立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量適用學科高中數(shù)學適用年級高中二年級適用區(qū)域通用課時時長(分鐘)90知識點用空間向量處理平行垂直問題；用空間向量處理夾角問題教學目標1. 理解直線的方向向量與平面的法向量；2. 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系；3. 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理(包括二垂線定理)4. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法教學重點用向量方法解決立體幾何中的有關問題教學難點用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題教學過程一、課堂導入空間平行垂直問題1.兩條直線平行與垂直；2 .直線與平面平行與垂直；3 .兩個平面平行與垂直；空間夾角問題

2、1兩直線所成角；2 .直線和平面所成角；3 .二面角的概念；空間距離問題二、復習預習(1)空間向量的直角坐標運算律：設 a佝總月3), b (bbb)，則IiIb (ai bi,a2 b2,as b3)a b (ai bi,a2 b2,a3 b3)R/V3 ab2a114bJFa3aRRd2a3 a4b,Jraa1dfao63 a b22 a b alyi, Z2zi)(X2 Xi, y2B(X2, y2, Z2)一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.(3)模長公式:4)夾角公式:2aJraw1da1D22a2D2(5)兩點間的距離公式：若 A(xi

3、，yi，zi)，B()2,y2,Z2)，貝yaB vaBv(Xi X2)2 (yi y2)2 (zi Z2)2 .三、知識講解考點i平面法向量的求法在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設n (x,y,z)，它和平面內的兩個不共線的向量垂直， 數(shù)量積為0,建立兩個關于x,y,z的方程，再對其中一個 變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量.還有幾種求平面法向量的辦法也比較 簡便.求法一：先來看一個引理：若平面ABC與空間直角坐標系x軸、y軸、z軸的交點分別為A(a，0，0)、B(0， b，0)、C(0，0，c)，定義三點分別在 x軸、y軸、z軸上的坐標值xa = a， yB = b， zc =

4、 c( a, b, c均不為0),則平面ABC的法向量為n (-,- ,-) (0).參數(shù) 的a b c值可根據(jù)實際需要選取.證明： AB = ( a, b, 0), AC ( a, 0, c),nAB o,n aC o,111 n是平面ABC的法向量.a b c這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：(1) 若平面和某個坐標軸平行，則可看作是平面和該坐標軸交點的坐標值為，法向量對應于該軸的坐標為 0.比如若和x軸平行(交點坐標值為)，和y軸、z軸交點坐標值分別為b、c，則平面法向量為n(0,1,-);若平面和x, y軸平行，b c1和z軸交點的坐標值為C，貝y平面法向量為n (0,0,-).c(

5、2) 若平面過坐標原點 O,則可適當平移平面.求法二：求出平面方程，得到法向量.我們先求過點P0(X0,y,Z0)及以n= A,B,C為法向量的平面的方程.設P(x,y,z)是平面上的動點，于是有 RP0，即 A(x x) B(y y) C(z z)0整理得 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0)0令 DAx By。Cz，有 Ax By Cz D 0這就是平面的一般方程平面的方程可用三元一次方程來表示.且x, y,z的系數(shù)組成該平面的法向量.注意：(1)有了平面的方程Ax By Cz D 0，就能得到平面的法向量 代B,C，可用平面內不共線的三點求出平面的方程.(2) 一些特殊情形的平

6、面，方程會更簡捷：通過原點的平面，D 0，方程為Ax By Cz 0;平行于x軸的平面， A 0，方程為By Cz D 0 ;通過x軸的平面，A 0, D 0,方程為By Cz 0;既平行于x軸又平行于y軸的平面，也就是一個平行于xoy坐標面的平面，方程為 Cz D 0 ；類似地,可討論其它特殊情形.兩平面：A,x B1y C1z D1 0與A2x B2y C2z D2 0平行的充要條件是求法三:用行列式求得法向量.X2,y2,Z2是平面內兩個不共線向量,計算行列式i j花y1X2y2ZiZ2=ai bj ck,則平面的法向量為na, b, c .考點2用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面

7、角用法向量求解二面角時遇到一個難題:二面角的取值范圍是0,而兩個向量的夾角取值范圍也是0,，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它 的補角如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過的那個角即可，但對二面角卻是個難題.筆者經過思考，總結出一個簡單可行的方法，供讀者參考用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一），兩個平面的法向量n1,n2則應分別垂直于該平面角的兩邊.易知，當同為逆時針 方向或同為順時針方向時，它們所夾的

8、解即為.所以，我們只需要沿著二面角棱 的方向觀察，選取旋轉方向相同的兩個法向量即可.或者可以通俗地理解，起點 在半平面上的法向量，如果指向另一個半平面，則稱為“向內”的方向；否則稱 為“向外”的方向.兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當且僅當這兩個法向 量方向一個“向內”，而另一個“向外”.圖對第二個問題，我們需要選取一個參照物在空間直角坐標系中，我們可以選 擇其中一個坐標軸（如 z軸），通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察 該法向量與xOy平面的關系，是自下而上穿過xOy平面呢，還是自上而下穿過xOy 平面若是第一種情形，則2與Oz所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標為正即可；若是第

9、二種情形，則n與Oz所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標為 負即可.若法向量與 xOy平面平行，則可以選取其它如 yOz平面、zOx平面觀察.（二）用半平面內的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點分別在兩個半平面內作棱的垂線，這樣構，起點成的角即為二面角的平面角.如果分別在兩個半平面內作兩個向量（如圖）在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾的角，與二面角的大小是相等 的.這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點是向量的方向已經固定，不必考 慮向量的不同方向給二面角大小帶來的影響.考點3 空間直線與空間平面的向量形式在平面解析幾何中，曲線上的動點可以用坐標表示，通過對變量的運算達到求

10、 值、證明的目的.在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點也可以用參數(shù)來表 示，通過對參數(shù)的運算，同樣可以達到求值、證明的目的.1.空間直線：如果丨為經過已知點 A且方向向量為a的直線，那么點P在直 線丨上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式aP t?，或對任一點0（通常取坐標原 點），有這是空間直線的向量形式.2.空間平面：空間一點P位于平面MAB的充要條件是存在有序實數(shù)對 s、t，mP sMA tMB或對空間任一定點0（通常取坐標原點），有這是空間平面的向量形式.四、例題精析【例題1】如圖，在四棱錐S ABCDK底面ABC為正方形，側棱SDL底面ABCDE、F分別是AB SC的中點。(I )求證

11、：EF/平面SAD(II)設SD= 2CD求二面角 A EF- D的大??；【解析】(1)如圖，建立空間直角坐標系 D xyz .設 A(a,O,O), S(0,0, b)，則 B(a, a,0), C(0, a,0),la Lab 弓 cbE a, ,0 , F 0, , , EFa,2 2 2 2取SD的中點G0,0,，則a,0，beFAg, EF / AG, AG平面SAD, EF平面SAD ,所以EF /平面SAD .11(2)不妨設 A(1 ,0 ,0),則 B(1,1,0,C(0,1,0,S(0 ,0 ,2,E1 , ,0, F0,，1.22平面AEFG x軸、z軸的交點分別為A(1

12、,0,0) 、G0,0,1),與y軸無交點，則法向量n (1,0,1),在CD延長線上取點 H,使DHh AE則DH/ AE所以AH/ED由(1)可知AG/ EF,所以平面 AH/平面EFD平面 AHG與 x軸、y軸、z二面角A El D的大小為，則號，即二面角A- EF- D的大小為昨0丐【例題2】 已知四棱錐PABCD勺底面為直角梯形，AB/ DC/ DA4 90，PA!底1面ABCD且吩心DC= -AB = 1, M PB的中點.(1)求二面角CAMB勺大小;(2)求二面角AMCB勺大小.【解析】如圖建立空間直角坐標系，則對二面角 CAM而言，AD是平面AMB勺法向量(向內)，易知平面A

13、C船合“向外”方向的法向量是自下而上穿過xOy平面,所以與匕Z所夾的角是銳角對二面角AMC而言，平面ACM選取上述法向量，則 為“向外”的方向，平面BCM就應選取“向內”的方向， 此時是自上而下穿過 xOy平面，與z軸正向所夾的角是鈍角.(1)如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，則平面AMB勺法向量為厲=(1,0,0), 設平面ACM勺法向量為n2 = (x,y,z).1由已知 C( 1, 1, 0),P(0, 0,1),B(0, 2, 0)，則 MO, 1,2),mAMx y 0,1 取 y= 1，則 x = 1, z= 2, y z 0.21J6 n2=(1, 1

14、,2).(滿足 Azo)設二面角CAMB勺大小為，貝9 cos =所求二面角的大小為 arccos-6.6(2)選取(1)中平面ACM勺法向量n2 = (1, 1, 2)，設平面BCM勺法向量為= ( x, y, z).tt1Q a 獸 T nn由取 z = 2,則 y = 1, x = 1, n3 = ( 1,2)，則n2, ni所夾的角大小即為二面角 A MC B的大小，設為，cos =-1,3所求二面角的大小為3BC = (1, 1, 0), BM = (0, 1,2),【例題3】 如圖，已知長方體 ABC ABCD中，AB= BO 1, AA = 2, E是BB 的中點.(1) 求二面

15、角E AC B的大??；(2) 求二面角C AE- B的大小.【解析】在第(1)題中，只需在AG上找到兩點G H使得t；3B、Se均與二AC*垂直，則 GB、 HE的夾角即為所求二面角的大小. 如何確定G H的位置呢可設 GA AC?，GB gA AB AC； AB，這樣向量GB就用參數(shù)表示出來了，再 由Gb AG = 0求出 的值，貝y向量Gb即可確定，同理可定出 H點.第(2) 題方法類似.以B為坐標原點，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標系，則B(0,0,0),A(0,1,0),G(1,0,0),B(0,0,2), C(1,0,2),E(0,0,1)AG-1,2),AB = (0,-

16、1, 0).(1)設 GAAC1 ( , ,2 )，則解得:Gb+ ( + 1) + 4 = 0,15 16, 6, 3圖六同理可得：he =(2, 1,0)，he0.GB、HE的夾角等于二面角 E- AG B的平面角.cos =GGB HEhE 6GB2HE6GB .2HE v302二面角E AG B的大小為arccos .5(2) AE = (0, 1, 1),M N,設在AE上取點圖It則mA(o,i,),由節(jié)MB AE = 0 得：+ 1+= 0 ,解得：=MB(0,12、 , 1 1 同理可求得：NG = ( 1, , ), NG AE = 0.2 2Mb、NG的夾角等于二面角 G

17、AE- B的平面角.cosv MB,NQ 1 1一4 43二面角G AE- B的大小為arccos ( ).3五、課堂運用【基礎】1 .在空間直角坐標系 Axyz 中，已知 A(2 , 0, 0) , B(2 , 2, 0) , C(0 , 2, 0), D(1，1, /2).若S, S2, S3分別是三棱錐 D- ABC在 xOy yOz zOx坐標平面上 的正投影圖形的面積，則()A. S= S2 = S3B. S2 = S且 S2m S3C. S = S 且 S3 豐 S2D. S = S2 且 S 工 S【解析】設頂點D在三個坐標平面xOy yOz、zOx上的正投影分別為 D、D、D,

18、 則AD= BD=2, AB= 2,S = 22X2= 2, S = SOCD= 22XJ2 = 2, S3= SOAD= 22X2 = 2.選 D.【答案】D2 .求過點MJ2O1), M 2 (1,1,0), M3(0,1,1)的平面的法向量.【解析】 方法一：由給定平面上的三個點的坐標，可知平面上的兩個向量M1M21,1, 1 , M1M32,1,0 ,設平面的法向量為nx,y,z，由M 1M 2M 1M 3x y z 02x y 0令x 1，得平面的一個法向量n 1,2,1 .方法二設過點 M1(2,0,1) , M2 (1,1,0) , M3 (0,1,1)的平面的方程為Ax By

19、Cz D 0 ,2A C D0AD代入點的坐標，得ABD0 ，解之 B2D3BCD0DC3D 2DDx y z D2 33所以平面的方程為x 2y z 3 0，所以平面的一個法向量n1,2,1 .方法三：由給定平面上的三個點的坐標，可知平面上的兩個向量MM21,1, 1，MM32,1,0，1 j k因為這兩個向量不平行，計算1 11 i 2j k .故所求平面的一個2 1 0法向量 n 1,2,1 .3.已知正方體AC1的棱長為a， E是CC1的中點，0是對角線BD1的中點，（1）求證：0E是異面直線CC1和BD1的公垂線；（2）求異面直線CC1和BD1的距離.【解析】（1）解法一：延長E0交

20、A,A于F，則F為A1A的中點，二EF/AC，T CC1 AC，二 C1C EF，連結 D1E, BE，貝U D1E BE，又O是BD1的中點，二OE BD1，二OE是異面直線CC1和BD1的公垂線.解法二：以D為原點，分別以DA, DC,DD1為x軸、y軸、Z軸建立空間直角坐 標系，a a aa于是有 D1(0,0,a),C(0,a,0),C1(0,a,a),B(a,a,0),0(?,22),E(0,a,?)，BD1( a, a, a)，CC (0,0, a)，EO (|, |,0)，BD1 EO 0，CG EO 0，所以OE是異面直線 CG和BD1的公垂線.（2）由（1）知，OE為異面直線

21、CG和BD,的距離.所以OE EOa2a2.2a4 4【鞏固】 1.已知正方體ABCD Ai Bi C iDi的棱長為a，求Bi C與BD間的距離.【解析】解法一：（轉化為BiC到過BD且與BiC平行的平面的距離）A,DA D BiCB i C A DB AC i AC BD AC i AD AC i A DB AC iA DB AiO C CE AOCE BiCADB BiC BD AiOC OC AA -CE AO CE 2 22 BiC BD3DA,DC,DDiE(x, y,z)z A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0) Bi (a, a,a), A(a,0, a), D

22、(0,0,0) CAE AD ABADB CEAiDB(xa,y,za) ( a,0, a)(0,a,a)cE(x, y(x, y2,z)(2,z)(a,0, a) 0a,0)0a,CE(3a,i3a,CEBiCBDBiC BDOOiOiBiC,O BDO(x, y,z)IDoBD(x, y, z)(a, a,0)0(a,a,0)0i( a,a,a)00i()a,a a,a)OOi BD,00i BC 00 BD023,Ooi1 . ,3a,3a,3a)|OOi|ai C( i )證明：AG丄AB; 3C的大小.設直線AA與平面BCGBi的距離為J3,求二面角A - AB-【解析】 方法一：

23、證明：因為 AD丄平面ABC AD平面AACC,故平面 AACC丄平面ABC又BCL AC 所以BC!平面AACC.連接AQ,因為側面 AACC為菱形，故 ACL AC.由三垂線定理得 ACL AB.(2) BCL平面AACC, BC平面BCGB，故平面 AACC丄平面BCGB.作AiELCG, E為垂足，則 AEL平面BCCB.又直線AA/平面BCCB，因而AE為直線AA與平面BCCB的距離，即AE=3.因為AiC為/ ACC的平分線，所以 AD= AE=3.作DFLAB F為垂足，連接AF.由三垂線定理得 AiFL AB故/ AiFD為二面角A - AB- C的平面角.由 AD= AA A

24、iD= 1,得 D為 AC中點，5 A D iDF=%，tan / AFD=t；f=寸i5，所以 cos / AFD=：.5DF *4i所以二面角 A - AB- C的大小為arccos ;.4方法二：以C為坐標原點，射線 CA為x軸的正半軸，以CB的長為單位長， 建立如圖所示的空間直角坐標系C- xyz.由題設知AD與z軸平行，z軸在平面AACC 內.(1) 證明：設 Ai(a，0，c).由題設有 a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，則 AB= ( 2， 1， 0) ， AG= ( 2， 0， 0) ， AA= (a 2， 0， c) ， AC=AC AA= (a 4，0， c)， B

25、A=(a， 1， c).由 |AX i| = 2，得(a 2) 2+ c2 = 2，即卩 a2 4a + c2 = 0.又AC BA = a2 4a + c2= 0,所以 ACLAB(2) 設平面 BC(B 的法向量 m= (x, y, z)，貝U mLCB mLBB,即卩 m- CB= 0, m* BB= 0.因為 CB= (0 , 1, 0) , BB= AA = (a 2, 0, c)，所以 y = 0 且(a 2) x+ cz = 0.令 x = c,則 z = 2-a,所以 vm= (c, 0, 2- a),故點 A到平面 BCCi 的距離為 | CA |cos mrC| = CA-

26、L =2c丨 mJc2+( 2-a) 2=c.又依題設，A到平面BCCB的距離為3,所以3,代入，解得a = 3(舍去)或a= 1,于是AA= ( 1, 0,3).設平面ABA的法向量n= (p, q, r),則 n丄AA, n丄AB,即 n AA= 0, n Afe= 0, p+ 3r = 0,且一2p+ q= 0.令 p= 3,則 q= 2 3, r = 1,所以 n = ( 3, 2 3, 1).又p= (0 , 0, 1)為平面ABC的法向量，故n p 1cosn, p=；.丨 n| p|41所以二面角 A - AB- C的大小為arccos ;.4【拔高】1 .如圖，已知ABCD邊長

27、是4的正方形，E、F分別是AB AD的中點，GC垂則 E(2,4,0),【解析】分別以Cd、Cb Cg為x、y、z軸建立空間直角坐標系,飛F = (2, - 2,0),Teg = ( - 2, - 4,2),設P是平面EFG上的動點，貝9存在實數(shù)s,t,使得4 =匕E + s飛F + t飛G=(2,4,0)+ s(2, - 2,0)+ t( -2, -4,2)=(2 s 2t + 2, 4 2s 4t, 2 t), P(2s 2t + 2, 4 2s 4t, 2 t), 飛P = (2 s-2t + 2, 2s- 4t, 2 t).當且僅當BPL EF且BP丄EG時，BP丄平面EFG BP即為

28、所求的點 B到平面EFG丄Tbp Tef= 0由ttBP EG= 0的距離.2(2 s-21 +2) 2(-2 s-41 )=0-2(2 s-21 +2) 4(-2 s-4t) + 4 t =0711211Tbp11 ),點B到平面EFG的距離即為| TbP|2 ； 1111解法二：因為平面EFG勺豎截距為2,可設平面EFG的方程為AxByZ 1 , 將 E(2,4,0),F(4,2,0)的坐標分別代入，得2A4B1A 1，解之6，所以平面EFG勺方程為x丿Z 14A2B1B 166 2點 B(0,4,0)到平面EFG勺距離為0 4 0 6 _ 2411119112.如圖，正三棱柱 ABO A

29、BC的所有棱長都為2, D為CG中點(I)求證：AB丄面ABD(U)求二面角A- AD- B的大?。?川)求點C到平面ABD的距離.【解析】(I)取BC中點O ,連結AO .； ABC為正三角形，AO丄BC .在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC丄平面BCC1B1,AO 平面 BCGB .取BG中點O1以O為原點,OB ,OO1OA的方向為x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A(0,2,，3)，A(0,0,，3)，B1(1,2,0)，AB1 (1,2, -.3) , BD ( 2,0),BA1 ( 1,2,，3) AB1 BD 2 + 2 + 0 0 , AB1 BA = 1 + 4 3 0 ,AB BD , ABiBA ,ABi丄平面A1BD (U)設P是直線AiD上的動點，由(I)可得 DA, (1,1, .3)，則存在t R,使得t i,、3、“3t)。Op OD tDA ( 1,1,0) t(1,1,、,3)(t 1,t 1,、,3t),