理論力學(xué)(周衍柏)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)

1、第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)v2.1 質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組v2.2 動量定理與動量守恒律動量定理與動量守恒律v2.3 動量定理與動量矩守恒律動量定理與動量矩守恒律v2.4 動能定理與機(jī)械能守恒定律動能定理與機(jī)械能守恒定律v2.5 兩體問題兩體問題v2.6 質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系v2.7 變質(zhì)量物體的運(yùn)動變質(zhì)量物體的運(yùn)動v2.8 位力定理位力定理2.1 2.1 質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組(1)(1)質(zhì)點(diǎn)組、內(nèi)力和外力質(zhì)點(diǎn)組、內(nèi)力和外力 我們把由許多（有限或無限）相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)所組成 的系統(tǒng)。 質(zhì)點(diǎn)組中質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。 質(zhì)點(diǎn)組以外的物體對質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)質(zhì) 點(diǎn)的作用力 。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組：內(nèi)內(nèi)

2、力力：外外 力：力： 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量可認(rèn)為集中在某一點(diǎn)上 ，這一點(diǎn)我們就叫做質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心。niiniiicmrmr11質(zhì)心定義為：質(zhì)心定義為：在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系質(zhì)量連續(xù)分布的體系質(zhì)量連續(xù)分布的體系在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系niiniiicmrmr11niiniiicmxmx11niiniiicmymy11niiniiicmzmz11 VVcmmxxdd VVcmmyydd VVcmmzzddVVcmmrrdd2.2 2.2 動量定理與動量守恒律動量定理與動量守恒律nieiFdtpd1)(動量定理動量定理或或?qū)懗煞至啃问綄懗煞至啃问劫|(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理dtFpdniei)(1

3、)(xnieixniixixFFvmdtddtdp1)(1)(ynieiyniiyiyFFvmdtddtdp1)(1)(znieizniizizFFvmdtddtdp1)(1)(cccnieiamtrmtvmF21)(dddd2分量式為：分量式為：zcycxcFzmFymFxm ,質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒定理質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒定理 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組不受外力或所受外力的矢量和為零，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組不受外力或所受外力的矢量和為零，如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定軸如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定軸(設(shè)為設(shè)為x軸軸)上的投影之和為零上的投影之和為零,為恒矢量,為恒矢量,001)(ccnieivvmppdtpdF)常數(shù)

4、(0011)(cmvvmPdtdPFcxniixixxnieix解：解：忽略空氣阻力，則人和重物所組成的質(zhì)點(diǎn)組 在水平方向的動量守恒。 設(shè)是人在拋擲重物過程中所增加的水平速度 ， 人對慣性參考系（地面）的水平速度為，物體 對慣性參考系（地面）的水平速度為 ，則0v u例例:一個重量為P的人,手拿一個重為Q的物體,以與 水平線成 角的速度 向前跳。當(dāng)他跳到最高 時，將物體以相對于他自己的速度 水平向后 拋出。問由于物體的后拋使人的跳遠(yuǎn)的距離增 加了多少？v設(shè)從最高點(diǎn)到落地的時間為t，則故，多跳的一段距離為uQPQvQuvQPuvVgQvVgPVgQP即：0)(由上式可得：)cos()cos(co

5、s水平動量守恒：000 xgVtsin0gQPQuVx)(sin02.32.3動量矩定理與動量矩守恒定律動量矩定理與動量矩守恒定律MdtJd對固定點(diǎn)的對固定點(diǎn)的動量矩定理動量矩定理 =dJ Mdt 微分形式在直角坐標(biāo)系的分量形式在直角坐標(biāo)系的分量形式質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組nieiyieiziniiiiiiFzFyyzzymdtd1)()(1nieizieixiniiiiiiFxFzzxxzmdtd1)()(1nieixieiyiniiiiiiFyFxxyyxmdtd1)()(1ozzoyyoxxMdtdJMdtdJMdtdJ,即2121ttJJMdt 其在直角坐標(biāo)系的分量形式212121212121tx

6、xoxttyyoyttzzoztJJMdtJJMdtJJMdt質(zhì)點(diǎn)組的動量矩的積分形式 1100,neeoxiiziiyiniiiiiiMy Fz Fmy zz yx即:J=常數(shù)如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定點(diǎn)的合力矩為零如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的諸外力在某一固定點(diǎn)的合力矩為零,即即如果，但對通過原點(diǎn)的某一標(biāo)軸(設(shè)為x軸)上的合力矩為零,則該方向動量矩守恒。動量矩守恒定律動量矩守恒定律對質(zhì)心的動量矩定理對質(zhì)心的動量矩定理2( )( )2ieiiiiicicd rmFFm rdtm r 式中為慣性力。 dJMdt 質(zhì)心系中的動量矩守恒定律質(zhì)心系中的動量矩守恒定律0MJ 若 則 常矢量質(zhì)點(diǎn)組的動能

7、定理質(zhì)點(diǎn)組的動能定理2.42.4動能定理與機(jī)械能守恒定律動能定理與機(jī)械能守恒定律ir 由由n個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組，其中任選一個質(zhì)量個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組，其中任選一個質(zhì)量mi為，位矢為為，位矢為 (對定點(diǎn)對定點(diǎn)o)的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)pi, 作用在該質(zhì)點(diǎn)上所有作用在該質(zhì)點(diǎn)上所有內(nèi)力和外力內(nèi)力和外力的矢量和的矢量和,分別為分別為 ,則則質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)動能的微分等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上外力及內(nèi)力所做元功之質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)動能的微分等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上外力及內(nèi)力所做元功之和和,即即 其中其中, 是質(zhì)點(diǎn)的速度是質(zhì)點(diǎn)的速度, 則是它的位移。則是它的位移。 )()(,eiiiFFieiiiiiiirdFrdFdTrmd)

8、()(2)21(irdir對對i求和求和niieiniiiiniiirdFrdFrmd1)(1)(12)21(若用若用T表示質(zhì)點(diǎn)組的動能，則表示質(zhì)點(diǎn)組的動能，則niieiniiiirdFrdFdT1)(1)(注意注意 在動量定理和動量矩定理中，內(nèi)力均因相等相反而消去； 在質(zhì)點(diǎn)組動能定理中，內(nèi)力所作元功之 和一般不能互相抵消，即質(zhì)點(diǎn)組的動能并不一 定守恒； 對特殊的質(zhì)點(diǎn)組對剛體來說，內(nèi)力不作功，即內(nèi)力所作元功之和為零。 下面就讓我們對第二點(diǎn)進(jìn)行證明。 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的所有外力不做功及內(nèi)力都是保守力如果作用在質(zhì)點(diǎn)組上的所有外力不做功及內(nèi)力都是保守力（或其中只有保守

9、力作功）時，才機(jī)械能守恒。（或其中只有保守力作功）時，才機(jī)械能守恒。EVT2222ii11nnciciiimrm rmvm v 1111 T=或 T=2222ii10niicirpcm rmr 因是 相對于質(zhì)心 的位矢，故2i122ii11122ii11nicinnniciciiiinnciciiimrrm rm rrm rmrm rrm r 質(zhì)點(diǎn)組動能1 T=211 2211 22 柯尼希定理柯尼希定理22i1cniimrm r 1為質(zhì)心的動能。21為質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)心系運(yùn)動的動能。2質(zhì)點(diǎn)組的動能是以質(zhì)心為代表的平動 能與各質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的柯尼希定理：動能之和。對質(zhì)心的動能定理對質(zhì)心的動能定

10、理在在c-xyz中，對質(zhì)點(diǎn)中，對質(zhì)點(diǎn)mi應(yīng)用第二定律，得應(yīng)用第二定律，得 2( )( )222212ieiiiiiiiiiciiiiiiiiiiiidrd rmdrFdrFdrm rdrdtd rdrdrmdrmm d rd rdm rdtdtdt 用點(diǎn)乘等式兩邊，得 a2( )( )2eiiiiiicd rmFFm rdt 2( )( )1111i12nnnneiiiiiiiiciiiiidm rFdrFdrm rdr 對 a 式中的 進(jìn)行求和，得1110nnniciciici iiiim rdrrmdrr dmr 2( )( )11112nnneiiiiiiiiiidm rFdrFdr 質(zhì)

11、點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理 質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組相對于質(zhì)心系位質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組相對于質(zhì)心系位移時內(nèi)力及外力所作元功之和。移時內(nèi)力及外力所作元功之和。說明：因?yàn)檎f明：因?yàn)橘|(zhì)心可能具有加速度，質(zhì)心可能具有加速度，質(zhì)心參考系可能是非慣性參考系質(zhì)心參考系可能是非慣性參考系，但，但慣性力所作元功之和為零，因?yàn)閼T性力的矢量和通過慣性力所作元功之和為零，因?yàn)閼T性力的矢量和通過c點(diǎn)，位移為零。點(diǎn)，位移為零。2.5 2.5 兩體問題兩體問題兩體問題的含義兩體問題的含義 我們通常把僅受相互作用的內(nèi)力我們通常把僅受相互作用的內(nèi)力、不受任何其他外力作不受任何其他外力

12、作用的兩個質(zhì)點(diǎn)（物體）組成的系統(tǒng)，稱為兩體問題。（如太用的兩個質(zhì)點(diǎn)（物體）組成的系統(tǒng)，稱為兩體問題。（如太陽與一個行星，陽與一個行星， 粒子和原子核。）粒子和原子核。）a)(222rrrGMmdtrdMs兩體問題動力學(xué)方程及守恒量兩體問題動力學(xué)方程及守恒量太陽的運(yùn)動方程太陽的運(yùn)動方程 22Pd rGMm rmdtrr 而行星對同一坐標(biāo)系的運(yùn)動方程為 b 1SPc1c:MrmrMm rr.niiicniim xxm 由知 d 代表太陽S和行星P的質(zhì)心對同一坐標(biāo)系原點(diǎn)O的位矢(c)0)()()(22得：dtrmrMdbaps由上可知以下由上可知以下論斷論斷系統(tǒng)系統(tǒng)(P,S)的的質(zhì)心將按慣性運(yùn)動質(zhì)心

13、將按慣性運(yùn)動；太陽和行星都繞它們的質(zhì)心作圓錐圓錐運(yùn)動太陽和行星都繞它們的質(zhì)心作圓錐圓錐運(yùn)動. 對系統(tǒng)對系統(tǒng)(S,P)而言，萬有引力是內(nèi)力，故前者即可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)而言，萬有引力是內(nèi)力，故前者即可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動量守恒定律得出，而后者可從它們相對于質(zhì)心的動力學(xué)組的動量守恒定律得出，而后者可從它們相對于質(zhì)心的動力學(xué)方程得出方程得出.下面就讓我們給以證明下面就讓我們給以證明.(2.5.5)0)()() c (22得：由dtrdmMdc12,.,CrrP 由兩體系統(tǒng)特點(diǎn)可知質(zhì)心C必在S,P的聯(lián)線上如令CPCS則行星 對的動力學(xué)方程為 2112121()rk mmrrrr f 221122111()rk mMm

14、rMmrr g因?yàn)橐驗(yàn)?1Mrmr 則則 由上可知，力仍與距離的平方成反比，故由由上可知，力仍與距離的平方成反比，故由1.9，知行，知行星繞星繞 (S,P)系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動。（太陽的也是如此）系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動。（太陽的也是如此） 22,iPSrrrd rGMmrMmMmdtrr 但所以式 h 變?yōu)?22222M,j.Gm Mmd rrk m rmdtrrrrkG Mm消去得 式中 222,SPMamd rd rGMmrMmMmdtdtrr 現(xiàn)在就讓我們來求行星對太陽的相對運(yùn)動方程, b得 h 222kMmd rk m rMmdtrr 式 i 可變?yōu)?,111,1MMmmMmmm

15、mMM 這就是行星對太陽的動力學(xué)方程,并且仍然認(rèn)為太陽不動.太陽質(zhì)量仍為但行星的質(zhì)量則不等于而減小為 =或即為折合質(zhì)量. 開普勒第三定律的修正開普勒第三定律的修正321112132222222,:akG MmakG Mm322122a由式 =得k4 對行星P 4 對行星P 133121222122,1:1maaMmMmMmM兩式相除 得 l1122,1.,10471048, 1.1047PMmPMm 實(shí)際上太陽系中最大的行星 木星其質(zhì)量不過是太陽質(zhì)量的令 為木星為其他行星,則之比也不會超過與相差至微故開普勒第三定律雖是近似的,但近似程度極高.知識拓展知識拓展 沒有考慮行星間的相互吸沒有考慮行星

16、間的相互吸引屬于引屬于兩體問題兩體問題； 考慮任一行星還要受到其考慮任一行星還要受到其他行星的吸引則屬于他行星的吸引則屬于多體問題多體問題。而多體問題一般只能用微而多體問題一般只能用微擾的方法來近似求。擾的方法來近似求。2.6 2.6 質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系 質(zhì)心坐標(biāo)系：質(zhì)心坐標(biāo)系： 在隨著質(zhì)心運(yùn)動的坐標(biāo)系 中觀測。實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系：實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系：在靜止坐標(biāo)系中來觀察。實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系 兩種坐標(biāo)系中彈性散射的不同結(jié)果兩種坐標(biāo)系中彈性散射的不同結(jié)果兩種坐標(biāo)系中看到的彈性散射現(xiàn)象（如下圖）兩種坐標(biāo)系中看到的彈性散射現(xiàn)象（如下圖） 設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量

17、為 ，散射角在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中為r，在質(zhì)心系中為c，可由相對運(yùn)動速度的合成關(guān)系（見右圖）兩坐標(biāo)系中散射角的相互關(guān)系兩坐標(biāo)系中散射角的相互關(guān)系 21mm，11VVv相對速度牽連速度絕對速度 為了消去為了消去 ,并用質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量表示，并用質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量表示，可利用質(zhì)心的定義并以可利用質(zhì)心的定義并以r表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)2相對質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)點(diǎn)1的位置矢量，由的位置矢量，由 將它投影在水平方向與垂直方向?qū)⑺队霸谒椒较蚺c垂直方向, , 可求得可求得 ,11VVv相對速度牽連速度絕對速度VVVccrcossintan11VV、1rmV11rmV21 特例特例 （1）重核散射（如粒子散射）時 有 ; （2）等質(zhì)量粒子散

18、射（如質(zhì)子中子散射）時， 有 . 可得到用散射角r用質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量 表示的形式： 21mm，21mm 21cossintanmmccr21mm crcr212.7 2.7 變質(zhì)量物體的運(yùn)動變質(zhì)量物體的運(yùn)動變質(zhì)量物體的運(yùn)動變質(zhì)量物體的運(yùn)動 我們把質(zhì)量隨時間連續(xù)地變化的物體的我們把質(zhì)量隨時間連續(xù)地變化的物體的運(yùn)動稱為變質(zhì)量物體的運(yùn)動。運(yùn)動稱為變質(zhì)量物體的運(yùn)動。 m=m(t)變質(zhì)量物體的運(yùn)動的概念變質(zhì)量物體的運(yùn)動的概念變質(zhì)量物體的運(yùn)動的運(yùn)動方程變質(zhì)量物體的運(yùn)動的運(yùn)動方程tFumvmvvmm)(v,vvvvvvvt 忽略二階量 m除以并取極限 得m + mmvmmm mvmmvuvF t mmm由質(zhì)點(diǎn)的動量

19、定理：由質(zhì)點(diǎn)的動量定理：000vlimu limvlimFtttmmmttt 取極限 vvuFddmdmmdtdtdt vuFddmmdtdt即 各物理量的物理意義各物理量的物理意義 00dmdtdmdtdmdtb是 主 體 質(zhì) 量 隨 時 間 的 變 化 率 . ， 表 示 并 入 質(zhì) 量 . , 表 示 放 出 質(zhì) 量 .分出后一剎那的速度。合并以前或自未與代表微質(zhì)量mmmua )(2.8 2.8 位力定理位力定理2.8 位力定理位力定理由動量定理導(dǎo)出動量矩定理由動量定理導(dǎo)出動量矩定理動量定理FpdtdFrprdtdprprprdtddtddtd)(為零(2)(3)代入(1)就得到動量矩定理MJdtd其中(1)MFr(2)dtdJ(3)O/FFrF2.8 位力定理位力定理由動量定理導(dǎo)出動量矩定