高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)

1、高中數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計(jì)求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類(lèi)題目常應(yīng)用以下知識(shí) :(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)=;等可能事件概率的計(jì)算步驟： 計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù) ; 設(shè)所求事件A,并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)； 依公式求值 ;答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù) .(2) 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率： P(A + B) = P(A) + P(B); 特例：對(duì)立事件的概率： P(A) + P() = P(A +) = 1.(3) 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率： P(A B) = P(A) P(B);特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：Pn(k)=.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生

2、的概率， 此式為 二項(xiàng)式 (1-P)+Pn 展開(kāi)的第 k+1 項(xiàng).(4) 解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合” ：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì) 即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類(lèi)事件中的某一種 . 第二步，判斷事件的運(yùn)算 即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件 . 第三步，運(yùn)用公式求解 第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù) .例 1在五個(gè)數(shù)字中， 若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù) 字， 則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 (結(jié)果用數(shù)值表示) 解答過(guò)程 提示 :例 2一個(gè)總體含有 100 個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5 的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 解答過(guò)程

3、提示 :例 3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 . 現(xiàn)有 5人接種該疫苗，至少有 3人出現(xiàn)發(fā)熱反 應(yīng)的概率為 . (精確到) 考查目的 本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以 及推理和運(yùn)算能力 . 解答提示 至少有 3 人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 故填 .離散型隨機(jī)變量的分布列1. 隨機(jī)變量及相關(guān)概念 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量， 常用希臘字母E、 n等表示 . 隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量2. 離散型隨機(jī)變量的分布列

4、離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，取每一個(gè)值(1, 2,)的概率P ()=則稱(chēng)下表PP1P2為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)的分布列由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：(1 ),1, 2,；(2)=1. 常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列：(1 )二項(xiàng)分布次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0, 1 , 2,n并且，其中，隨機(jī)變量的分布列如下：01P稱(chēng)這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，其中、為參數(shù)，并記：(2)幾何分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨 機(jī)變量，”

5、表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生隨機(jī)變量的概率分布為：123kPPqp例1.廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī) 抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品(I)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格的概率；()若廠家發(fā)給商家 20件產(chǎn)品中，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收，求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù) 的分布列及期望，并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率 解答過(guò)程(I)記“廠家任取 4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有 1件是合格品”為事件

6、A 用對(duì)立事件A來(lái)算，有(n)可能的取值為.記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件 B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為. 例12.某項(xiàng)選拔共有三輪考核， 每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題， 能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響(I)求該選手被淘汰的概率 ；(n)該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望(注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)解答過(guò)程解法一：(I)記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，,該選手被淘汰的概率(n)的可能值為，的分布列為123解法二：(I)記“該選

7、手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率.(n)同解法一.離散型隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平離散型隨機(jī)變量的方差：；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度基本性質(zhì)：； 若B(n , p)，貝U ; D =npq (這里 q=1-p )；如果隨機(jī)變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.例1 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、n,和n的分布列如下：s012n012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出

8、次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大小解答過(guò)程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)&的期望和方差分別為：；工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)n的期望和方差分別為：由Es =En知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D& Dm，可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié)：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度例2.某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為 300元表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn).(I)求事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位

9、顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；(H)求的分布列及期望.解答過(guò)程(I)由表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”(n)的可能取值為元，元，元.的分布列為(元).抽樣方法與總體分布的估計(jì)抽樣方法1. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出 的規(guī)則，從每一部分抽取 1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也

10、稱(chēng)為機(jī) 械抽樣)3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣總體分布的估計(jì)由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確 總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱(chēng)為總體分布當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表 示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖 當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布總體密度曲線(xiàn)：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大， 分組的組距無(wú)限縮小， 那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限 接近于一條光滑曲線(xiàn)，即總體

11、密度曲線(xiàn)典型例題例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2: 3: 5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為 n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量 n=. 解答過(guò)程：A種型號(hào)的總體是，則樣本容量n=.例2.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào) 0, 1, 2，99,依編號(hào)順序平均分成 10個(gè)小 組，組號(hào)依次為1, 2, 3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第 1 組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為， 那么在第組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，若， 則在第 7 組中抽取的號(hào)碼是 解答過(guò)程：第K組的號(hào)碼為,，當(dāng)m=6時(shí)，第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為

12、m+k的個(gè)位 數(shù)字，所以第 7 組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為 3 ，所以抽取號(hào)碼為 63正態(tài)分布與線(xiàn)性回歸1. 正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)(1)正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為，x其中、為常數(shù)，并且0，則稱(chēng)服從正態(tài)分布，記為(， ) .(2) 期望E =卩，方差.(3) 正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)具有下列性質(zhì) : 曲線(xiàn)在x軸上方，并且關(guān)于直線(xiàn) x=y對(duì)稱(chēng). 曲線(xiàn)在x= 時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線(xiàn)逐漸降低 曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位置由卩確定；曲線(xiàn)的形狀由確定，越大，曲線(xiàn)越矮胖”；反之越高瘦”.三(T原則即為數(shù)值分布在(卩一b ,卩+ 6)中的概率為數(shù)值分布在(卩一2卩+26)中

13、的概率為數(shù)值分布在(卩一36,卩+36 )中的概率為( 4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)=0，=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作( 0，1)(5) 兩個(gè)重要的公式, .( 6)與二者聯(lián)系 .若，則 ;若，則.2. 線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)單的說(shuō)，線(xiàn)性回歸就是處理變量與變量之間的線(xiàn)性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類(lèi)型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系. 不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍有規(guī)律可循 . 回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量 統(tǒng)計(jì)方法 . 它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式 .具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(),(),，(),其回歸直線(xiàn)方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：.其中，其中分別為 | 、 | 的平均數(shù) .例1.如果隨機(jī)變量EN (卩，6 2),且EE =3 , DE =1,則P (- 1 1=等于()0( 1)- 1B. 0( 4)(2)C. 0( 2)0( 4)D.(一4)0( 2)解答過(guò)程：對(duì)正態(tài)分布，卩 =EE =3 , 6 2=DE =1,故 P ( 1EW 1) =0( 1 3)0(1 3) =0( 2)0( 4) =0( 4)0( 2) .答案： B例2.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d C,液體的溫度E (單位：C)是一個(gè)隨機(jī)變量，且E N(d,).(1 )若d=90,則E 8