排列組合二項式定

1、排列組合二項式定理練習題1.用1, 2, 3三個數字組成一個四位數，規(guī)定這 三個數必須全部使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有（）A.36 個 B.18 個 C.9 個 D.6 個 答案 B解析 利用樹狀圖考察四個數位上填充數字的213132情況，如：1，共可確定8個213123四位數，但其中不符合要求的有2個，所以所確 定的四位數應有18個，故選B.2.某學習小組男女生共8人，現從男生中選2人,女生中選1人，分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男，女生人數為（）A.2，6B.3，5 C.5，3 D.6, 2答案 B解析 設男生人數為n，則女生人數為8 -n，由 題意可知

2、CnC8-nA3= 90，即 CnC1-n = 15，解得 n = 3,所以男，女生人數為3, 5,故選B.3將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有（）A.150 種 B.180 種 C.240 種 D.540 種答案 A解析 先將5個人分成三組，（3, 1，1）或（1, 2,2）,分組方法有C5 + c1C2C2= 25（種），再將三組 全排列有a3= 6（種），故總的方法數有 25X 6=150（種）.4從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求 這3位班主任中男、女教師都要有，

3、則不同的選 派方案共有（）A.210 種 B.420 種 C.630 種 D.840 種答案 B解析 因為要求3位班主任中男、女教師都要有， 所以共有兩種情況，1男2女或2男1女.若選出 的3位教師是1男2女則共有C5CA3= 180（種） 不同的選派方法，若選出的3位教師是2男1女 則共有c5c4a3= 240（種）不同的選派方法，所以 共有180+ 240= 420（種）不同的方案，故選B.a15若二項式（2x + x）7的展開式中的系數是84，入入則實數a等于（）A.2 B.5 4C.1D.4答案 Ca解析 二項式(2x + x)7的通項公式為Tk +1 = C7入(2x)7-kf)k=

4、 c727-kakx7-2k,令 7-2k =-3,得 k入1=5.故展開式中產的系數是C722a5= 84,解得a入=1.6. (x 1)4 4x(x 1)3 + 6x2(x 1)2 4x3(x 1) +x4等于()A. 1 B.1 C.(2x 1)4 D.(1 2x)5答案 B解析(x 1)4 4x(x 1)3 + 6x2(x 1)2 4x3(x 1)+ x4= (x 1) x)4= 1.7. 某班準備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要 求甲乙中兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有（）A.30 種 B.600 種 C.720 種 D.840 種答案 C解析 Al A4= 720（種）.8

5、. 如圖，花壇內有5個花池，有5種不同顏色的 花卉可供栽種，每個花池內只能種一種顏色的花 卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數為（）A.180B.240 C.360D.420答案 D解析 若5個花池栽了 5種顏色的花卉，方法有A5種，若5個花池栽了 4種顏色的花卉，則2,4兩個花池栽同一種顏色的花，或3,5兩個花池栽同一種顏色的花，方法有2A5種；若5個花池栽了 3種顏色的花卉，方法有A3種，所以最多有 A5+ 2A4 + Ai= 420（種）.19. （x + 一）5的各項系數和是1 024，則由曲線y = axx2和y= xa圍成的封閉圖形的面積為.答案解析5121設x = 1,則各項

6、系數和為(1+ -)5= 1 024a1=45,所以a= 1，聯(lián)立2y= x21y= x可得交點坐標分c1別為(0, 0), (1, 1),所以曲線y= x2和y=加圍3 41 c成的封閉圖形的面積為1(x3 - x2)dx = 4X3 x301 _ 3 1_5_0 _ 4 3_ 12.10. 圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內接三 角形，則一共可以畫的三角形個數為 .答案 120解析圓上任意三點都不共線，因此有三角形C1o= 120（個）.11 .一排共有9個座位，現有3人就坐，若他們 每兩人都不能相鄰，每人左右都有空座，而且至 多有兩個空座，則不同坐法共有 種.答案 36解析 可先考慮3

7、人已經就座，共有A3 = 6（種）， 再考慮剩余的6個空位怎么排放，根據要求可產 生把6個空位分為1, 1, 2, 2,放置在由已經坐 定的3人產生的4個空中，共有C4 = 6，所以不 同的坐法共有6X6= 36（種）.12.我國第一艘航母“遼寧艦在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機（甲、乙、丙、丁、 戊）準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦， 而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有種.答案 24解析 先把甲、乙捆綁在一起有A2種情況，然后對甲、乙整體和戊進行排列，有A2種情況，這樣產生了三個空位，插入丙、丁，有A?種情況，所以著艦方法共有a2a2a3 = 2X 2X 6 =24（種）

8、.13.實驗員進行一項實驗，先后要實施5個程序（A，B，C，D，E），其中程序A只能出現在第 一步或最后一步，程序 C或D在實施時必須相 鄰，則實驗順序的編排方法共有 種.答案 24解析 依題意，當A在第一步時，共有a2a3= 12（種）;當A在最后一步時，共有A2a3= 12（種）.所以實驗的編排方法共有24種.14用1, 2, 3, 4, 5, 6組成數字不重復的六位數，滿足1不在左右兩端，2, 4, 6三個偶數中 有且只有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數 為.答案 288解析 從2, 4, 6三個偶數中任意選出2個看作 一個“整體”，方法有A3 = 6（種），先排3個奇 數，有A3=

9、6（種），形成了 4個空，將“整體” 和另一個偶數插在3個奇數形成的4個空中，方 法有a4= 12（種）.根據分步乘法計數原理求得此 時滿足條件的六位數共有 6X 6X 12= 432（種）若 1排在兩端，1的排法有A2a2= 4（種），形成了 3 個空，將“整體”和另一個偶數插在3個奇數形 成的3個空中，方法有A3= 6（種），根據分步乘法計數原理求得此時滿足條件的六位數共有6X 4X 6= 144（種），故滿足1不在左右兩端，2, 4, 6三個偶數中有且只有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數為432 144= 288（種）.12.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理典例精析題型一分類加法

10、計數原理的應用【例1在1到20這20個整數中，任取兩個數相加，使其和大于20,共有種取法.【解析當一個加數是1時，另一個加數只 能是20,有1種取法；當一個加數是 2時，另一個加數可以是19,20，有2種取法；當一個加數是 3時，另一個加數可以是18,19,20，有3種取法;當一個加數是 10時，另一個加數可以是11.12 ,，19,20，有 10 種取法；當一個加數是 11時，另一個加數可以是12.13 ,，19,20，有9種取法；當一個加數是19時，另一個加數只能是20，有1種取法.由分類加法計數原理可得共有1 + 2+ 3 + 10+ 9+ 8+- + 1 = 100 種取法.【點撥】采

11、用列舉法分類，先確定一個加數，再利用和大于20”確定另一個加數.【變式訓練11 (2010濟南市模擬)從集合 1,2,3，10中任意選出三個不同的數，使 這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為( )A3B.4C.6D.8【解析】當公比為2時，等比數列可為1,2,4或2,4,8 ;當公比為3時，等比數列可為1,3,9 ;3當公比為2時，等比數列可為4,6,9.同理，公比1 1 2為2、3、3時，也有4個-故選d.題型二分步乘法計數原理的應用【例2從6人中選4人分別到張家界、 韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每 個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游 景點，且6個人中甲、乙兩人不去

12、張家界游覽， 則不同的選擇方案共有 種.【解析能去張家界的有4人，依此能去韶 山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計數原理得不同的選擇方案有4 5 4 X3=240 種.【點撥】根據題意正確分步，要求各步之間 必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完 成這件事，各步之間既不能重復也不能遺漏【變式訓練2】（2010湘潭市調研）要安排一 份5天的值班表，每天有一人值班，現有 5人, 每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由 同一人值班，問此值班表共有 種不同的排 法【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成第一天有5人可選有5種方法，第二天不能 用第一天的人有4種方法，同理第三天、

13、第四天、 第五天也都有4種方法，由分步乘法計數原理共有 5X4X4X4X4= 1 280 種方法題型三分類和分步計數原理綜合應用【例3】（2011長郡中學）如圖，用4種不 同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部 使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數有.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區(qū)域涂相同的顏色，分為4類：1與5同；2與 5同；3與5同；1與3同.對于每一類有A4種涂 法，共有4a4= 96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1,有4種方法； 第二步：涂區(qū)域2,有3種方法；第三步：涂區(qū) 域4,有2種方法（此前三步已經用去三種顏色）； 第四步：涂區(qū)域

14、3,分兩類：第一類，3與1同 色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色, 有3種方法.所以，不同的涂色種數有4X3X2（1 X1 + 1X3） = 96 種.【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題 本題能運用兩個基本原理求解，要注意的是分類 中有分步，分步后有分類.mEESi【變式訓練3】（2009深圳市調研）用紅、黃、 藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，9的9個 小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）小正方形所 涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏 色，則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種

15、顏色中選一種顏色涂1,5,9號有d種涂法；第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種 涂法;第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法由分步乘法原理知共有3怡怡=108種涂法總結提高分類加法計數原理和分步乘法計數原理回 答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數 的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數原理是完成 一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何 一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事； 分步乘法計數原理是完成一件事要分若干步，步 驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中 任何一步都不能完成這件事，只有當各個步驟都 完成之后，才能完成該事件

16、因此，分清完成一 件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個 基本計數原理的基礎oshho +: +R+ PIP + +。+ PIP + :+M+R+p s OS OCOIL 9(68才99臭段艾9OL 2X8IX臭段艾咚9 + LX臭段艾9】。9+ :+p+p S角Qd (L)麻芒【二電】X+ -8瓣44EB軟如輛卯軟一胚岳詡最罡變亙M【點撥】在使用排列數公式Am=n!(n m) !行計算時，要注意公式成立的條件： m n N+,me n.另外，應注意組合數的性質的靈活運用【變式訓練1】解不等式a 6a9 2【解析】原不等式9!即(9 x) !9!611 X)!，1也就是（9齊(11 x)?

17、(10 x)?9 x)! 52化簡得 x 21x+ 1040,解得xv 8或x 13，又因為2x 9,且所以原不等式的解集為234,5,6,7.題型二有限制條件的排列問題【例2】3男3女共6個同學排成一行.(1) 女生都排在一起，有多少種排法？(2) 女生與男生相間，有多少種排法？(3) 任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？(4) 3名男生不排在一起，有多少種排法？(5) 男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種 排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4 個元素的全排列，有A4種排法.又3名女生內部 可有A種排法，所以共有A A= 144種排法.(2)

18、 男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共 有2A - A = 72種排法.(3) 女生先排，女生之間及首尾共有 4個空隙，任取其中3個安插男生即可，因而任何兩個 男生都不相鄰的排法共有 A A4= 144種.(4) 直接分類較復雜，可用間接法.即從6個 人的排列總數中，減去3名男生排在一起的排法 種數，得3名男生不排在一起的排法種數為 A6 A3Ai = 576 種.(5) 先將2個女生排在男生甲、乙之間，有A2種排法.又甲、乙之間還有A2種排法.這樣就有 A A種排法.然后把他們4人看成一個元素(相 當于一個男生)，這一元素及另1名男生排在首 尾，有A

19、2種排法.最后將余下的女生排在其間， 有1種排法.故總排法為AeAeAe= 24種.【點撥】排列問題的本質就是 “元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主 要表現在：某些元素“排”或“不排”在哪個位 子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”對于這 類問題，在分析時，主要按照“優(yōu)先”原則，即 優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰” 問題可用“插空法”對于直接考慮較困難的問 題，可以采用間接法【變式訓練2】把1,2,3,4,5 這五個數字組 成無重復數字的五位數，并把它們按由小到大的 順序排列構成一個數列.(1) 43 251是這個數列的第幾項？(2

20、) 這個數列的第97項是多少？【解析】(1)不大于43 251的五位數A - (A4+ A3+ A2) = 88個，即為此數列的第88項.(2) 此數列共有120項，而以5開頭的五位 數恰好有A4= 24個，所以以5開頭的五位數中 最小的一個就是該數列的第97項，即51 234.題型三 有限制條件的組合問題【例3要從12人中選出5人去參加一項 活動.(1) A, B, C三人必須入選有多少種不同選 法？(2) A, B, C三人都不能入選有多少種不同 選法？(3) A, B, C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4) A, B, C三人至少一人入選有多少種不同選法？(5) A, B, C三人

21、至多二人入選有多少種不 同選法？【解析】(1)只須從A, B, C之外的9人中 選擇2人，C9= 36種不同選法(2) 由A, B, C三人都不能入選只須從余下 9人中選擇5人，即有6= 6= 126種選法.(3) 可分兩步，先從 A, B, C三人中選出1 人，有d種選法，再從余下的9人中選4人，有 C9種選法，所以共有 C - C4= 378種選法.(4) 可考慮間接法，從12人中選5人共有 戊種，再減去A, B, C三人都不入選的情況C9, 共有C52- C9= 666種選法.(5) 可考慮間接法，從12人中選5人共有 戊種，再減去A, B, C三人都入選的情況C2種， 所以共有 出C9

22、 = 756種選法.【點撥】遇到至多、至少的有關計數問題,可以用間接法求解對于有限制條件的問題，一般要根據特殊元素分類【變式訓練3】四面體的頂點和各棱中點共有10個點(1) 在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？(2) 在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個點共面的取法可分三類 第一類：在同一個面上取，共有4C4種；第二類： 在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點， 共有6種；第三類：在六條棱的六個中點中取， 取兩對對棱的4個中點，共有6= 3種.故有69(2)用間接法.共Clo 69= 141種.解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1) 正確選擇原理，確定分類或分步計數;(2) 特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) 再考慮其余元素或其余位置.12.3 二項式定理典例精析題型一二項展開式的通項公式及應用【例1】 已知(坂圧)的展開式中，前三項 系數的絕對值依次成等差數列.(1) 求證：展開式中沒有常數項；(2) 求展開式中所有的有理項.【解析】由題意得2cn 1 = 1+c2 (-2)2,即 n 9n+ 8= 0,所以 n= 8, n= 1(舍去).所以Tr + 1= C8(仮)8(務)r8 rr=(2) c8 x刁rr16 3r=(1) C8 xF(o r 8, r Z).16 3r(1) 若Tr +1是常數項，則4= 0, 即卩163r =