探究存在性問(wèn)題

1、探究存在性問(wèn)題高2015級(jí)12班陳星佚在數(shù)學(xué)的探索型問(wèn)題中有一類(lèi)存在性問(wèn)題，它常常提出這樣的問(wèn)題：某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在，或某種特性是否成立？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)對(duì)象或論證該特性；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是：先假設(shè)所求的對(duì)象存在或特性成立，以此假設(shè)為依據(jù)進(jìn)行求解或推理論證，若能對(duì)該對(duì)象求出結(jié)果，或在推理論證過(guò)程中沒(méi)出現(xiàn)矛盾，得出了肯定的結(jié)論，則該假設(shè)成立，存在此數(shù)學(xué)對(duì)象或特性；若在求解或推理過(guò)程中得出矛盾，則假設(shè)不成立，即不存在該數(shù)學(xué)對(duì)象或特性。一、二次函數(shù)圖像中的存在性問(wèn)題(一) 是否存在平行四邊形、梯形、正方形、長(zhǎng)方形、菱形等例1已知二次函數(shù)y =ax2 +bx +c ( a

2、0 )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0) , B (2 ,0) , C (0 , 2)，直線x = m(m . 2 )與x軸交于點(diǎn)D .(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 在直線x =m ( m . 2 )上有一點(diǎn) E (點(diǎn)E在第四象限)，使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以 A、0、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；(3) 在(2)成立的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn)F ,使得四邊形ABEFEF二AB二，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出m的值及四邊形 ABEF的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：(1) (2)略；(3)假設(shè)存在該點(diǎn)F ,使得四邊形ABEF為平行四邊形。然后利用這

3、一假設(shè)充當(dāng)已知條件，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì) 對(duì)邊平行且相等進(jìn)行求解。解: (1) -二 “ 1(2) 求得 E! m, _ I； E2 (m,4 2m).I 2丿(3) 假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形 ABEF為平行四邊形，則為 m -1。I、當(dāng)點(diǎn)Et的坐標(biāo)為1 m, 時(shí)，點(diǎn)Ft的坐標(biāo)為Im -1,I 2丿I 2丿T點(diǎn)F,在拋物線的圖象上,2 m2(m 1)亠 3( m 1) 2 ,2二 m , m = 2 (舍去)，2屛5，一3 I24丿/ ABEF =13n、當(dāng)點(diǎn)e2的坐標(biāo)為(m,4_2m)時(shí)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(m1,42m), 點(diǎn)F2在拋物線的圖象上, 24 _2m =_(m -1)3(

4、 m -1) -2 , m =2 (舍去)，m =5 ,- F2(4 , - 6),SABEF = 1 X 6=6總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題，方法大同小異：先設(shè)存在一點(diǎn)(a,b )滿足形成平行四邊形，該點(diǎn)的坐標(biāo)用二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示。再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證(兩組對(duì)邊平行或相等，一組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角 線互相平分等等性質(zhì))。若不滿足，則不存在；若滿足，則存在。是否存在梯形、正方形、長(zhǎng)方形、菱形等問(wèn)題，方法類(lèi)似，不再重復(fù)。注意：觀察題目中是某對(duì)該點(diǎn)的位置進(jìn)行了限定，若沒(méi)有，則應(yīng)注意是否需要分類(lèi)討論。(二) 是否存在使題目中的面積關(guān)系成立的點(diǎn) 例2如圖，拋物線y = ax2 + c(a0)經(jīng)過(guò)梯形

5、ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A(-2,0),B (-1, -3 ).(1) 求拋物線的解析式；(2) 點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3) 在第(2)問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使Spad = 4Saabm成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2解：(1)、因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn) A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程a 二 12a c = 一3；故y = x -4為所求(2)如圖2,連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為小亠2 k +b =0y =kx - b，則有k =1-k :- - 3 b - -2故BD的解析式為y

6、=x -2 ；令 x = 0,貝U y = _2，故 M （0,-2）(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，由(2)知，OM=OA=OD=易知 BN=MN= 1，易求AM2、2 , BMSABM2、, 2，： ：.，2= 2v 2依題意有：1 AD平2 _4 :；設(shè) P（x,x242，即:4），14lx2 _4=42解之得：x=2-、2 , x=0，故 符合條件的P點(diǎn)有三個(gè):Pi（2、2,4）, P2（ -2、2,4）, P3（0, -4）2, . AM B =90XPPc - _4總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題，同樣也是設(shè)存在滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)等底三角形高之比等于面積之比、 等高三角形底之

7、比等于面積之比、余弦定理、或直接將面積表示出來(lái)，列比例方程求解等方法判斷是否存在 該點(diǎn)。注意：若兩個(gè)圖形的位置相差太遠(yuǎn)，則需連接輔助線，進(jìn)行面積轉(zhuǎn)換。(三) 是否存在滿足題目中的線段關(guān)系的點(diǎn)25例3已知拋物線y =ax bx c( 0)頂點(diǎn)為C (1, 1)且過(guò)原點(diǎn)O.過(guò)拋物線上一點(diǎn) P (x, y)向直線討=一4作垂線，垂足為 M，連FM (如圖).(1) 求字母a, b, c的值；3(2) 在直線x = 1上有一點(diǎn)F(1,)，求以PM為底邊的等腰三角形 PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí) PFM4為正三角形；(3) 對(duì)拋物線上任意一點(diǎn) P,是否總存在一點(diǎn) N (1, t)，使PM = PN恒成

8、立，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1） a= 1, b= 2, c= 011(2) 過(guò)P作直線x=1的垂線，可求 P的縱坐標(biāo)為一，橫坐標(biāo)為1 、3 此時(shí)，MP = MF = PF = 1，故42MPF為正三角形55(3) 不存在因?yàn)楫?dāng)tv , xv 1時(shí)，PM與PN不可能相等，同理，當(dāng) t , x 1時(shí)，PM與PN不可44能相等總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題，先設(shè)存在滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)用二次函數(shù)解析式表示，再用兩點(diǎn)間線段公式表示出線段長(zhǎng)度；再根據(jù)題目中的線段關(guān)系，列出相關(guān)的等式， 并求解。若有解，則存在；若無(wú)解，則不存在。注意：題目中對(duì)點(diǎn)的限制條件。若沒(méi)有限制條件，同樣需要分類(lèi)討

9、論。(四) 是否存在面積最大值或最小值的點(diǎn)例4 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH點(diǎn)H的坐標(biāo)為(一8, 0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一6, 4).(1 )畫(huà)出直角梯形 OMN繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180的圖形 OABC并寫(xiě)出頂點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo)(點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A, 點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B, 點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C);(2 )求出過(guò)A, B, C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；(3)截取CE=OF=A(=m 且E, F, G分別在線段 CO OA AB上，求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 m的取值范圍；面積 S是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)在(3)的情況

10、下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng)直接 寫(xiě)出此時(shí)m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，解：(1)利用中心對(duì)稱性質(zhì)，畫(huà)出梯形OABC A, B, C三點(diǎn)與M N, H分別關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱, A (0, 4) , B (6 , 4), C (8 , 0)(2)設(shè)過(guò) A, B,拋物線過(guò)點(diǎn)A (0, 4),c =4 .則拋物線關(guān)系式為y = ax bx -4 .將B ( 6, 4), C (8, 0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得36 a6b 4 =4,64 a8b 4=0.解得3x 4 .2(3 )T O/=4, O(=8, AF=4 m, OE=8 m所求拋物線關(guān)系式為:SB 邊形 EF

11、G B = S梯形 ABC O _ S AG F _ S EO F _ S BEC1 1 1=OA( A宙OC - AF AdOE2 2 21OF CE- OA21114 ( 6 - 8)m(4 m)m(8 m)-22214m22=m - 8m 28 ( 0 m 4)2 S =(m -4)12 .當(dāng) m =4 時(shí)，S 的取最小值.又；00 )有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍2 .2同的實(shí)數(shù)根 y =a x與y=x+a的圖像，當(dāng)a=1時(shí)，在第一象限平行，第二象限有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)a : 1時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)在第二象限，當(dāng) a . 1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn),1 1y 2x,分別畫(huà)兩函數(shù)的圖像a a,兩圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即方程同的實(shí)數(shù)根.只有當(dāng)y二11 1的斜率小于1時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即_2: 1 , a -1 .aa-f (x)在(-：,1),(3,；)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減678f ( x)極大值=f (1) = 4 a 0 , a-4解1:設(shè)y =