完整word版二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)

1、 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié) 一、二次函數(shù)概念： 2y?ax?bx?ca，b，c0?a（是常數(shù)，二次函數(shù)的概念：一般地，形如 1）的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式一定是整式 2y?ax?bx?c的結(jié)構(gòu)特征： 2. 二次函數(shù)xx的最高次數(shù)是2等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式， b，ca，bca 是常數(shù)項(xiàng)是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)， 是一次項(xiàng)系數(shù)，例題： m2 +1+5x3是二次函數(shù)，求m的值。例1、已知函數(shù)y=(m1)x 22+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則my=(m的取值范圍+2m7)x 練習(xí)、若函數(shù) 為 。 二、二次函數(shù)的基本形式 2ax?y 的性質(zhì)：

2、1. 二次函數(shù)基本形式： 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a 的符號(hào) a 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱 軸 性質(zhì) 0?a 向上 ? 00， 軸 y 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，y0?0 xxx隨的增大而減小；時(shí)，有最小yy0 x?x值 0 0a? 向下 ? 0，0 軸 y 時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，y0 xx?0?x隨的增大而增大；時(shí)，有最大yy0?xx值 0 2. 的性質(zhì)： 2cy?ax?上加下減。 的符號(hào) a 開口方向 頂點(diǎn)坐 標(biāo) 對(duì)稱 軸 性質(zhì) 0a? 向上 ? c，0 軸 y 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，y0 x?0?xx隨的增大而減??；時(shí)，有最小yy0?xx值 c 0a? 向下 ? c，0 軸y

3、時(shí)，的增大而減小；時(shí)，隨y0 x?0?xx有最大時(shí)，隨的增大而增大；yy0 x?x 值c 2? 3. 的性質(zhì)：ha?xy? 左加右減。 的符號(hào)a 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱 軸 性質(zhì) 0?a 向上 ? 0，h X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，yh?x?hxx有最小時(shí)，隨的增大而減??；yyhx?x 值0 0?a 向下 ? 0h， X=h 時(shí)，的增大而減??；時(shí)，隨yhx?x?hx有最大時(shí)，隨的增大而增大；yyh?xx 值0 2? 4. 的性質(zhì)：kh?x?y?a 的符號(hào) a 開口方向 y=a 頂點(diǎn)坐標(biāo) 2)x-h(向上 對(duì)稱 軸(k0)【或下 性質(zhì) 2+k)y=a(x-h個(gè)單位|k|k0)【或向下(k

4、0)】平移|k|個(gè)單位 22ky=ax+y=ax 】0)【或左向右】0)【或左向右】h(0)【或左向右個(gè)單位 |k|平移 個(gè)單位|k|平移個(gè)單位|k|平移 】0)【或下(k向上(k個(gè)單位|k|平移 2. 平移規(guī)律 值正上移，負(fù)下移” 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；kh 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二： 22c?bxbx?cy?y?axax? 變成沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，my22m?axc?axbx?bx?c?myy （或）22cbx?ax?y?ax?bxcy變成沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，m22c?m)?b(x)y(x?m)?c?a(x?mmay?(x?)b?

5、）（或2 的圖象和性質(zhì)例題：+bx+c函數(shù)y=ax2 。拋物線y=x的對(duì)稱軸是+4x+91 2 。 ，y=2x2拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是12x+25的開口方向是 通過配方，寫出下列函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：3112224 +x xy=3 2+8x）（；y=1（） x2x+1 2y=3x；（） 42 2+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，在向下平移2個(gè)單位，所得4、把拋物線y=x 23x+5，試求b、c 圖象的解析式是y=x的值。 2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向上平移y=2x3個(gè)單位， 5、把拋物線 問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。 2? 的比較與四

6、、二次函數(shù)2k?hx?y?acbxy?ax?2?是兩種不同的表達(dá)形式，后者與從解析式上看，2k?x?y?ahc?y?axbx?222b?b4acbb4ac? 通過配方可以得到前者，即，其中?ax?y?k?，h? a42aa42a?五、二次函數(shù)圖象的畫法 2cbx?ax?y五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，22k?x?hbx?c)y?ay?ax(?確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)?軸的交點(diǎn).一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與關(guān)于畫圖、以及00，c，cy?軸的交點(diǎn)軸沒有交點(diǎn)，對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與（若與xc0，2hx，0，xx12則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

7、畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸yx的交點(diǎn). 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 2c?bxy?ax?2?b4ac?bb 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，?0a?x? 2a4a2a?bb時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)當(dāng)yyxx?x?x? 2a2a2bac?4b 時(shí)，有最小值y?x? 4a2ab，頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為 2. 當(dāng)0?a?x? 2a2?b?b4acbb時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增當(dāng)yy，?xxx?x? 4a2aa22a?2b?4acb大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值 y?x 4a2a 2 的圖象與性質(zhì)例題：函數(shù)y=a(x

8、h) 1填表： 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo)拋物線 對(duì)稱軸 ?2 2?y?3x 1 ?23?xy?2 12 的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)（開口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增3) 試說明函數(shù)y= (x22 減性、最值）。 12的圖象如圖：已知a = ，OA3二次函數(shù)y=a(xh)OC，試求該拋物線的解 2 析式。 二次函數(shù)的增減性 26x+5，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng)x 2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)已知函數(shù)2.y=4xx 2時(shí)，y 隨x的增大而減少；則x1時(shí),y的值為 。 2(m+1)x+1，當(dāng)x1時(shí)，y隨3.已知二次函數(shù)y=xx的增大而增大，則m的取值范圍是 . 152+3x+ 的圖象上有三點(diǎn)A(x,y),B(x,y

9、),C(x4.已知二次函數(shù)y= x,y)且313122223xx0,b0,c=0 A.a0,b0,c0 D.a0,b0,c0,b -2a B Aa+b+c 0 c 0 2 3.拋物線y=ax，有以下結(jié)論：+bx+c中，b4a，它的圖象如圖32；其中正確的為-4ac0 abc 0 a-b+c 0 b； c0 （ ） D C A B 2在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能y=ax是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)+bx+c4.當(dāng)bbc，且aby5.已知二次函數(shù)axbx( ) 是圖所示的 yyyy Ox1OxO 1Ox1x1 ADBC 224ac， 2ab，abccaxbx的圖象如圖5所示，那么，b 6二次函數(shù)y

10、 abc 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) c2 (a 0 x的圖象大致為圖中的（ ） A B C D 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式； 3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式； x4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式 例題：函數(shù)解析式的求法 2+bx+c，然后解三一、已知

11、拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax元方程組求解； 1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三點(diǎn)，求該二 次函數(shù)的解析式。 2已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)且BC5，求該二 次函數(shù)的解析式。 二、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn)2+k求解。h) 時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x3已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），且經(jīng)過點(diǎn)（2，8），求該二 次函數(shù)的解析式。 4已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），且經(jīng)過點(diǎn)P（2，0）點(diǎn)，求二 次函數(shù)的解析式。 三、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析

12、式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx)(x1x)。 25二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值8，求該二次 函數(shù)的解析式。 九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 x 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 22c?bxy?axaxy?bx?cx22? 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；kh?k?y?a?xy?ax?hx 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 y 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 22ycbxy?axaxy?bxc?22? 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；kak?yaxh?y?x?hy 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 22c

13、?bxy?axy?ax?bx?c22? ；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 kx?hx?hk?y?ay?a 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180） 4. 2b 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；22c?bx?y?ax?bx?cy?ax? a222? 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是k?khy?ay?axx?h?關(guān)于點(diǎn) 5. 對(duì)稱 mn，2?點(diǎn)關(guān)于解析式是對(duì)稱后，得到的kha?x?y?m，n2? knm?a2x?h?2y? 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便a 運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確

14、定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式 十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）： x一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊22c?bxy?ax?0?bx?c?ax0?y情況. 圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： x?其中的軸交于兩點(diǎn)時(shí)，圖象與， 當(dāng)2，xA，B0 x0，0?4ac?b?)x(x?x1221?的兩根這兩點(diǎn)間的距離是一元二次方程200?aax?bx?c?xx，21 2?4acb. AB?x?x? 12a 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 0?x 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有

15、交點(diǎn). 0?x 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 0?y0a?1xx 時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有當(dāng)0?y0?a2xx2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 2ycbx?y?ax?)c(03. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； x求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂 點(diǎn)式；的符號(hào)，或由二次， 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，2cbxy?ax?bca 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；函數(shù)中，bca二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的 . 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，

16、可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x本身就是與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式 20)?(aaxc?bx?時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一所含字母的二次函數(shù)；下面以0?ax 元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： 拋物線可一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)與軸二次三項(xiàng)式的值0?x 正、可零、可負(fù) 根有兩個(gè)交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)為項(xiàng)式的值拋物線與軸二次三0?x 數(shù)根非負(fù) 只有一個(gè)交點(diǎn) . 恒一元二次方程無實(shí)數(shù)根拋物線與軸二次三項(xiàng)式的值0?x 為正 無交點(diǎn) 軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）例題：二次函數(shù)與x軸、y2 4xc圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c1. 如果二次函數(shù)y

17、x （寫一個(gè)即可）2 軸交點(diǎn)之間的距離為 x-2x-3圖象與x2. 二次函數(shù)y2( ) x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2x1 3.拋物線y3x的圖象與 有三個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn) C.有兩個(gè)交點(diǎn) D. B. A.沒有交點(diǎn)2軸于交y 兩點(diǎn)，如圖所示，二次函數(shù)yx4x3的圖象交x軸于A、B 4. ( ) 的面積為 點(diǎn)C，則ABCC.3 D.1 A.6 B.4 2它們的距離y軸同側(cè)，與1)xmx軸的兩個(gè)交點(diǎn)在5x 5.已知拋物線y(m49( ) 的值為 平方等于為 ，則m25 D.48 C.24 A. 2 B.12 2 6. 已知拋物線，x-2x-8y x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；1（）求證：該拋物線與的PBAx2（）若該拋

18、物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，且它的頂點(diǎn)為，求ABP 面積。 十一、函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)應(yīng)用 剎車距離?何時(shí)獲得最大利潤?最大面積是多少? 二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對(duì)稱軸位置,符號(hào)反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。 二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號(hào)最簡便，x軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b同號(hào)軸左邊拋物線平移a不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。 例題：二次函數(shù)應(yīng)用 (一）經(jīng)濟(jì)策略性 1.某商店購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價(jià)格X的一次函數(shù). (1)試求y與x的之間的關(guān)系式. (2)在