數(shù)學(xué)高中競賽訓(xùn)練題

1、數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題三一、選擇題（本題滿分36 分，每小題6 分）1已知數(shù)列 an 滿足 3an+1 +an =4(n 1)，且 a1=9，其前n 項之和為Sn。則滿足不等式n1 的最小整數(shù) n 是（）|S -n-6|( t2-4)x 恒成立，則t 的取值范圍是 _.11我們注意到6!=8 910，試求能使n! 表示成 (n-3)個連續(xù)自然三數(shù)之積的最大正整數(shù) n 為 _.12對每一實數(shù)對 (x, y)，函數(shù) f(t) 滿足 f(x+y)=f(x)+f(y)+ f(xy)+1。若 f(-2)=-2 ，試求滿足 f(a)=a 的所有整數(shù) a=_.三、解答題（每小題20 分，共 60 分）13已知 a,

2、 b, c R+ ，且滿足kabc2，求 k 的最小值。(a+b)2+(a+b+4c)ab c14已知半徑為1 的定圓 P 的圓心 P 到定直線 l 的距離為2， Q 是 l 上一動點， Q與 P 相外切， Q 交 l得 MAN 為定值。求于 M、 N 兩點，對于任意直徑MAN 的度數(shù)。MN ，平面上恒有一定點A，使15已知 a0，函數(shù) f(x)=ax-bx2,（ 1）當(dāng) b0 時，若對任意 x R 都有 f(x) 1，證明： a2 b ；（ 2）當(dāng) b1 時，證明：對任意 x 0, 1, | f(x)| 1的充要條件是： b-1a2 b ；（ 3）當(dāng) 0b1時，討論：對任意x 0, 1, |

3、 f(x)| 1的充要條件。數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題三答案一、選擇題1由遞推式得： 3(an+1-1)=-( an-1) ，則 an-1 是以8 為首項，公比為 -1 的等比數(shù)列，1381() n 111 Sn-n=( a1-1)+( a2-1)+ +(an-1)=3=6-6n， |Sn-n -6|=6n250 ，滿足條件的最小整數(shù)n=7，故選 C。2設(shè)正三棱錐P-ABC 中，各側(cè)棱兩兩夾角為， PC與面 PAB 所成角為，則V=1h=11PQPRsin PS) sin。另一方面，記O 到各面的距離為d，則S(S-PQR PQR32V3+V,=V+VS-PQRO- PQRO-PRSO- PQS1SPQR

4、d=11S PRSd+1d1d1d133S PRSd+3S PQSd=2PQPRsin +PSPRsin +233323PQPS sin ，故有：PQPRPS sin d(PQ=PR+PRPS+PQPS)，即111sin=常數(shù)。故選 D。PQPRPSdxn333xn+1=，令 xnnn+1n),n+6n 1233 ,=tan ， x=tan(+ x=x , x =1，x =2+ 3, x =-2-13 xn63x=-1, x =-2+3 , x =2-3 , x =1 ，有2005xnx11。故選 A。4567n 14設(shè)向量 b =(x, y) ，則( ab)( ab)0，| ab | | a

5、b |(x1 , y3 ) ( x1 , y30x2y2131即2222，即. b(, )(x1) 2( y3) 2( x1) 2( y3 )2x3 y222222或(31 ) AOB1,2， S=| a b | a b | =1。225設(shè) P(x , y )，Q(x, y)，因為右準(zhǔn)線方程為x=3，所以 H 點的坐標(biāo)為 (3, y)。又 HQ =PH ，11所以 HP1 ，所以由定比分點公式，可得：3(1)x1x1，代入橢圓方程，PQy1 y得Q點軌跡為 x3(1) 2y2321，所以離心率2e=3 22123232,1) 。故選 C。336由 logb2，所以x =x =2 ，故 C=2

6、A， sinB=2sinA ，因x=log (4x-4) 得： x -4x+4=0b12A+B+C=180 ， 所 以3A+B=180 ， 因 此sinB=sin3A ， 3sinA-4sin3A=2sinA ， sinA(1-4sin 2A)=0 ， 又 sinA0， 所 以 sin 2A=1， 而 sinA0 ， sinA=1 。因此42A=30 ,B=90 ,C=60 。故選 B 。二、填空題x2 y02 | y |7 3 。 x2 yx024 y 24( xx2y)( x 2 y) 4由對稱性只考慮y0，因為 x0，只須求 x-y 的最小值，令x-y=u，代入 x2-4y2=4，有3y

7、2-2uy+(4- u)2=0 ，這個關(guān)于 y 的二次方程顯然有實根，故=16( u2-3) 0。8 46 個。 abcd 中恰有 2 個不同數(shù)字時，能組成C 24 =6 個不同的數(shù)。abcd 中恰有 3 個不同數(shù)字時，能組成C31C 21C 21C 12C 12 =16 個不同數(shù)。 abcd 中恰有 4 個不同數(shù)字時，能組成 A 44 =24 個不同數(shù)，所以符合要求的數(shù)共有6+16+24=46 個。9 解考慮 M 的 n+2 元子集 P= n-l， n， n+1， 2n P 中任何 4 個不同元素之和不小于(n-1)+ n+(n+1)+( n+2)=4 n+2 ，所以 kn+3將 M 的元配

8、為 n 對， Bi=(i ，2n+1- i)，1in對 M 的任一 n+3 元子集 A，必有三對Bi1 , Bi2 , Bi3 同屬于123兩兩不同 )A(i 、 i 、 i又將 M 的元配為 n-1 對， C i (i， 2n-i)， 1in-1對 M 的任一 n+3 元子集 A，必有一對 Ci4 同屬于 A，這一對 Ci 4 必與 Bi1 , Bi 2 , Bi 3 中至少一個無公共元素，這4 個元素互不相同，且和為2n+1+2n=4n+1,最小的正整數(shù) k=n+31013 1,211 。若 t2-40 ，即 t2，則由t122t24x(|x| 恒1)成立，得t11 , t+1 t 2-4

9、, t2-t-50 解得121t121，從而1221t-2 或t 24222t121 。若 t2-4=0，則 t=2 符合題意。若 t2-40 ，即-2t2，則由t1- t2+4; t2+t-30 ，解得： t113 ，從2而1 13t2。綜上所述， t 的取值范圍是：13 1t0 ，由 f(1)=1 可知對一切正整數(shù) y，f(y)0，因此 y N* 時，f(y+1)= f(y)+y+2y+1，即對一切大于 1 的正整數(shù) t，恒有 f(t) t，由得 f(-3)=-1, f(-4)=1 。下面證明： 當(dāng)整數(shù) t-4 時，f(t)0 ，因 t-4，故 -(t+2)0 ，由得： f(t)-f(t+

10、1)=-( t+2)0 ，即 f(-5)- f(-4)0 ， f(-6)- f(-5)0 ， f(t+1)- f(t+2)0 ， f(t)-f(t+1)0相加得： f(t)- f(-4)0 ，因為： t4，故 f(t)t。綜上所述： 滿足 f(t)=t 的整數(shù)只有 t=1 或 t=2。三、解答題13解：因為 (a+b)2+( a+b+4c)2=( a+b) 2+( a+2c)+(b+2c) 2 (2 ab )2+(22ac +2 2bc )2=4ab+8 ac+8bc+16cab(ab)2(ab4c) 2(abc)。所以abc315a 2b 2c。24)1008(5 2a2 b2 c2 )(5

11、當(dāng) a=b=2c0 時等號成立。故k 的最小值為 100。14以 l 為 x 軸，點 P 到 l 的垂線為 y 軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Q 的坐標(biāo)為 (x,0) ，點 A(k,)， Q 的半徑為 r，則： M(x-r , 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x222 =1+ r 。k ANk AMoroh所以 x=r2r3, tan MAN =x r h x r h2k ANk AMohoh11xrhxrk2rh2rh2rh( x k) 2r 2h2(r 22r 3)2r 2h2h 2k 232r 2k r 22r 3， 令 2m=h2 +k2-3， tan MAN =

12、1， 所 以m+rkr 22r3=nhr，n m+(1- nh)r =kr223 ，兩邊平方，得：22 22 222，m +2m(1- nh)r -(1-nh) r =k r +2k r-3krm23k 2 (1)因為對于任意實數(shù)r 1，上式恒成立，所以2m(1nh)2k 2 (2) ，由（ 1）（ 2）式，(1 nh) 2k 2 (3)得 m=0, k=0，由（ 3）式，得 n= 1 。由 2m=h2+k2-3 得 h= 3 ，所以 tan MAN= 1 =h= 3 。hn所以 MAN =60或 120（舍）（當(dāng) Q(0, 0), r=1 時 MAN=60），故 MAN=60。15（ 1）證：依題設(shè)，對任意 xR，都有 f(x) 1。 f(x)=-b(x-a)2+ a2， f( a)= a21，2b4b2b4b a0, b0, a2 b 。（ 2）證：（必要性），對任意 x 0, 1 ， |f(x)| 1 -1f(x)據(jù)此可推出 -1f(1) 即 a-b-1， ab-1。對任意 x0, 1 ，|f(x)| 1 f(x) 1，因為 b1，可推出 f( 1) 1。即 a1-1，bb a2 b ，所以 b-1a2 b 。（充分性）：因 b1, ab-1，對任意 x 0, 1 ，可