燕博園2019屆高三綜合能力測試(CAT)(二)數(shù)學(xué)(文)試題(全國卷,精品解析)

1、燕博園 2019 屆高三年級(jí)綜合能力測試（CAT）（二）文科數(shù)學(xué)（全國卷）一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合 A 1,a, B x Z |1 x 1 ，若 A B，則實(shí)數(shù) a 的值為（）A 1B 0C 1D 0 或 12下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在其定義域上存在最大值的是（）xy x21B y x3Cy lg x1AD y23函數(shù) ysin(2 x) 相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心和一個(gè)對(duì)稱軸的距離是（）D與有關(guān)ABC42x4方程 log 22 x0 的根所在的一個(gè)區(qū)間是（）2A 1 , 1B 1 ,1C (1,2)D (2, 2

2、)4225 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c, a2 2, c 4, a cos Bb sin A ，則 b（） 4 8 23A 22BCD6已知直線 l 與正方體ABCDA B C D 的所有面所成的角都相等，且l 平面 BB D DH ，則l與平面111111BB1D1 D 所成角的正切值是（） 225A2BC2D7若某三棱錐的三視圖是三個(gè)腰長為2 的等腰直角三角形， 如圖所示， 則該三棱錐的外接球的表面積為（）A 123C 4D (33)B 28已知O : x2y24 y30 ，直線 l : yx ，若過直線 l 上的點(diǎn) P 所作的O 的兩條切線互相垂直，則點(diǎn)

3、P 的坐標(biāo)是（）1 1(0,0)或(2, 2)22或44A,2BC (1,1)D3,3,2339如圖是來自統(tǒng)計(jì)局的有關(guān)2013 2017 年我國的三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重的統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)于2013 2017 年該國的三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重的相關(guān)判斷錯(cuò)誤的是（）A 2013 年第三產(chǎn)業(yè)增加值約為第一產(chǎn)業(yè)增加值的5 倍B第一產(chǎn)業(yè)占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重在逐年減少C第三產(chǎn)業(yè)占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重最低的年份是2013 年第二產(chǎn)業(yè)在 2017 年的增加值比2015 年的增加值低Dexax (0,) ，都有 f ( x) 1，則 a 的取值范圍是（）10已知函數(shù) f ( x)，若對(duì)xA 1B

4、(,1C 2,)D (0,111古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如將一定數(shù)目的點(diǎn)在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)如圖所示，三角形數(shù)1， 3， 6，在 1 100 這 100 個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，恰好是三角形數(shù)的概率是（）A 13B 17C 1D 33100100410012已知離心率為 e，焦點(diǎn)為 F1, F2 的雙曲線 C 上一點(diǎn) P 滿足 sin PF1F2e sin PF2 F1 0 ，則雙曲線的離心率 e 的取值范圍為（）A (1, 2B (1, 3二、填空題：本題共4 小題，每小題13已知復(fù)數(shù)為 (1ai) 2b i ( a, b(1,

5、2D (1,1 2)C5 分，共 20分把答案填在題中的橫線上R ) ，則 abix 114已知實(shí)數(shù) x, y 滿足約束條件 xy 3 ，則 z2x y 的最小值為y x315已知 sin 21，則2 sin，且 044416等腰梯形 ABCD 中， AB / CD, AD4, BCD60 , P 是梯形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，則PA PBPCPD的最小值是三、解答題：共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60 分17（本小題滿分 12 分）2S2 (n 1,2,3, ) 各項(xiàng)均

6、不為零的數(shù)列an 前 n 項(xiàng)和為Sn，數(shù)列 na前n 項(xiàng)和為Tn，且 a2, Tn1nn（ 1）求 a2 的值；（ 2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式18（本小題滿分 12分）如圖，在四棱錐PABCD 中， BC 2, AD / BC, E 為棱 PA 的中點(diǎn)， BE / 平面 PCD PB AB2BE ，平面 PAB平面 PBC （ 1）求證：平面 ABCD 平面 PBC ；（ 2）若點(diǎn) F 在 PD 上，且 AFPD , AD BE ，求證： BF PC PFEBCAD19（本小題滿分12 分）2018 年 6 月 25 日，趕集網(wǎng)發(fā)布了2018年畢業(yè)生就業(yè)報(bào)告 ，2018 年全國高校畢業(yè)生人數(shù)

7、達(dá)到820 萬人，再創(chuàng)近 7 年畢業(yè)生人數(shù)新高中國高等教育發(fā)展實(shí)現(xiàn)了從精英教育到大眾化，用十年走過了其他國家三十年、五十年甚至是更長時(shí)間的道路下表是近7 年高校畢業(yè)人數(shù)（精確到十萬位）（數(shù)據(jù)來源：中商產(chǎn)業(yè)研究院整理）年份2012201320142015201620172018年份代號(hào) x1234567畢業(yè)人數(shù) y（百萬人）6.87.07.37.57.78.08.2（ 1）求 y 關(guān)于 x 的回歸方程（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；（ 2）利用所求回歸直線方程分析2012 年至 2018年全國高校畢業(yè)生人數(shù)的變化情況，并預(yù)測2023 年全國高校畢業(yè)生人數(shù)附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：n

8、?( xi x)( yiy)? i 1?ybn, abx(xi x ) 2i 120（本小題滿分 12 分）經(jīng)過拋物線 C：y2mx 的焦點(diǎn) F 作斜率為 k1 的直線，分別交拋物線C 于點(diǎn) A、B ，點(diǎn) P(1,2)在拋物線 C 上，直線 l 經(jīng)過線段 AB的中點(diǎn) M 與點(diǎn) P （ 1）求拋物線C 的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）作斜率為 k2 的直線 m 交拋物線于 C、D ，若 k1 k2 1 ，直線 l 經(jīng)過線段 CD 的中點(diǎn) N ，求證：直線 m 經(jīng)過定點(diǎn)21（本小題滿分12 分）已知函數(shù) f ( x) sin x ax1 x3 6（ 1）求函數(shù) f (x) 在點(diǎn) (0,f (0) 處的切線方程

9、；（ 2）若 f ( x) 存在極小值點(diǎn)x1 與極大值點(diǎn) x2 ，求證： x1 2a x2 2（二）選考題：共10 分請(qǐng)考生在第22、23 題中任選一題作答如果多做，則按所作的第一題計(jì)分22【選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 （本小題滿分10 分）已知點(diǎn) A(2,0) ，以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為cos1，點(diǎn)P 為曲線C 上的動(dòng)點(diǎn)（ 1）寫出點(diǎn) A 的極坐標(biāo)及曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；（ 2）當(dāng) APO 為最大值時(shí)，求 PAO 的外接圓的參數(shù)方程23【選修 4 5：不等式選講】 （本小題滿分 10 分）已知函數(shù)f (x)x2ax （ 1）當(dāng)

10、a1 時(shí)，求不等式（ 2）是否存在實(shí)數(shù)a ，使得f ( x) 2 的解集； x | f ( x) 2R？若存在，求出a 的值；若不存在，說明理由燕博園 2019 屆高三年級(jí)綜合能力測試（CAT）（二）文科數(shù)學(xué)（全國卷）參考答案1答案： B解析： A 1,a, B 0,AB, a0 2答案： D解析：選項(xiàng) A，D 為偶函數(shù)，選項(xiàng)B 為奇函數(shù)，選項(xiàng)C 的定義域?yàn)?(0,) ，是非奇非偶函數(shù)選項(xiàng) A， y x2 1，當(dāng) x0 時(shí)， y 取得最小值1，x0選項(xiàng) D，因?yàn)?x 0 ，所以 y1 11，即存在最大值1，故選 D223答案： C解析：函數(shù) ysin(2 x) 的周期 T，則其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中

11、心和一個(gè)對(duì)稱軸的距離是T44答案： B4解析： f (x)log 2x2x ，則 f1log 2 11310, f1log 2112 110 ，2482224f (1)1212 1 0 ，所以原方程的根所在的一個(gè)區(qū)間為1 ,1log 2225答案： A解析：由 a cosB b sin A 及正弦定理可得sin A cosBsin B sin A ，又因?yàn)?sin A0，所以 cosBsin B所以 B，由余弦定理得： b2a2c22ac cosB8162 22 428,b 22 426答案： B解析：因?yàn)橹本€ l 與正方體 ABCDA1B1C1D1 的所有面所成的角都相等，所以直線 l沿著正

12、方體體對(duì)角線的方向，不妨設(shè) l 為 A1C ，則 H 為平面 BB1D1D 的中心， 連接 A1C1 ， AC1 1B1D1O1 ，易證得： A1C1平面 BB1D1D ，所以A1 HO1即為 l與平面 BB1 D1D 所成的角，tan A1HO1A1O12 O1HD1C1O1A1B1HDC7答案： A解析：該三棱錐的直觀圖如圖所示，可將其還原成一個(gè)棱長為2 的正方體，三棱錐的外接球即為正方體的外接球，外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，所以2R23, R3 ，外接球的表面積S 4 R2128答案： C解析：O 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2( y2) 21，圓心為 (0, 2)，半徑 r1 ，過點(diǎn) P 所作

13、的O 的兩條切線互相垂直，所以點(diǎn) P 與圓心的距離為2r2 ，因?yàn)辄c(diǎn) P 在直線 yx 上，所以可設(shè)P(t ,t ) ，所以t 2(t2) 22 ，所以 (t1)20, t1，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (1,1)9答案： D解析：第二產(chǎn)業(yè)在2017 年的增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重比 2015 年的增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重低。10答案： B解析：x(0,) ， f (x)exa 1 ，即 exa x, ex ax 0 ，設(shè) g( x)ex ax ，則 g (x)ex a1 ，當(dāng) a 0xe a 1 恒成立，滿足時(shí)，則 g ( x)0 恒成立，所以g( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增，所以g( x)g

14、(0)題意；當(dāng) a0，令 g ( x)0，得 xa，當(dāng)0 xa 時(shí)，g ( x)0, g( x) 單調(diào)遞減， 當(dāng) xa 時(shí)， g (x) 0, g( x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x a 時(shí)， g( x) 取得最小值 g( x)ming (a)1a ，由題意可得 1a 0 ，解得 a 1，即0a 1，綜上可知， a 的取值范圍是 (,1 11答案： A解析：三角形數(shù)12 3nn(n1)，當(dāng) n 13時(shí)，n( n1)91 ，當(dāng) nn(n 1)105 ，所以2214 時(shí)，所求概率為 13 210012答案： D解析：在 PF1F2 中，由正弦定理可得PF2sinPF1 F2，所以PF2e ，PF1sinPF

15、2 F1PF1因?yàn)镻F22aPF12a1，所以當(dāng)點(diǎn) P 為雙曲線的左頂點(diǎn)( a,0) 時(shí)， PF1取得最小值，PF2取得最PF1PF1PF1PF1大值 cae1 ，所以 e1e，整理得 e22e10，cae1e1解得 12e12 ，又因?yàn)?e1，所以 e (1,12) 13答案：1342a1y解析： 1a22aibi ，所以1ab2，2a1b34A13所以 abia2b214答案：64C ABC ，x解析：作可行域?yàn)槿鐖D所示的Ox y3Bx1其中 A(1,2), B(1,2), C (3,0) ，則 zA0, zB4, zC6 ，所以 zminzC6 15答案：32解析：2 sin42sinc

16、oscossin4sincos，4(sincos)212sincos1sin 23，又因?yàn)?04，所以 sincos，4所以 sincos312216答案：解析：解法1 ：取 AB 中點(diǎn) M ， CD 中點(diǎn) N ， MN2 3則 PAPB 2PM , PCPD2PN ，所以PAPBPCPD4PMPN ，當(dāng)點(diǎn) P 為 MN 的中點(diǎn)時(shí)， PMPN 取得最小值3，故PAPBPCPD 的最小值是12 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)ABt ，則 A(2, 23), B(t2, 23) ，C (4t,0), D (0,0) ，設(shè) P( x, y) ，則 PAPBPCPD(2 xt4,2

17、y4 3)(2 xt4,2 y)t2t3 ，即 P t4 x24( y3) 212 ，當(dāng) x2, y2,3 時(shí)， PAPBPC PD 取得222最小值12yAMBABPSn2 ( n2a22a2 )217（ 12 分）解 :（）因?yàn)閍12， Tn1,2,3,) ，所以4(2. 2 分所以 a2DNC4 分 Cx4 ，或 a20 （舍） .D（）因?yàn)門nSn2 ( n 1,2,3,) ，所以Tn 1Sn21(n2,3,) 所以 nan2( SnSn1 )an 6 分an0 ，所以nanSnSnn( Sn Sn 1 ) 所以Snn11(n 2) 8 分因?yàn)?nSn1所以Snn1nn143S1n(n

18、1)(n2), 9 分n1 n2 n321當(dāng) n1時(shí)，上式也成立所以anSnSn 12n(n1) 11 分當(dāng) n1時(shí)，上式也成立，所以an2n 12 分18（ 12 分）（）證明：因?yàn)镻BAB2BE ， E 為棱 PA 的中點(diǎn)，所以 APBE ，且ABE4，所以 ABBP ，2 分又因?yàn)槠矫?PAB平面 PBC ，平面 PAB平面 PBCPB ，所以 AB平面 PBC ，4 分又因?yàn)?AB平面 ABCD ， 所以平面 ABCD平面 PBC ； 5 分（）經(jīng)過點(diǎn) E 作 EM / AD 交 PD 于點(diǎn) M ，連接 CM ，因?yàn)?BE / 平面 PCD , BE平面 BCME ，平面 PCD平面

19、BCMEMC ，所以 BE / MC ，因?yàn)?APBE ， ADBE ， ADAPA ,所以 BE平面 PAD . 因?yàn)?BE / / MC ，6 分所以 MC平面 PAD. 因?yàn)?AF平面 PAD ，所以 MCAF . 7 分又因?yàn)?AFPD ， PDMCM , 所以 AF平面 PCD ，因?yàn)?PC平面 PCD .所以 PCAF .9 分由（）知，AB平面 PBC ，又因?yàn)?PC平面 PBC ，所以 ABPC .又因?yàn)?PCAF ， ABAFA , 所以 PC平面 ABF . 11 分又因?yàn)?BF平面 ABF ，所以 BFPC . 12 分PFEMBCAD19（ 12 分）解：（） x4 ，

20、 y6.87.07.37.57.78.08.27.5 ， 2 分77( xix )( yiy)i 1(14)(6.87.5)(24)(7.07.5)347.37.5447.57.5547.77.5648.07.5748.27.56.64 分7x )2( xi94114928 ， 5 分i 17i1( xix)( yiy)0.24 ?7.50.24 4 6.547所以，(xix) 2i 1則 y 關(guān)于xy 0.24x6.54；7 分的回歸直線方程是 ?（）因?yàn)?0.240，b所以 2012-2018年全國高校畢業(yè)生人數(shù)逐年增加，平均每年大約增加24 萬人， 10 分將 2023年的年份代號(hào)x12

21、 代入回歸方程得 y9.42 ，可預(yù)測2023 年全國高校畢業(yè)生人數(shù)大約是942 萬人 . 12 分20解：（）點(diǎn) P(1,2) 在拋物線 C : y2mx 上，所以 m 4，所以拋物線 C 的方程為 y24x；2 分所以拋物線 C 的焦點(diǎn) F 坐標(biāo)為 (1,0) ；4 分（）由題意可知直線l 不與 x 軸垂直，設(shè)直線l 為 y2k( x1) ，直線AB為 yk ( x1) ，A(x , y ), B(x2, y2) 設(shè)直線 m 為 ykxb ， C ( x , y), D ( x , y) 11123344將 yk1 (x1) 代入方程 y24x ，得 k1 y24 y 4k10 可得0 ，

22、y1y24， x1 x2y11y2142 ，6 分k1k1k1k12所以線段 AB 的中點(diǎn)M ( 221, 2 ) ，代入直線 l 的方程 y2 k (x1) ，k1k1得 kk1k12k1k2 ，7 分將 yk2 xb代入方程2，得k y24 y4b0 可得，可得 y3y44y4x0.2k2可得點(diǎn) N 的縱坐標(biāo) yN2代入方程 yk2 x2bk2k2b ，可得 xN2，k2因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過線段 CD 的中點(diǎn) N ，將點(diǎn) N2bk2, 2代入直線 l 的方程 y2k( x 1)，k22k222k(2 bk21) ，因?yàn)?kk1k2，9 分得2k2k2可化為 k22bk20 可得 bk2 ，所

23、以直線 m 為 y k2 x k2 . 11 分所以直線 m 經(jīng)過定點(diǎn)(1,0) . 12 分21 （） 解： f (0)0, f( x)cos xa1 x2 2 分2f (0) 1a ，所以函數(shù)f (x) 在點(diǎn) (0,f (0) 處的切線方程為y(1 a) x ； 4 分（） 設(shè) g(x)f( x) ，則 g ( x)xsin x ，設(shè) h( x)g (x) ，則 h (x)1 cos x 0，所以 h( x) 在 (,) 上單調(diào)遞增又因?yàn)閔(0)0 ，所以 在 0,) 上， h( x) 0 ，即 g (x) 0，所以 g( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增6 分當(dāng) a 1時(shí)， g (0)1a 0， 所以 在 0,) 上， g ( x) 0，即 f (x) 0 ，所以函數(shù) f (x) 在 0,) 上 是單調(diào)增函數(shù) 又 f ( x) 是奇函數(shù)，所以函數(shù) f ( x) 在 (,) 上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；7 分當(dāng) a1 時(shí)， g(0)1a0，g( a1)cos(a1)a1 (a 1)2cos(a1)1 (a21)cos(a 1) 1 022又因?yàn)楹瘮?shù)g(x) 在 0,) 上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)f ( x) 在 0,) 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x1(0, a 1)x(0, x1 )x1( x1 ,)f ( x)0f ( x