（Discrete Boundary Condition) 第二類邊界條件 hf hn f 210 01 02 ,)( )2( 4 1 2 4210 Fh 第一類邊界條件 分界面銜接條件 對稱邊界條件 , ) 1 2 1 2 ( 4 1 43210 K K K ba K其中 圖1.6.5 介質(zhì)分界面 10 f 下 頁上 頁返 回 圖1.6.3 對稱邊界圖1.6.4 對稱分界 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.6.3 差分方程組的求解方法 ( Solution Method ) 1、高斯賽德爾迭代法 4

45、1 2)( 1, )( , 1 ) 1( 1, ) 1( , 1 ) 1( , Fh k ji k ji k ji k ji k ji 式中： , 2, 1, 0, 2, 1,kji， 迭代過程直到節(jié)點電位滿足 為止。 )( , ) 1( , k ji k ji 2、超松弛迭代法 4 4 )( , 2)( 1, )( , 1 ) 1( 1, ) 1( , 1 )( , ) 1( , k ji k ji k ji k ji k ji k ji k ji Fh 式中：a 加速收斂因子（1 a 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散 最佳收斂因子的經(jīng)驗公式（不唯一） ) si

46、n(1 2 p （正方形場域、正方形網(wǎng)格） 22 11 22 qp （矩形場域、正方形網(wǎng)格） 收斂速度與電位初始值及網(wǎng)格剖分粗細有關(guān)； 迭代次數(shù)與工程精度 有關(guān)。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 邊界節(jié)點賦已知電位值 賦節(jié)點電位初始值 累計迭代次數(shù) N=0 N=N+1 按超松弛法進行一次迭代，求 )1( , N ji 打印 ),(ji N， N Y 程序框圖 )( , ) 1( , k ji k ji 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 上機作業(yè)要求： 1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。 給定邊值：如圖示； 已知：mm 10 4 cm 4

47、 a ha， 計算：迭代次數(shù) N =? , 分布。 ji, 0 )0( , ji 給定初值： 5 10誤差范圍： 下 頁上 頁返 回 圖1.6.6 接地金屬槽的網(wǎng)格剖分 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 給定邊值：如圖示； 已知：mm1 40 40 cm4ha， 2. 按對稱場差分格式求解電位的分布 計算：1) 迭代次數(shù) N = ? , 分布； ji, ) 1( 40 100 ) 1( 12 . jj p ji 給定初值： 5 10 誤差范圍： 2) 按電位差 畫出槽中等位線。 10 下 頁上 頁返 回 圖1.6.7 接地金屬槽內(nèi)半場域 的網(wǎng)格剖分 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 3.選做題

48、 已知：無限長矩形屏蔽空腔中長 直矩形導(dǎo)體的橫截面如圖示，且 給定參數(shù)為 V100, 或 , V100, 或 , 0, 或 1,1 0, 或 1,1 2121 2121 MIMINJN NJNJMIM M IINJ NJJMI 圖1.6.8 無限長矩形屏蔽空 腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面 要求 用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔 中長直矩形導(dǎo)體周圍的電位分布; 畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍等位線分布; 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.7 鏡像法與電軸法 1.7.1 鏡像法（Image Method) 1. 平面導(dǎo)體的鏡像 圖1.7.1 平面導(dǎo)體的鏡像 Image Metho

49、d and Electric Axis Method 方程相同，邊界條件相同，解惟一。 下 頁上 頁返 回 空氣中除點電荷外 0 導(dǎo)板 q S SD d ， 0 2 a 0 2 上半場域除點電荷外b 0 44 00 r q r q q S SD d 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 地面上感應(yīng)電荷的總量為 （方向指向地面） EEE 2 0 4 cos 2 r q E 2/322 0 )(2xh qh 2/322 0 )(2 xh qh EDn p xx xh qh S S p d2 )(2 d 0 2/322 q 例1.7.1 試求空氣中點電荷 q 在地面引起的感應(yīng)電荷分布。 解：設(shè)點電荷 q

50、 鏡像后 圖1.7.2 地面電荷分布 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. 球面導(dǎo)體的鏡像 點電荷位于接地導(dǎo)體球外的邊值問題 （除q點外的空間) 0 0 2 球面 r 0 4 4 2010 r q r q p cos2 cos2 22 2 2 22 2 1 RbRbr RdRdr 設(shè)鏡像電荷 如圖，球面電位 q 下 頁上 頁返 回 圖1.7.3 點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 0cos)(2)()( 22222222 bqdqRRdqRbq 將 r1, r2 代入方程 ，得0 12 rqrq 0 0)()( 22 222222 bqdq Rdq

51、Rbq 聯(lián)立求解 得到 q d R q d b q d R b 2 鏡像電荷位置 鏡像電荷大小 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 球外任一點 P 的電位與電場為 2010 4 4r q r q p 21 2 20 2 10 44 rrP rd qR r q eeE 圖1.7.5 球外的電場分布 鏡像電荷放在當前求解的場域外。 鏡像電荷等于負的感應(yīng)電荷總量。 圖1.7.4 球外的電場計算 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.7.2 不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。 則 d R bq d R q 2 , ) dd 1 ( 4 21 2 2 2 1

52、 2 0 rrr r R r R r q eeeE 任一點場強 解： 邊值問題 0d const 0 2 SS SD （除q點外的空間) 通量為零（ 大小相等） - , qq 球面等位（ 位于球心） q 思路 圖1.7.6 不接地金屬球的鏡像 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個 數(shù)，大小與位置。 圖1.7.7 點電荷位于不接地導(dǎo)體 球附近的場圖 任一點電位 ) dd 1 ( 4 210 r R r R r q d q 0 4 球面電位 思考 下 頁上 頁返 回 圖1.7.8 點電荷對導(dǎo)體球面的鏡像 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 3

53、. 不同介質(zhì)分界面的鏡像 t2t1 EE n2n1 DD 根據(jù)惟一性定理 圖1.7.9 點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像 cos 4 cos 4 cos 4 2 2 2 1 2 1 r q r q r q qq 21 21 qq 21 2 2 和解得 sin 4 sin 4 sin 4 222 r q r q r q 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 圖1.7.10 電場分布圖 試確定下圖鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。思考題： 中的電場由 q 與 q 共同產(chǎn)生，q 等效替代極化電荷的影響。 1 中的電場由 q” 決定，q” 等效替 代自由電荷與極化電荷的作用。 2 圖1.7.1

54、1 點電荷 q1 與 q2 分別置于 與 區(qū)域中 1 2 思考 下 頁上 頁返 回 提示 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.7.2 電軸法（Electric Axis Method） (導(dǎo)線以外的空間)0 2 const B導(dǎo)體 S 電荷分布不均,dSD S 電荷分布不均勻,dSD const A導(dǎo)體 能否用高斯定律求解？思考 邊值問題 下 頁上 頁返 回 1.7.12 長直平行雙傳輸線 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1. 兩根細導(dǎo)線產(chǎn)生的電位 11 00 1 ln 2 d 2 1 C Q 以 y 軸為參考電位， C=0， 則 22 22 01 2 0 )( )( ln 2 ln 2y

55、bx ybx P 令： C， 等位線方程 P 2 22 22 )( )( K ybx ybx C P 1 2 0 21 ln 2 22 0 2 ln 2 C 圖1.7.13 兩根帶電細導(dǎo)線 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 K 取不同值時，得到一族偏心圓。 a、h、b滿足關(guān)系 22 ba 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( K bK yb K K x 整理后，等位線方程 0, h 圓心坐標 圓半徑 1 2 2 K bK a )( 222 bhbhbha 圖1.7.14 兩根細導(dǎo)線的等位線 下 頁上 頁返 回 b K K h 1 1 2 2 22 2 ) 1

56、2 (b K bK 2 2 2 ) 1 1 (b K K 2 h 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 x y E E x y d d 4 ) 2 ( 2 1 22 1 2 K b K yx 根據(jù) ，得到 Ex 和 Ey 分量E 圖1.7.15 兩細導(dǎo)線的場圖 E 線方程 思考 若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼， 是否會影響電場分布？ 若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 2. 電軸法 ) 11 ( 2 210 21 eeE P ( 以 y 軸為參考電位) 例1.7.3 試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。 b) 圓柱導(dǎo)線間的電場與

57、電位 解：a) 取圓柱坐標系 1 2 0 ln 2 p 22 ahb 電軸位置 下 頁上 頁返 回 圖1.7.16 平行傳輸線電場的計算 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.7.4 試決定圖示不同半徑平行長直導(dǎo)線的電軸位置。 21 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 hhd ahb ahb 圖1.7.17 不同半徑傳輸線的電軸位置 21, ,hhb確定 解： 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1）參考電位的位置； 2）有效區(qū)域。 21 12 22 2 2 2 22 1 2 1 , hhb dhh bah bah 解：確定 例1.7.5 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。

58、 注意： 圖1.7.18 偏心電纜電軸位置 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 例1.7.6 已知平行傳輸線之間電壓為U0, 試求電位分布。 22 ) 2 (a d b )( )( ln )( )( ln 2 0 0 ahb ahb ahb ahb U hd ahb 2 222 解： 確定電軸的位置 1 2 0 ln 2 1 20 ln )( )( ln2 ahb ahb U 所以 設(shè)電軸線電荷 ，任一點電位 下 頁上 頁返 回 圖1.7.19 電壓為U0的傳輸線 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 鏡像法（電軸法）小結(jié) 鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是： 鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是

59、： 鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是： 鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū) 域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。 用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分 布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)； 靜電場惟一性定理； 確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置； 應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意： 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.8.1 電容器的電容（Capacitance of Capacitor) Capacitance and Distributed Capacitance 1.8 電容及部分電容 U Q C 定義：pFF,F,單位： 電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周圍的

60、介質(zhì)有關(guān)。 工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各 種小電容器。 電容的計算思路： U Q CUQ l d lEE設(shè) 下 頁上 頁返 回 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 解： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q ，則 q S dSD rr r q r q eEeD 2 0 2 4 , 4 ) 11 ( 4 d 0 ba q U b a rE同心球殼間的電壓 ab ab U q C 0 4 球形電容器的電容 aC 0 4當 時b（孤立導(dǎo)體球的電容） 例1.8.1 試求同心球殼電容器的電容。 下 頁上 頁返 回 圖1.8.1 同心球殼電容器 第第 一一 章章靜靜 電電 場場 1.8.2 部分（分布）電容（