實(shí)二次型與實(shí)對(duì)稱矩陣的定性分析數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

1、實(shí)二次型與實(shí)對(duì)稱矩陣的定性分析摘 要： 本文以矩陣?yán)碚撛诙涡屠碚撝械膽?yīng)用為基礎(chǔ),重點(diǎn)討論了正定矩陣、負(fù)定矩陣、半正定矩陣、半負(fù)定矩陣的若干等價(jià)命題,并給出詳細(xì)的證明,得到了一些有一定價(jià)值的結(jié)論.關(guān)鍵詞： 實(shí)二次型； 實(shí)對(duì)稱矩陣； 正定矩陣1 引言數(shù)域上一個(gè)元實(shí)二次齊次多項(xiàng)式:可表示成矩陣形式:其中是由的系數(shù)構(gòu)成的實(shí)對(duì)稱矩陣.反之,若是數(shù)域上階實(shí)對(duì)稱矩陣,則可得上的一個(gè)元實(shí)二次型.所以,數(shù)域上元實(shí)二次型與數(shù)域上階實(shí)對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng).因此要研究實(shí)二次型,只要研究該實(shí)二次型的矩陣即可.事實(shí)上, 實(shí)二次型的等價(jià)分類問題與矩陣的合同分類問題本質(zhì)上是同一個(gè)問題.設(shè)實(shí)二次型,是實(shí)對(duì)稱矩陣,若對(duì)于任意的實(shí)非

2、零列向量有,則稱和是正定的;若對(duì)于任意的實(shí)非零列向量有,就稱和是負(fù)定的;若對(duì)于任意的實(shí)非零列向量有,就稱和是半正定的;若對(duì)于任意的實(shí)非零列向量有,就稱和是半負(fù)定的;若存在兩個(gè)實(shí)向量和,使和則稱是不定實(shí)二次型,便是不定的.2 實(shí)二次型性質(zhì)的簡單分析2.1 線性替換實(shí)二次型經(jīng)過非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)二次型的上述過程相當(dāng)于在實(shí)二次型的矩陣表示式中,對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣通過尋找一個(gè)可逆矩陣,使.2.2 正定實(shí)二次型的有關(guān)結(jié)論（1） 正定實(shí)二次型經(jīng)過實(shí)滿秩線性替換后仍為正定實(shí)二次型.（2） 實(shí)二次型是正定的充分必要條件是(3) 元實(shí)二次型正定的充分必要條件是的正慣性指數(shù)為.2. 3 負(fù)定實(shí)二次型的有關(guān)結(jié)論

3、(1) 負(fù)定實(shí)二次型經(jīng)過實(shí)滿秩線性代換后仍為負(fù)定實(shí)二次型.(2) 實(shí)二次型是負(fù)定的充分必要條件是(3) 元實(shí)二次型負(fù)定的充分必要條件是的負(fù)慣性指數(shù)為. 2. 4 半正定實(shí)二次型的有關(guān)結(jié)論 的正慣性指數(shù)等于實(shí)二次型的秩.2. 5 半負(fù)定實(shí)二次型的有關(guān)結(jié)論 的負(fù)慣性指數(shù)等于實(shí)二次型的秩.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的等價(jià)條件和證明3.1 正定矩陣設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,則以下命題等價(jià)(1) 是正定的;(2) 的正慣性指數(shù)等于矩陣的階數(shù);(3) 合同于單位矩陣;(4) 存在可逆矩陣,使;(5) 的所有順序主子式全大于0,特別地的行列式大于0.證明 : 由于是正定矩陣,所以二次型正定.設(shè)元實(shí)二次型經(jīng)過非退化線性替換變成.正

4、定當(dāng)且僅當(dāng)正定,而我們知道實(shí)二次型是正定的當(dāng)且僅當(dāng).即正慣性指數(shù)為,且矩陣的秩為.: 設(shè)元實(shí)二次型所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為,的正慣性指數(shù)為,則經(jīng)過非退化線性替換變?yōu)橐?guī)范形式,所以與單位矩陣合同.: 與單位矩陣合同,則存在可逆矩陣,使.: 因?yàn)?其中是可逆矩陣,所以是正定矩陣,則所對(duì)應(yīng)的實(shí)二次型是正定二次型.對(duì)于每一個(gè)令,我們來證明是元的正定二次型對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù),有.因此是正定的,有上面的推論的矩陣的行列式.這就證明了矩陣的順序主子式全大于零.: 對(duì)作數(shù)學(xué)歸納,設(shè),其中當(dāng)時(shí),由條件知,所以,是正定二次型,矩陣對(duì)應(yīng)是正定矩陣.假設(shè)上述論斷對(duì)于元實(shí)二次型已經(jīng)成立.現(xiàn)在來證元的情形,令,于是矩陣

5、可以分塊寫成,既然的順序主子式全大于零,當(dāng)然的順序主子式也全大于零.由歸納假設(shè),是正定矩陣.換句話說,有可逆的級(jí)矩陣,使,這里代表級(jí)單位矩陣. 令于是 再令 ,于是令就有,再兩邊同時(shí)取行列式條件,因此,顯然 這就是說,矩陣與單位矩陣合同,因此是正定矩陣.3.2 負(fù)定矩陣根據(jù)定義: 設(shè)負(fù)定, 任給,且.有于是,同時(shí)也為實(shí)對(duì)稱矩陣,因此得（）是正定矩陣.設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,則以下命題等價(jià)(1) 是負(fù)定的;(2) 的負(fù)慣性指數(shù)等于矩陣的階數(shù);（）的正慣性指數(shù)即為的負(fù)慣性指數(shù)）(3) 合同于（）;（由,即得）(4) 存在可逆矩陣,使;(5) 的所有順序主子式滿足:,特別地.（）的階主子式即為）證明 : 由

6、于是負(fù)定矩陣,所以二次型負(fù)定.設(shè)元實(shí)二次型經(jīng)過非退化線性替換變成負(fù)定當(dāng)且僅當(dāng)負(fù)定,而我們知道二次型是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng).即負(fù)慣性指數(shù)為,且矩陣的秩為.: 設(shè)元實(shí)二次型所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為,的負(fù)慣性指數(shù)為,則經(jīng)過非退化線性替換變?yōu)橐?guī)范形式,所以與負(fù)單位矩陣合同.: 與負(fù)單位矩陣合同,則存在可逆矩陣,使.: 因?yàn)?其中是可逆矩陣,因此是正定矩陣,故的一切順序主子式全大于零,從而,即且有.: 對(duì)作數(shù)學(xué)歸納,設(shè),其中.當(dāng)時(shí),由條件知,所以當(dāng)時(shí), ,因此是負(fù)定二次型, 對(duì)應(yīng)矩陣 是負(fù)定矩陣.假設(shè)上述論斷對(duì)于元二次型已經(jīng)成立.現(xiàn)在來證元的情形,令,于是矩陣可以分塊寫成,既然的順序主子式全大于零,當(dāng)然的順序主子式

7、也全大于零.由歸納假設(shè),是負(fù)定矩陣.換句話說,有可逆的級(jí)矩陣,使,這里代表級(jí)單位矩陣.令于是再令, 令就有其中再兩邊同時(shí)取行列式由條件,因此,即,所以且有這就是說,矩陣與負(fù)單位矩陣合同,因此是負(fù)定矩陣,或者說是負(fù)定的.3.3 半正定矩陣設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,(1) 是半正定的;(2) 正慣性指數(shù)等于秩;(3) 存在可逆矩陣使得;(4) 存在實(shí)矩陣,使得;(5) 的所有主子式都大于或等于0.證明 : 實(shí)對(duì)稱矩陣一定合同于對(duì)角矩陣（其中r為a的秩,p為a的正慣性指數(shù)）即,若,令,其中則一定有,也就是:,且.這與為半正定矩陣矛盾,于是得.即得證.: 由上面的證明得, ,且,即得證.: 由, 只要令,即得,

8、且易見為階實(shí)矩陣.: 若存在,使得,則任取,有,設(shè),由的任意性可知,矩陣是半正定矩陣.: 令取,令.由矩陣的半正定性知:,也即,記且 是任意的,于是得是半正定的,則據(jù)結(jié)論3有: ,.兩邊取行列式得:,因此,而正是矩陣的任意階主子式.至此得證.: 考察矩陣的階順序主子式 ,任給.而,為的全部階主子式和.由結(jié)論（5）,又,所以,且是任意的,于是的所有順序主子式大于0,從而是正定的.再者,為任意大于0的數(shù),即得:任給一實(shí)非零列向量,必有成立.（否則,若存在實(shí)非零列向量,使得,那么只要取使之滿足,就有成立,與是正定的矛盾）由此可知, 是半正定矩陣.3.4 半負(fù)定矩陣由定義,任給,有 從而,即（）為半正

9、定矩陣.比較可得如下等價(jià)判別條件:設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,(1) 是半負(fù)定的;(2) 的負(fù)慣性指數(shù)等于秩;（）的正慣性指數(shù)即為的負(fù)慣性指數(shù)（是的正慣性指數(shù)）;(3) 存在可逆矩陣使得,.也即為 ,;(4) 存在實(shí)矩陣 ,使得;(5) 的所有主子式都大于或等于0.證明 : 由于實(shí)對(duì)稱矩陣一定合同于對(duì)角矩陣,（其中為的秩,為的負(fù)慣性指數(shù).）即,若,則,令,.則一定有,也就是:,且這與為半負(fù)定矩陣矛盾,于是得.即得證.待添加的隱藏文字內(nèi)容2: 由上面的證明得,即則,且,即證.: 由,得 .只要令,即得,且易見為階實(shí)矩陣.: 若存在,使得,則任取,有,設(shè),由的任意性可知,矩陣是半負(fù)定矩陣.: 設(shè)半負(fù)定,則應(yīng)是

10、半正定矩陣,由半正定矩陣的性質(zhì)知的所有主子式都大于或等于零.: 考察矩陣的階順序主子式,對(duì)于 ,有,為的全部階主子式的和.由條件（5）知,又,所以,且是任意的,于是的所有順序主子式大于0,從而是正定的.再者,為任意大于0的數(shù),即得任給一實(shí)非零列向量,必有成立.（否則,若存在實(shí)非零列向量,使得,那么只要取使之滿足,就有 成立,與是正定矛盾）由此可知, 是半正定矩陣,故是半負(fù)定矩陣.4 應(yīng)用例1 實(shí)二次型是_二次型.解 方法1: 任找兩點(diǎn)(1,0,0)和(1,0,-2)代入,得,所以是不定二次型.方法2: 設(shè)二次型的系數(shù)矩陣是,則,由,而中有二階主子式,可得是不定二次型.例2 為何值時(shí)才能使二次型

11、為正定的.解 二次型的矩陣為由于有一個(gè)二階主子式故知無論為何值,二次型都不能是正定的.例3 判斷二次型是否為正定二次型.解 該二次型的矩陣 , 的 階順序主子式 , 該二次型是正定二次型.例4 證明設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣,證明（1）當(dāng)正實(shí)數(shù)充分大時(shí),是正定矩陣;（2）當(dāng)正實(shí)數(shù)充分小時(shí),是正定矩陣;證明 (1)首先,由于是實(shí)對(duì)稱矩陣,故對(duì)任意的實(shí)數(shù),顯然也是實(shí)對(duì)稱矩陣.其次,令,為的順序主子式,它們都是首項(xiàng)系數(shù)為1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,于是由分析學(xué)知,對(duì)充分大的正實(shí)數(shù),可使.因此對(duì)充分大的正實(shí)數(shù),可使為正定矩陣.(2)由于對(duì)任何正實(shí)數(shù),都有.而當(dāng)充分小時(shí),為充分大的正數(shù),因此由(1)知為正定矩陣,從而為正定矩

12、陣.例5 證明若實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根均在閉區(qū)間上,則當(dāng)時(shí), 是負(fù)定矩陣; 則當(dāng)時(shí), 是正定矩陣.證明 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值為,設(shè)的全部特征值為,則,由知,當(dāng)時(shí),則有,.所以為負(fù)定的.當(dāng)時(shí),則有,.所以為正定矩陣.參考文獻(xiàn)：1楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題集m. 濟(jì)南：山東科技出版社,2003,390507.2錢吉林. 高等代數(shù)解題精粹m. 北京：中央民族出版社,2002,.224,227,255.3北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編. 高等代數(shù)m. 高等教育出版社,1987,.232236.4秦少青. 二次型與實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性j. 晉東南師范專科學(xué)校學(xué)報(bào),2002（5）：759.5杜琦.

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