《探索勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、精品教學(xué)教案探索勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)課標(biāo)解讀:2011 年新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng).”引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程 獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).” 教材分析:勾股定理 是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形兩銳角的性質(zhì)之后提出來的另一條性質(zhì)它揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系, 勾通了形與數(shù)的聯(lián)系， 是后面學(xué)習(xí)解直角三角形的重要依據(jù)；勾股定理在生產(chǎn)與生活中應(yīng)

2、用廣泛；再者，中國古代學(xué)者對(duì)勾股定理的研究有很多重要成就，對(duì)勾股定理的證明采用了很多方法，對(duì)后世影響很大，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛 國主義教育的好素材，因此勾股定理是幾何學(xué)中非常重要的定理 學(xué)情分析:初二學(xué)生已具備一定的分析和歸納能力，對(duì)于勾股定理的得出，需要學(xué)生通過動(dòng)手操 作，在觀察的基礎(chǔ)上，大膽地猜想數(shù)學(xué)結(jié)論 .但對(duì)用割補(bǔ)法和面積法計(jì)算、驗(yàn)證幾何命題還 有一定困難，因此在教學(xué)中需加強(qiáng)學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、合作交流等能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)猜想、歸 納、推理、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的理解 教學(xué)目標(biāo): 1.在經(jīng)歷勾股定理探索的過程中，逐步發(fā)展自身的合情推理能力，進(jìn)一步用心體會(huì)數(shù)形結(jié) 合思想.充分發(fā)揮自主探索精神，在小組合作中

3、積極參與討論，與他人分工、團(tuán)結(jié)、合作2.掌握勾股定理，了解利用拼圖勾股驗(yàn)證勾股定理的方法，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理解決一些簡 單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.通過問題的解決，逐步體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)自信心, 產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的更大興趣 3.在閱讀參考資料的過程中，了解了古今中外在勾股定理研究方面取得的偉大成就，慢慢 體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值，感受數(shù)學(xué)文化 教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的探索及簡單應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的證明 教學(xué)方法： 本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，由淺入深，由特殊到一般地提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生采用觀察分析、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程學(xué)法指導(dǎo)：采用自主探索、小組合作交

4、流的學(xué)習(xí)方式評(píng)價(jià)設(shè)計(jì):1-2號(hào)學(xué)生回答問題獎(jiǎng)勵(lì)組內(nèi)1顆星，3-4號(hào)學(xué)號(hào)學(xué)生回答問題獎(jiǎng)勵(lì)組內(nèi)2顆星，5-6號(hào)學(xué)生回答問題獎(jiǎng)勵(lì)組內(nèi) 3顆星.能夠提出有價(jià)值的問題的小組，加2顆星，一般問題加 1顆星.前三名為明星小組，每組前三名為明星組員教學(xué)程序:環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課如圖：這是某學(xué)校平面圖的一部分，A處是教學(xué)樓，B處是學(xué)生食堂,從教學(xué)樓到食堂有一條路ACB但一些不守紀(jì)律的同學(xué)經(jīng)常從在教學(xué)樓與食堂之間一塊長80米、寬60米的長方形草坪上抄近路，結(jié)果草坪被踏出了一條斜路， 你怎么看待這些同學(xué)的行為？你認(rèn)為走斜路比直路能少走多少米?這是我們生活中經(jīng)常遇到的實(shí)際問題，那么將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題它又是已知什

5、么求什么的問題呢?已知直角三角形的兩邊，如何求第三邊，這就是我們今天要共同探索的問題直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的生活情景入手， 構(gòu)造現(xiàn)有知識(shí)不足以解決的問題，形成知識(shí)沖突,讓學(xué)生感受到探索本節(jié)知識(shí)的必要性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.同時(shí)借助這個(gè)情境對(duì)學(xué)生進(jìn)行社會(huì)公德教育，使學(xué)生能夠明辨是非，更加規(guī)范自己的行為，養(yǎng)成良好品德標(biāo)準(zhǔn)指出：“要讓學(xué)生在生動(dòng)具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”“要讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)” “要選擇具有現(xiàn)實(shí)性和趣味性的素材作為學(xué)習(xí)的背景等.好奇心、求知欲是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力.在教學(xué)中選擇聯(lián)系學(xué)生生活的、學(xué)生關(guān)注的、感興趣的素材作為認(rèn)識(shí)的背景，激發(fā)學(xué)生的求

6、知欲，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.】 環(huán)節(jié)二：合作探究，發(fā)現(xiàn)新知活動(dòng)一地磚里的秘密在2500年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就已經(jīng)對(duì)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系有了明確的結(jié)論并給予了證明，相傳他對(duì)三角形三邊關(guān)系的發(fā)現(xiàn)竟然是從地磚中得到的, 在就讓我們一同回到 2500年前，體驗(yàn)一下畢達(dá)哥拉斯的經(jīng)歷:【設(shè)計(jì)意圖：通過講述故事來進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最 佳狀態(tài).通過故事也使學(xué)生明白：科學(xué)家的偉大成就多數(shù)都是在看似平淡無奇的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)】和研究出來的；生活中處處有數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)觀察、思考，將學(xué)習(xí)與生活緊密結(jié)合起來問題1、地磚是由全等的直角三角形拼接而成的，每個(gè)直角三角形都相鄰三

7、個(gè)正方形，這三 個(gè)正方形面積間有怎樣的關(guān)系呢？你是怎么看出來的?問題2、如果用直角三角形三邊長來分別表示這三個(gè)正方形的面積，又將反映三邊怎樣的數(shù) 量關(guān)系?A+ B= C等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)地磚中圖形的探索， 培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)生活中現(xiàn)象的能力,面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三邊之間數(shù)量關(guān)系,讓學(xué)生體驗(yàn)“面積法”在幾何證明中的作用，為探索一般直角三角形三邊關(guān)系提供了方法線索.】活動(dòng)二探究猜想驗(yàn)證1.等腰直角三角形三邊滿足上述關(guān)系，那么一般直角三角形呢？下面我們借助網(wǎng)格進(jìn) 行探索（每個(gè)小格代表一個(gè)單位面積）IIF/ :RPI| 1DrEQ問題1.請(qǐng)分別

8、求出三個(gè)正方形的面積分別是幾個(gè)單位面積問題2.你能發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形的面積間有怎樣的關(guān)系嗎?問題3.由此你能發(fā)現(xiàn)直角邊長為3和4的直角三角形的三邊具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組合作探究，共同交流，小組代表發(fā)言，全班集體交流，后多媒體展示.用數(shù)學(xué)語言表述你的猜想：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【設(shè)計(jì)意圖：由等腰三角形到一般直角三角形，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在探索的過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)畢達(dá)哥拉斯的面積法，也再次位猜想提供了有力的證據(jù);不僅如此，正方形C面積的計(jì)算方法已經(jīng)體現(xiàn)了“割”和“補(bǔ)”“拼”的思想，這位下一步應(yīng)用面積僅行一般化證明做好了鋪墊.通過小組合作培

9、養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神；通過探究活動(dòng)來培養(yǎng)頑強(qiáng)刻苦、戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)；完善學(xué)生的人格品質(zhì).引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用特殊和一般的對(duì)立統(tǒng)一、茅盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去分析問題、解決問題，深透辨證唯物主義觀點(diǎn)2.動(dòng)手實(shí)踐:(1 )畫圖：每個(gè)小組1號(hào)、3號(hào)同學(xué)畫兩直角邊長分別為 6cm和8cm的直角三角形，2號(hào)、4號(hào)同學(xué)畫兩直角邊長分別為5cm和12cm的直角三角形,(2)測量：請(qǐng)用刻度尺量出斜邊的長(3)計(jì)算驗(yàn)證：三邊長度是否滿足上述關(guān)系綜合上述結(jié)果，你能用文字語言敘述這一結(jié)論嗎?屏幕展示：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方這一活動(dòng)學(xué)生先獨(dú)立畫圖驗(yàn)證探究得到的結(jié)論，然后同桌交流，組長評(píng)閱【設(shè)計(jì)意圖：標(biāo)準(zhǔn)把“

10、雙基”變?yōu)椤八幕?，?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就是新增的內(nèi)容之一,本環(huán)節(jié)使學(xué)生有了參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中有了一定的感性認(rèn)識(shí)、情緒體驗(yàn)和觀念意識(shí).】3.幾何畫板驗(yàn)證:是不是所有直角三角形兩直角邊的平方和都等于斜邊的平方，請(qǐng)看幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示：改變直角三角形的邊長，觀察三邊是否滿足上述數(shù)量關(guān)系.如果直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊為C,那么a、b、c之間會(huì)滿足怎樣的關(guān)系呢?【設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這一規(guī)律的一般化剛才我們利用幾何畫板進(jìn)一步驗(yàn)證了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，但是我們知道任何定理都必須通過嚴(yán)格的邏輯推理論證才能成為我們證明的依據(jù),我們能從理論上

11、進(jìn)一步來證明這一猜想的正確性嗎?其實(shí)這一結(jié)論是可以證明的，兩千多年來，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都曾經(jīng)探討和研究過它的證明.有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法有 500多余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華衡芳就提供了二十多種精彩的證法天我們也來證明一下怎么樣?4.拼圖驗(yàn)證:(1)請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位用你們手中四個(gè)全等的直角三角形,試著動(dòng)手拼一拼，證一證,看看能不能得到一個(gè)以斜邊C為邊長的正方形圖案.或者能不能得到一個(gè)以 a+ b為邊長的正C2(2)你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？你能用它說明勾股定理嗎?(b-a)2化簡得：a2+b2=c2勾股定理：如果直角三

12、角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為C,那么2 2 2a +b =c .即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 圖形語言: / C=90在ABC中,a2十【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生用直角三角形模具完成拼圖，老師巧妙的設(shè)置開放性問題情境，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力和設(shè)計(jì)才能，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力；讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用圖形“格補(bǔ)拼接”面積不變的特點(diǎn)來驗(yàn)證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜想,培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形的數(shù)學(xué)思想及轉(zhuǎn)化的能力；在實(shí)驗(yàn)拼圖探究的過程中也發(fā)展了學(xué)生的空間想象力和合情推理能力;通過探索活動(dòng)學(xué)生可以從中領(lǐng)悟出“實(shí)踐出真知”的道理.】想知道勾股定理的由來嗎？請(qǐng)看知識(shí)鏈接:【知識(shí)鏈接】在西方，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥

13、拉斯首先發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系,因此在國外人們通常稱“畢達(dá)哥拉斯”定理.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”，法國、比利時(shí)人又稱這個(gè)定理為“驢橋定理”.但是他們發(fā)現(xiàn)的時(shí)間比我國晚500多年，我國是最早發(fā)現(xiàn)這一幾何寶藏的國家.在我國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾， 下半部分稱為股，我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為勾,長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.根據(jù)周髀算經(jīng)記載，西周開國時(shí)期（公元前1000多年）有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說，把一根直尺折成直角，兩端連接得一直角三角形.如果勾是3,股是4,那么弦是5,人們就把這個(gè)發(fā)現(xiàn)稱為勾股定理，在中國，又稱“商高定理”，

14、可見我國古代人民對(duì)人類的杰出貢獻(xiàn)【設(shè)計(jì)意圖：勾股定理的由來與發(fā)展， 使學(xué)生開闊眼界，產(chǎn)生學(xué)好新知識(shí)的欲望和正確的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力.這樣既激發(fā)了學(xué)生的興趣，又增加了課堂的愉悅氣氛.同時(shí)也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛國主義教育，讓他們感受我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就.增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和自信心，樹立長大后為祖國社會(huì)主義建設(shè)作貢獻(xiàn)的雄心壯志.】同學(xué)們剛剛親身經(jīng)歷了勾股定理的探索過程，并且了解了勾股定理的由來， 其實(shí)很多科生活中處處有數(shù)學(xué)，只要學(xué)家的偉大成就都是在看似平淡無奇的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和研究出來的;我們用心觀察，有一天我們也會(huì)成為某一偉大成就的發(fā)現(xiàn)者 勾股定理有著悠久的歷史，它是幾何學(xué)中的明珠，請(qǐng)看知識(shí)鏈接【知

15、識(shí)鏈接】我國古代著名的數(shù)學(xué)家趙爽也是用這個(gè)圖二形來證明的，所以這幅圖又被稱為趙爽弦圖；我們再看,這是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的現(xiàn)場，此次大會(huì)的會(huì)徽就是用趙爽弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，我們知道國際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議,被稱為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”，這么高層次的大會(huì)，選擇這個(gè)圖案作為會(huì)徽，你決得有什么寓意呢?勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一,是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.在古今中外的數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，在科學(xué)研究中也發(fā)揮著重要的價(jià)值.請(qǐng)看下面的閱讀材料:閱讀材料：世界上有外星人嗎？現(xiàn)在世界上的許多科學(xué)家正在試探著尋找“外星人”，人們?yōu)?/p>

16、了取得與外星人的聯(lián)系，想了很多方法早在1820年，德國著名數(shù)學(xué)家高斯，就曾提出就曾提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在這片空地里種上麥子，以三角形的三條邊為邊種上三片正方形的松樹林，如果有外星人路過地球附近，看到這個(gè)巨大的數(shù)學(xué)圖形，便會(huì)知道：這個(gè)星球上有智慧生命.我國數(shù)學(xué)家華羅庚也曾突出：若要溝通兩個(gè)不同星球的信息交往，最好利用太空船戴上這個(gè)圖形，并發(fā)射到太空中去.假如我們一旦和外星人見面， 該使用什么語言呢？使用“符號(hào)語言”與外星人聯(lián)系是最經(jīng)濟(jì)和最有效的.華羅庚認(rèn)為，我們可以用兩個(gè)圖形作為與外星人交談的媒介，一個(gè)是“數(shù)”，一個(gè)是“數(shù)形關(guān)系”，也就是勾股定理.因?yàn)檫@種自然

17、圖形所具備的“數(shù)形關(guān)系”在整個(gè)宇宙中是普遍的前面我們親自探索并驗(yàn)證了勾股定理，了解了勾股定理的由來和發(fā)展及價(jià)值，那么我們能夠靈活運(yùn)用它來解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題嗎?環(huán)節(jié)三：應(yīng)用遷移，內(nèi)化知識(shí):P的面積=AB= BC= AC=2、如圖以正方形邊向外做正方形G的一邊為斜邊，向外作直角三角形，再以這個(gè)直角三角形的兩直角邊為E和F,再以兩個(gè)正方形的邊為斜邊繼續(xù)向外作直角三角形，再以兩個(gè)直角三角形的直角邊為斜邊分別向外做四個(gè)正方形A B、C、D,其中最大的正方形 A的邊長為7cm則正方形A B C、D的面積之和是多少_49.cm2Mi拓展：如果按照這樣的規(guī)律繼續(xù)畫下去，那么最末端的分支上的所有小正方形的和

18、會(huì)是多 少？ 3.自主完成例題 例 1：在 ABC中, / C=90 ,如果 c=10, a=6，求 b 的長【設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題由淺入深，前面兩組難度值不大，可以讓大部分學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅.同時(shí)體現(xiàn)了方程思想及面積法解題的思想.】B組.如圖：這是某學(xué)校平面圖的一部分，A處是教學(xué)樓，B處是學(xué)生食堂，從教學(xué)樓到食80米、寬60米堂有一條路ACB但一些不守紀(jì)律的同學(xué)經(jīng)常從在教學(xué)樓與食堂之間一塊長 的長方形草坪上抄近路，結(jié)果草坪被踏出了一條斜路，你怎么看待這些同學(xué)的行為？你認(rèn)為走斜路比直路能少走多少米?【設(shè)計(jì)意圖：同時(shí)通過利用勾股定理解決生活中的實(shí)際問題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又作用于生活，數(shù)學(xué)是為

19、生活服務(wù)的，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值】環(huán)節(jié)四：總結(jié)反思拓展升華我學(xué)會(huì)了那些知識(shí)?我掌握了哪些方法?我獲得了哪些思想?我收獲到哪些經(jīng)驗(yàn)？還有哪些困惑?【設(shè)計(jì)意圖：能夠清晰的表達(dá)出來的，才是學(xué)生真正擁有的，課堂小結(jié)，采用自由交流的形式，鼓勵(lì)學(xué)生多方面、多角度整理一節(jié)課的收獲.使他們能夠善于表達(dá)、用心傾聽、相互分 享.通過不同層面的廣泛交流， 發(fā)展學(xué)生的表達(dá)能力， 養(yǎng)成反思的習(xí)慣.全員參與，體現(xiàn)集體的智慧.培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)做人.】環(huán)節(jié)五：盤點(diǎn)收獲檢測新知受臺(tái)風(fēng)麥莎影響，一棵樹在離地面 4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處， 這 棵樹折斷前有多高?【設(shè)計(jì)意圖：達(dá)標(biāo)檢測時(shí)對(duì)學(xué)生的一種評(píng)價(jià)和激勵(lì)措施，所以題目難度適宜，面向絕大多數(shù)同學(xué).能夠使不同層次的學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅.】環(huán)節(jié)六：推薦作業(yè)分層落實(shí) 1.必做題：27頁 習(xí)題2.1.第1,3題，用第2幅拼圖驗(yàn)證勾股定理.2.閱讀課本36頁“課題學(xué)習(xí)”了解勾股定理的多種證法或利用網(wǎng)絡(luò)搜集其他更多證明勾 股定理的方法、及有關(guān)知識(shí)（根據(jù)自己的情況選擇完成）必做題體現(xiàn)了對(duì)新課標(biāo)下“學(xué)友【設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題, 價(jià)值的數(shù)學(xué)”、“人人能獲得必要的數(shù)學(xué)”的落實(shí)，選做題