八年級上冊一次函數(shù)經(jīng)典例題

1、 一次函數(shù)復(fù)習(xí)課 知識點1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念 若兩個變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，11x等都是一次函數(shù)，y=xy=，y=-x都是正比例函數(shù). y=-x+2， 22【說明】 （1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù)，但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定. （2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù). （3）

2、當(dāng)b=0，k0時，y= kx仍是一次函數(shù). （4）當(dāng)b=0，k=0時，它不是一次函數(shù). 知識點2 函數(shù)的圖象 把一個函數(shù)的自變量x與所對應(yīng)的y的值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點、連線 知識點 3一次函數(shù)的圖象 由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b 由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時，只要描出適合關(guān)系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點b（-，0）.但也不

3、必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時，只要描出點（0， k0），（1，k）即可. 知識點4 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的性質(zhì) （1）k的正負(fù)決定直線的傾斜方向； 1 / 20 k0時，y的值隨x值的增大而增大； kO時，y的值隨x值的增大而減小 （2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）； （3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點的位置； 當(dāng)b0時，直線與y軸交于正半軸上； 當(dāng)b0時，直線與y軸交于負(fù)半軸上； 當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點，是正比例函數(shù) （4）由于k，b的符號

4、不同，直線所經(jīng)過的象限也不同； 如圖1118（l）所示，當(dāng)k0，b0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）； 如圖1118（2）所示，當(dāng)k0，bO時，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）； 如圖1118（3）所示，當(dāng)kO，b0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）； 如圖1118（4）所示，當(dāng)kO，bO時，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限） （5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個單位得到

5、的 知識點5 正比例函數(shù)y=kx（k0）的性質(zhì) （1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點； （2）當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大； （3）當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小 知識點6 點P（x，y）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系 00（1）如果點P（x，y）在直線y=kx+b的圖象上，那么x,y的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b； 0000 2 / 20 （2）如果x，y是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x，y為坐標(biāo)的點P（1，00002）必在函數(shù)的圖象上 例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P

6、（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因為當(dāng)x=2時，y=3，所以點P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上 知識點7 確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件 （1）由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個待定 系數(shù)k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值 （2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值 知識點8 待定系數(shù)法 先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待

7、定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù) 知識點9 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟 （1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b； （2）將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）； （3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式 例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式 解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+b（k0）， 由題意可知， 3 / 20 1?2k?b,? ?3?k?b,?4?k?,? ?3解 ?5?.?b? 3?45此函數(shù)的關(guān)系式為y= ?x 33【說明】 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式y(tǒng)

8、=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定系數(shù)k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）. 思想方法小結(jié) （1）函數(shù)方法 函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進而解決有關(guān)問題的方法函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題 （2）數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用 知識規(guī)

9、律小結(jié) （1）常數(shù)k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響 當(dāng)b0時，直線與y軸的正半軸相交； 當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點； 當(dāng)b0時，直線與y軸的負(fù)半軸相交 b當(dāng)k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交； k 4 / 20 b=0時，直線經(jīng)過原點； 當(dāng)b=0時，即- kb x軸負(fù)半軸相交k，b同號時，即-0時，直線與當(dāng) k當(dāng)kO，bO時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限； 當(dāng)k0，b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限； 當(dāng)bO，bO時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限； 當(dāng)kO，b0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限； 當(dāng)kO，b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限； 當(dāng)bO，bO時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限 （2）直線y

10、=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系 直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0) 當(dāng)b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b； 當(dāng)bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b （3）直線b=kx+b與直線y=kx+b（k0 ，k0）的位置關(guān)系 22121211?y與yk相交； k2211k?k?21?y與y相交于y軸上同一點（0，b）或（； 0，b）?2211b?b?12k?k,?21?y與y平行； ?21b?b?21k?k,?21?y與y重合. ?21b?b?12 5 / 20 典例講解 基本題 本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函

11、數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件 例1 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？ 12x； （2）y=-； （3）y=-3-5x； （1）y=- x2122. 6）y=x(x-4)-xy=6x- ； （5） ）（4y=-5x（ 2 基礎(chǔ)應(yīng)用題 本節(jié)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用主要包括：（1）會確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；（2）會畫一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；（3）利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題；（4）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式 例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長05cm，寫出

12、掛上物體后，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x(kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù) 6 / 20 學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時，則火車離庫爾勒的距離s（千米）與行駛時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是 . 2-5t+100M=t（時）的函數(shù)：時的溫度M（）是時間t4例4 某物體從上午7時至下午（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度為 例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7. （1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)x=4時，求y的值； （3）當(dāng)

13、y=4時，求x的值 7 / 20 例6 若正比例函數(shù)y=（1-2m）x的圖象經(jīng)過點A（x，y）和點B（x，y），當(dāng)x11212x時，yy，則m的取值范圍是（ ） 212AmO Bm0 1DCm m M 2 學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元 （1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）畫出函數(shù)的圖象； （3）求5年后的產(chǎn)值 例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達(dá)式 8 / 20 例8 求圖象經(jīng)過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式 綜合應(yīng)用題 本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識的綜合應(yīng)

14、用；（2）與不等式知識的綜合應(yīng)用；（3）與實際生活相聯(lián)系，通過函數(shù)解決生活中的實際問題 例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例 （1）y是x的一次函數(shù)嗎？請說明理由； （2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？ 9 / 20 例9 某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費，然后每通話1分，再付電話費04元；“神州行”使用者不交月租費，每通話1分，付話費06元（均指市內(nèi)通話）若1個月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費用分別為y元和y元 21（1）寫出y，y與x之間的關(guān)系； 21（2）一個月內(nèi)通話多少分時，兩種通訊方式的費用相同？ （3）某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200

15、元，則選擇哪種通訊方式較合算？ 例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0 （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）畫出函數(shù)的圖象； （3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時，y0？ （4）若點（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值； （5）設(shè)點P在y軸負(fù)半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且S=4，ABP求P點的坐標(biāo) 10 / 20 2+18. x-2k（3-k）例11 已知一次函數(shù)y=（1）k為何值時，它的圖象經(jīng)過原點？ （2）k為何值時，它的圖象經(jīng)過點（0，-2）? （3）k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x？ （4）k為何值時，y隨x的增大而減?。?例12 判斷三點A（

16、3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上 11 / 20 探索與創(chuàng)新題 主要考查學(xué)生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用 例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問題： （1）x從0開始逐漸增大時，y=2x+8和y=6x哪一個的函數(shù)值先達(dá)到30？這說明了什么？ （2）直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？ 甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30，說明y=6x比y=2x+8的值增長得快” 乙生說：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的” 你認(rèn)為這兩個同學(xué)的說法正確嗎？ 例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅

17、行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價優(yōu)惠”乙旅行社說：“所有人按全票價的6折優(yōu)惠”已知全票價為240元 （1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費為y元，乙旅行社的收費為y元，分別表乙甲示兩家旅行社的收費； （2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠 12 / 20 學(xué)生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元 （1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系

18、式，并寫出自變量X的取值范圍； （2）當(dāng)購買量在什么范圍時，選擇哪種購買方案付款少？并說明理由 例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5y-2，則這個函數(shù)的解析式為 . 13 / 20 中考試題預(yù)測 例1 某地舉辦乒乓球比賽的費用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場地等固定不變的費用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當(dāng)x=20時y=160O；當(dāng)x=3O時，y=200O （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）動果有50名運動員參加比賽，且全部費用由運動員分?jǐn)?，那么每名運動員需要支付多少元？ 例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=

19、-4時，y的值為9；當(dāng)x=2時，y的值為-3 （1）求這個函數(shù)的解析式。 （2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖象 14 / 20 例3 如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距某項研究表明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)，下表是測得的指距與身高的一組數(shù)據(jù) 20 21 22 23 d/cm 指距187 169 160 178 h/cm 身高（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量d的取值范圍） （2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？ 例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（ ） 15 / 20 例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過第二象限；（2）圖象經(jīng)過點（2，-5）.請你寫出一個同時滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式： 例6 人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08（220-a） （1）正常情況下，在運動時一個16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高