《數(shù)值計算方法》試題集及答案

1、精品文檔計算方法期中復習試題一、填空題：1 、已 知 f (1)1.0,f ( 2)1.2,f (3) 1.3 ，則 用辛普生 （辛 卜生 ）公式 計 算求得3f ( x)dx_1f (1),用三點式求得。答案： 2.367，0.252、 f (1)1, f (2)2, f (3) 1，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。答案： -1，L2 ( x)1 ( x2)( x3) 2( x1)( x3)1 ( x 1)( x2)223、近似值x*0.231關(guān)于真值 x0.229 有( 2)位有效數(shù)字；4、設(shè) f ( x)可微 , 求方程 xf ( x) 的牛頓迭代格式是

2、()；xn1xnxnf ( xn )1f ( xn )答案5、對 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3 (1),f 0,1,2,3,4 (0)；6、計算方法主要研究 (截斷)誤差和 (舍入)誤差；7、用二分法求非線性方程f (x)=0 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的根時，二分n 次后的誤差限為ba(2 n 1)；、已知f(1) 2，f(2)3，f(4)5.9，則二次 Newton插值多項式中x2系數(shù)為 ( 0.15)；811、 兩點式高斯型求積公式度為( 5 )；1011 f ( 3 1)f ( 3 1)f ( x)dxf (x)dx( 022 32 3)，代數(shù)精y34610( x1)2(

3、x 1)312、為了使計算x 1的乘除法次數(shù)盡量地少， 應將該表y 10 (3 (4 6t)t)t , t1x1達式改寫為，為了減少舍入誤差，應將表達式220011999 改寫為20011999。.精品文檔、 用二分法求方程f ( x)x3x 10 在區(qū)間 0,1 內(nèi)的根 ,進行一步后根的所在區(qū)間13為 0.5， 1,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。1xdx0.4268 ，14、 計算積分 0.5,取 4 位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。15、 設(shè) f ( 0)0, f (1)1

4、6, f (2) 46 ,則 l1 (x)l1 (x)插值多項式為N 2 ( x)16x 7 x( x 1)。bnAk f ( xk )f ( x)dx16、 求積公式ak 0的代數(shù)精度以 (有(2n1)次代數(shù)精度。17、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求18、設(shè) f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求f (1)x( x2)， f ( x) 的二次牛頓高斯型)求積公式為最高，具5f ( x)dx ( 12 )。1(2.5 )。19、如果用二分法求方程x 3x40 在區(qū)間 1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。S( x)x30x

5、11 (x1) 3a( x1) 2b( x 1) c 1x320、已知2是三次樣條函數(shù)，則a =(3)， b =（ 3）， c =（1）。21、 l 0 (x), l1 ( x),l n ( x) 是以整數(shù)點 x0 , x1 , xn 為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則nnl k (x)(1)，xk l j ( xk )x j)， 當 n 2時k0k0(n( x 4x23)l( x)kkk(x4x23)。k0、區(qū)間 a, b上的三次樣條插值函數(shù)S( x) 在 a, b 上具有直到 _2_階的連續(xù)導22數(shù)。23 、 改 變 函 數(shù) f ( x)x 1x( x 1 ) 的 形 式 ， 使

6、計 算 結(jié) 果 較 精 確fx1x1x。24、若用二分法求方程f x0 在區(qū)間 1,2 內(nèi)的根，要求精確到第3 位小數(shù)，則需要對分 10次。S x2 x3 , 0x1x 3ax2bxc,1x2 是 3 次樣條函數(shù)，則25、設(shè).精品文檔a=3, b= -3, c=1。26、若用復化梯形公式計算477 個求積節(jié)點。10 ex dx ，要求誤差不超過 10 6 ，利用余項公式估計，至少用27、若 f ( x ) 3x42 x1 ，則差商 f 2, 4, 8,16,323。1f ( x)dx21)8 f (0) f (1)1 f (28、數(shù)值積分公式9的代數(shù)精度為2。選擇題1、三點的高斯求積公式的代數(shù)

7、精度為 (B )。A 2B5C 3D 42、舍入誤差是 (A )產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C 觀察與測量D數(shù)學模型準確值與實際值3、 3.141580 是的有 (B )位有效數(shù)字的近似值。A 6B 5C 4D 74、用 1+x 近似表示 ex 所產(chǎn)生的誤差是 (C)誤差。A 模型B 觀測C 截斷D 舍入x3 1 x 所產(chǎn)生的誤差是 (5、用 1+ 3 近似表示D)誤差。A 舍入B 觀測C 模型D 截斷6、-3247500 是舍入得到的近似值，它有 ( C)位有效數(shù)字。A 5B 6C 7D 87、設(shè) f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插

8、值多項式中 x2 的系數(shù)為 ( A)。A 05B 05C 2D -28、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A3B4C5D29、 ( D )的 3 位有效數(shù)字是 0.236102。(A) 0.0023549 103(B) 2354.82 102(C) 235.418(D) 235.5410110、用簡單迭代法求方程f(x)=0 的實根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ，則 f(x)=0 的根是(B)。(A) y=(x) 與 x 軸交點的橫坐標(B) y=x 與 y= (x) 交點的橫坐標(C) y=x 與 x 軸的交點的橫坐標(D) y=x 與 y= (x) 的交點.精品文檔1

9、1、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是 ( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(x x2) (xxn 1)(xxn)，Rn (x)f ( x)f( n1) ()Pn (x)1)!(B)( n(C) f(x,x0,x1,x2, ,xn)(xx0)(x x1)(x x2) (xxn 1)(xxn) ，Rn ( x)f ( n 1)()f ( x) Pn ( x)n 1 ( x)(D)(n1)!12、用牛頓切線法解方程 f(x)=0 ，選初始值 x0 滿足 ( A),則它的解數(shù)列 xnn=0,1,2,一定收斂到方程 f(x)=0 的根。(A ) f

10、 (x0 ) f ( x) 0(B) f ( x0 ) f ( x) 0( C) f ( x0 ) f ( x) 0(D) f ( x0 ) f ( x) 013、為求方程x3x21=0 在區(qū)間 1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。x 2x1 ,迭代公式 : xk11(A)1xk1x11, 迭代公式 : xk1x2112(B)xk(C) x31x2,迭代公式: xk(12)1/ 31xkx31x 2 , 迭代公式 : xk11xk21(D)xk2xkbnf (x)dx (b a)C (n ) f ( x )(n )14、在牛頓 -柯特

11、斯求積公式：aiiCii0中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓 -柯特斯求積公式不使用。（1） n8 ， （2） n7 ， （3） n10，（4） n6 ，23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（ 4）五次15、取31.732 計算 x(31) 4，下列方法中哪種最好？（）1616(A) 28163 ；(B)(423)2；(C) (423)2；(D)(31)4。.精品文檔S( x)x30 x226、已知2( x 1)3a( x 2) b 2 x

12、 4 是 三 次 樣條 函 數(shù)， 則 a, b 的 值 為()(A)6，6；(B)6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。16、由下列數(shù)表進行 Newton 插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）xi1.52.53.5f ( xi )-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B) 4；(C) 3；(D)2 。b17、形如 af ( x )dxA1 f ( x1 )A2 f ( x 2 )A3 f ( x3 ) 的高斯（ Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A) 9；(B) 7；(C) 5；(D)3。、計算3 的 Newton 迭代格式為 ()18xk 1xk3xk 1xk3xk

13、1x k2x k 1xk32xk22x k ； (C)2xk ； (D)3xk 。(A)； (B)19、用二分法求方程 x 34x 2100 在區(qū)間 1, 2 內(nèi)的實根，要求誤差限為110 32，則對分次數(shù)至少為 ()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9 。9、設(shè) l i ( x)是以 xkk(k0,1,L,9) 為節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則 k 0kl i (k )()20(A) x ；（ B） k ；（C） i ；（D）1。33、5 個節(jié)點的牛頓 -柯特斯求積公式，至少具有 ()次代數(shù)精度(A)5；(B)4 ；(C)6；(D)3 。S( x)x30x22( x1)3a(

14、x2)b2x4是三次樣條函數(shù)，則 a, b 的值為 ()、已知21(A)6，6；(B)6 ，8；(C)8，6；(D)8， 8。35、已知方程 x 32x50 在 x2 附近有根，下列迭代格式中在x02 不收斂的是()x k125x2xk35x k 132 xk5xkxk 1 xk3xk5k 13x k22(A)； (B)； (C)； (D)。22、由下列數(shù)據(jù)x01234f ( x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為 ()(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3 。23、5 個節(jié)點的 Gauss 型求積公式的最高代數(shù)精度為 ()(A)8 ；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認為

15、正確的在后面的括弧中打，否則打 ）( xi，yi， ，m)Pn ( x)1、已知觀察值) (i 0 1 2,用最小二乘法求 n次擬合多項式時，.精品文檔P n ( x) 的次數(shù) n 可以任意取。()x22、用1-2 近似表示 cosx 產(chǎn)生舍入誤差。()( xx0 )( xx2 )3、 ( x1x0 )( x1x2 ) 表示在節(jié)點 x1 的二次拉格朗日插值基函數(shù)。()()4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。()311253、矩陣A=125具有嚴格對角占優(yōu)。()5四、計算題：f ( x) dxA f ( 1)f (1)B f (1 )f ( 1 )11、

16、求 A、 B 使求積公式122的代數(shù)精度盡量21高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求Idx1x (保留四位小數(shù) )。答案： f ( x)1, x, x 2是精確成立，即2 A2B22 A1 B2A1, B823得99f (x)dx1 f ( 1)f (1)8 f (1 )f ( 1)1求積公式為19922x3x 421當 f ( x)時，公式顯然精確成立；當f ( x)時，左 = 5 ，右= 3 。所以代數(shù)精度為 3。21t2 x 311111811dx1 xdt1 t 39131391/23123970.692861402、已知.精品文檔xi1345f (xi )2654分別用拉格朗日插值法和牛

17、頓插值法求f (x) 的三次插值多項式 P3 (x) ，并求 f ( 2)的近似值（保留四位小數(shù)） 。L3 ( x) 2( x3)( x4)( x5)(x1)( x4)( x5)(13)(14)(161)(34)(35)答案：5)(3(x1)( x3)( x5)( x1)( x3)( x4)51)(43)(45)41)(53)(54)(4(5差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101 4P ( x)N( x)22( x1)( x1)( x3)1 ( x1)( x3)( x 4)334f ( 2)P3 (2)5.55、已知xi-2-1012f (xi )42135

18、求 f (x) 的二次擬合曲線 p2 ( x) ，并求 f (0) 的近似值。答案：解：ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341.精品文檔5a010a21510a13正規(guī)方程組為10a034a241a010 , a3 , a211711014p2 ( x)10 3 x11 x 2p2(x)3 11 x71014107f (0)p2 (0)3106、已知 sin x 區(qū)間 0.4，0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.

19、564640.644220.71736如用二次插值求 sin 0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解：應選三個節(jié)點，使誤差| R2 ( x) |M 3 | 3 ( x) |3!盡量小，即應使|3 ( x) |盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點 0.5,0.6,0.7 最好，實際計算結(jié)果sin0.638910.596274，且sin0.638910.5962741 ( 0.638910.5)(0.638919 0.6)( 0.638910.7)3!0.550321047、構(gòu)造求解方程 ex10x20 的根的迭代格式 xn 1( xn ), n

20、0,1,2, ，討論其收斂性，并將根求出來， | xn 1xn |10 4。答案：解：令f ( x)ex10x2,f ( 0)20, f (1)10 e0 .且 f ( x) ex100對 x(，)，故 f (x) 0在 (0,1) 內(nèi)有唯一實根.將方程.精品文檔f (x)0 變形為x 1 ( 2 ex )10則當 x(0,1) 時1exe( x)x)| ( x) |1(2e101010，故迭代格式xn 11 ( 2 ex n )10收斂。取x0 0.5 ，計算結(jié)果列表如下：n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.09

21、0 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 | x7x6 | 0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 525 008 .10、已知下列實驗數(shù)據(jù)x1.361.952.16if(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。1解：當 0x1 時， f (x)ex，則f (x)e，且 0ex dx 有一位整數(shù) .R( n) ( f )110 4要求近似值有5 位有效數(shù)字，只須誤差12.R(n ) ( f )( b a)3f ( )112n 2，只要由R1(n) (ex )ee110

22、412n 212n 22即可，解得.精品文檔ne10267.308776所以 n68 ，因此至少需將0,1 68 等份。、取節(jié)點x00, x10.5, x21求函數(shù)f ( x) e xP2 ( x)在區(qū)間 0,1上的二次插值多項式,12,并估計誤差。P2( x)e 0( x0.5)( x1)e 0.5( x0)( x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)e 1(x0)( x 0.5)(10)(10.5)2( x0.5)( x1)4e 0.5 x( x 1)2e 1 x( x 0.5)f ( x) e x , f( x)ex , M 3 max | f( x) |1又x 0,1|

23、R2 ( x) | e xP2 ( x) |1 | x( x0.5)( x1) |故截斷誤差3!。14、給定方程 f ( x)( x1) ex101) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到 5 位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解： 1）將方程( x1)ex10（1）改寫為x1e x（2）作函數(shù) f1 ( x)x 1， f 2( x)ex 的圖形（略）知（ 2）有唯一根 x*(1,2) 。2) 將方程（ 2）改寫為x1 e xxk11e x k構(gòu)造迭代格式x01.5(k0,1,2,)計算結(jié)果列表如下：k123456789xk 1.22313 1.29431 1.2

24、7409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846.精品文檔3)( x) 1ex(x)e x，當 x1,2 時， ( x) (2),(1)1,2 ，且| ( x) | e 11所以迭代格式xk 1(xk )(k0,1,2, ) 對任意 x01,2 均收斂。15、用牛頓 (切線 )法求3 的近似值。取 x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：3 是 f (x) x 23 0 的正根， f ( x)2 x ，牛頓迭代公式為xn 1xn23xn3xnxn 1(n 0,1,2, )2xn，即22xn取 x0=1.7, 列表如下：n123xn1.

25、732351.732051.7320516、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式L2 ( x) 及 f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。L2 ( x) 2( x1)( x2)3( x1)( x2)4 ( x1)( x1)解：( 11)( 12)(11)(12)(21)(21)2 ( x 1)( x 2)3 ( x 1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)3213f (1.5)L2 (1.5)0.04167241x17、n=3,用復合梯形公式求0 e dx 的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。1T310 e02(e1 3e2 3 )e1 1.7342exdx解： 023f ( x)ex , f ( x) ex ， 0x 1時， | f ( x) | e| R | |exT |ee0.0250.0531232108至少有兩位有效數(shù)字。20、（8 分）用最小二乘法求形如yabx 2 的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038.精品文檔yi19.032.349.073.3解：span 1, x2 AT111119 2252312382yT19.032.349.073.3解方程組AT ACAT yAT A43391AT y1