word完整版勾股定理知識點(diǎn)與常見題型總結(jié)推薦文檔

1、勾股定理復(fù)習(xí)一.知識歸納1 .勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a , b，斜邊為c，那么2 勾股定理的證明，常見的是拼圖的方法 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理b2 c2常見方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4 2ab (b方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.2a)化簡可證.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c222ab大正方形面積為S (ab)2a2 2ab b2 所以 a2

2、 b2ba丄C2，化簡得證2方法三：S梯形-(a b)23 勾股定理的適用范圍：用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形4 勾股定理的應(yīng)用：勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問 題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線)，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.(a2 ab2勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,b) , S梯形2S ade S abe它只適已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊。

3、在ABC中， C 90 ，貝y cb2 , b忌a2 , aTc2b 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a , b , c滿足a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形, 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過其中c為斜邊。數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用 兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，時，以a , b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2 b2以a , b , c為

4、三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a, b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長 a ,b , c滿足那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三 角形6 勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 一組勾股數(shù)a2 b2c2中，a，b， c為正整數(shù)時，稱記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，女D 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ；7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示勾股數(shù)：n221,2n,n1 ( n 2

5、, n 為正整數(shù));22C2m n ,2mn,mn2 ( m n, m ,常見圖形:時,b2,n為正整數(shù))類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC中，/ C=90(1)已知 a=6, c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知2.已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為 .【變式】：如圖/ B=/ ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3則AB的長是多少？類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用1. 若一個三角形的邊長分別是12、16和20,則這個三角形最長邊上的高長是2. 如圖， ABC中，值為()A.8有一點(diǎn)P在AC上移動若B.8.8 C.9.8

6、AB=AC=5，BC=6，貝U AP+BP+CPD.10c=25， b=15，求 a.A3在 ABC 中，AB15, AC13 , BC邊上的高AD 12，貝y ABC的周長為(A、4232C、42 或 324. 等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為5. 等邊三角形的邊長為 2,求它的面積?！咀兪健浚?ABC 中，BC=a AC=b, AB=c,若/ C=90則 a2b2試猜想a2D、37 或 33 4，它的腰長為_，如圖1，根據(jù)勾股定理,2c。若 ABC不是直角三角形，如圖 2和3,請你類比勾股定理,cffl：b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1. 如圖，梯子A

7、B靠在墻上，梯子的底端A到墻根0的距離為2m，梯子的頂端現(xiàn)將梯子的底端 A向外移動到A，使梯子的底端 A到墻根O的距離等于 下降至B，那么BB().A.小于1mB.大于1mC.2. 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為 子外面的長度為hem，則h的取值范圍是A. hw 17cmB. h 8cmBL等于1m D.小于或等于 1m15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯 ( ).C. 15cm w hw 16cmD. 7cm w hw 16cm(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60方向走了 叩竝達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西

8、 30方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2)確定目的地 C在營地A的什么方向?！咀兪健恳惠v裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠,這輛卡車能否通過該工廠的廠門？如圖，公路 MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A處有一所中學(xué)，AP =160米，點(diǎn)A到公路 距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時， 周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響， 那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉 機(jī)的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？(二)用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電

9、費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊 A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個村莊聯(lián)CEhD的MNUQ A2黑一AnAC合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.【變式】1.如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.2.如圖1，長方體的長為12cm，寬為6cm,高為5cm，一只螞蟻沿側(cè)面從 A點(diǎn)向B點(diǎn)爬行,問：爬到B點(diǎn)時，螞蟻爬過的最短路程是多少?3.如圖壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下

10、底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從 背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲解題步驟歸納:1、標(biāo)已知，標(biāo)問題（邊長的問題一般有什么方法解決？），明確目標(biāo)在哪個直角三角形中, 設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)X；2、利用折疊，找全等。3、將已知邊和未知邊（用含X的代數(shù)式表示）轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理，列出方程,解方程，得解。類型四：利用勾股定理作長為龐的線段1、作長為J5、希、的線段。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示 /孑的點(diǎn)。類型五：勾股定理逆定理7、如

11、果 ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷 ABC的形狀。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，/ B=90，AB=3，BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD的面積?！咀兪?】已知： ABC的三邊分別為 m2 n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且mn）,判斷 ABC是否為直角三角【變式3】如圖正方形 ABCD, E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF* AB。請問FE與DE是否垂直？請說明。類型六：與勾股定理有關(guān)的圖形問題1如圖，是由四個大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若圖中大小正方形的面積分別為62.5和4，求直角三

12、角形兩直角邊的長。CBaDP(:2.如圖，直線I經(jīng)過正方形 ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A、C到直線I的距離分別是1、2,則正方 形的邊長是.3.在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形S1、S2S3、S4，則 S15S3S4 =類型七：關(guān)于圖形變換問題1.如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與AD相交于點(diǎn)F若AB=4,BC=6,求 FAC的周長和面積.2.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE 6cm，AB 16cm，求 BF 的長.3.如圖， ABC是直角三角形, 重

13、合，若AP=3,求PP的長。BC是斜邊，將 ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP勾股定理在旋轉(zhuǎn)中的運(yùn)用C例1、如圖1 , P是正三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且 PA=6 PB=8, PC=10,求/ APB的度數(shù)。練習(xí)：如圖：設(shè) P是等邊 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3 PB=4, PC=5貝UAPB的度數(shù)是PB=2 PC=3o求此正方例2 .如圖P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個頂點(diǎn) A B C的距離分別為 PA=1,形ABCD面積。代+5練習(xí)1正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,使得PA PB: PC=1: 2: 3，求/ APB的度數(shù)。.練習(xí)2:請閱讀下列材料：問題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)

14、有一點(diǎn)P,且PA=2 PB , PC=1求/ BPC度數(shù)的大小和等邊三 角形ABC的邊長.李明同學(xué)的思路是：將 BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）,連接PP，可得 P PC是等邊三角形，而PP A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以/ AP C=150 , 而/BPC/AP C=150，進(jìn)而求出等邊 ABC的邊長為許，問題得到解決.請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3,在正方形ABC吶有一點(diǎn)P,且PA磯 ，BP諂 , PC=1求/ BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD勺邊長.CC解：（1）如圖，將 BPG繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90,# BP A,貝yBPCA

15、 BP A.AP =PC=1 BP二BP M；連接PP，在Rt BP P中, BP 二BP = V5,Z PBP =90,.PP =2,/ BP P=45;在 AP P 中，AP 2+PP 2二AP P是直角三角形，即/ AP P=90,/AP B=135,aZ BPC/AP B=135.(2)過點(diǎn)B作BELAP，交AP的延長線于點(diǎn)E;./ EP B=45 EP =BE=1 AE=2 二在 Rt ABE中，由勾股定理，得 AB=S/ BPC=135，正方形邊長為.例 3.如圖(4-1 )，在 ABC中，ACB =90，BC=AC 卩為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=3,PB=1，PC=2o 求 BP

16、C的度數(shù)。練習(xí)1.如圖，在Rt ABC中，ABAC , D E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且/ DAE=45，將 ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到AFB，連接EF，下列結(jié)論：AED AEFABE ACD :BE DC DE ; BE2DC2DE2其中正確的是(B.； C .;D.;，由于PA,這樣,練習(xí)2:.閱讀下面材料，并解決問題：(1)、如圖(10)，等邊 ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3, 4，5則/ APB PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到 ACP處，此時 ACP也就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出/APB的

17、度數(shù).、請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖(11)， ABC中,/ CAB=90，AB=AC E、F為BC上的點(diǎn) 且/ EAF=45，求證：EuBE+fC .數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為 直角三角形問題來解決.1、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC, D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是 AC邊上的點(diǎn)，且 DEL DF，若BE=12，CF=5.求(1)線段EF的長。(2) DEF的面積?？偨Y(jié)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：AB、當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三n+2, n+3,求 n。5cm，求直角三角形的面積。F5 F角形中求解。（二）方程的思想方法1. 若直角三角形的三邊長分別是n+1,2. 直角三角形周長為12cm，斜邊長為【變式】1.如圖所示，折疊