高等代數(shù)習(xí)題課n階行列式的計(jì)算

1、 箭形行列式箭形行列式 行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式 遞推公式法遞推公式法 加邊法（升級法）加邊法（升級法） 拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 （一）箭形行列式（一）箭形行列式 012 11 122 ,0,1,2,3. n ni nn abbb ca dainca ca 解：把所有的第解：把所有的第 列列 的的 倍加到倍加到(1, )in i i c a 1i 第第1列，得：列，得： 1120 1 () n ii nn ii bc da aaa a 可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式：可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式： 1 2 111 111 1),0,1,2,3. 1 11 i n a a

2、ain a 1 2 2),0,1,2,3. i n axx x ax ain x xa （把第（把第 i 行分別減去第行分別減去第1行，行， 即可轉(zhuǎn)為箭形行列式）即可轉(zhuǎn)為箭形行列式） （二）行（列）和相等的行列式（二）行（列）和相等的行列式 1) a bb b ab d ba 12 (1) (1) (1) n anb bb anb ab ccc anb ba 解：解：d 1 1 (1) 1 bb ab anb ba 1 1 00 (1) 2,3, 00 i bb rr ab anb in ab 1 ()(1) n abanb 12 31 23 41 2) 1132 1 222 nn n d n

3、nnn nnn 1 2 31 1 3 41 (1) 2 1132 1 1 221 nn n n n d nnn nn 解解 1 12 21 1231 01111 (1) 2 01111 0 1111 nn nn rr rr rr nn n n n n n 1 111 1 (1) 1111 2 1111 n n n n n n 1 1 1111 (1) 00 2,312 00 i n n rrn n nn in nn 112 1 1111 (1) 000 2 000 nn n n n n ccc n (1)(1) 2 2 (1) ( 1)( 1)() 2 nn n n n n (1)1 2 (1

4、) ( 1) 2 n nn nn （三）升級法（加邊法）（三）升級法（加邊法） 112 122 1 2 12 ,0 n n nn nn abaa aaba db bb aaab 12 112 122 12 1 1 0 0 0 n n nn nn n aaa abaa daaba aaab 解：解： 1) 12 1 1 2 1 100 (2,31) 1 00 1 00 n i n aaa b rr in b b 1 2 1 (1). n i n ii a b bb b 1 1 1 1 1 1 00 (1,21) 00 n i n ii i i n a aa b c b cin b b （四）（四

5、）遞推公式法遞推公式法 000 100 0100 . 000 0001 n abab abab ab d abab ab 1 12 c () nnn dab dabd 按按 展開展開解解 2 11221 ()() n nnnn dadb dadbdad 2 11221 ()() n nnnn dbda dbdadbd 2222 1 (); nn nn dadbaabbaabb 2222 1 (). nn nn dbdaaabbaaba 11 (1) nn n n ab ab d ab naab 由以上兩式解得由以上兩式解得 22 21 ,daabbdab 而而 行列式的值求出行列式的值求出 的

6、值）的值） d （先將行列式表成兩個低階同型的行列式的線形（先將行列式表成兩個低階同型的行列式的線形 關(guān)系式，再用遞推關(guān)系及某些低階（關(guān)系式，再用遞推關(guān)系及某些低階（2 2階，階，1 1階）階） （五）拆項(xiàng)法（五）拆項(xiàng)法（主對角線上、下元素相同主對角線上、下元素相同） 1 2 1) n n axaa aaxa d aaax 1 2 1 00 00 000 nn xa xa x d a 11 22 0 0 n nn axaaaxaa aaxaaaxa d aaaxaaa x 解：解： 1211nnnn dx xxax d 112212,nnnn dx xxaxd 繼續(xù)下去，可得繼續(xù)下去，可得 1

7、11221231nnnnnnn daxxax xxxax xxxx 1241341321nnnn ax x xxax x xxx xx x d 1211221323 () nnnnn a x xxx xxxx xxx xx 1212 1 1 0 (1) n nnn ii x xxdx xxa x , , 當(dāng)當(dāng) 時時 212323,nnnn dx xxaxd 12n x xx 1 (1) 1 0 0 n n n aa axa d aax 1 1 1 1 n aa xa x 當(dāng)當(dāng) 時時也可以用加邊法做：也可以用加邊法做： 0(1,2) i xin 1 1 1 1 0 0 n ii n n aaa

8、x d xa x 12 1 1 (1) n n ii x xxa x 將第 i列乘以 加到第一列上i=2、3、n+1 1 i x （六）（六） 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 例、證明：例、證明： 1 2 12 111 1 111 (1) 111 nn i n a a da aa a a 證：當(dāng)證：當(dāng) 時，時， ，結(jié)論成立，結(jié)論成立 111 1 1 1(1)daa a 1n 12 1 1 (1) k kk ii da aa a 假設(shè)假設(shè) 時結(jié)論成立，即，時結(jié)論成立，即，nk 11 22 1 11101111 11101111 0 111 10111 11 111111111 kk k aa aa aa

9、a 1 2 1 1 1111 1111 111 11 11111 k k k a a d a a 對對 ，將，將 按最后一列拆開，按最后一列拆開，1nk 1k d 12112 1 1 (1) k kkk ii a aaaa aa a 1 121 1 1 (1) k k ii a aa a 所以所以 時結(jié)論成立，故原命題得證時結(jié)論成立，故原命題得證1nk 1 2 1 00 0 00 0 0 0000 1111 1 kk k a a ad a 121kkk a aaad 121 212 12 12 0 0 ,0 0 n n nn nn aaaa aaaa da aa aaaa 練習(xí)練習(xí)1、計(jì)算、計(jì)

10、算 21 121 122 12 1 00 00 00 n n nn nn aaa aaaa daaaa aaaa 解解 121 212 12 12 0 0 ,0 0 n n nn nn aaaa aaaa da aa aaaa 練習(xí)練習(xí)1、計(jì)算、計(jì)算 21 121 122 12 1 00 00 00 n n nn nn aaa aaaa daaaa aaaa 解解 12 11 22 1 2 10111 01 1200 1020 (3,42) 1002 n i nn n aaa aa aa cc in aa 1 22 1 (3,42) 2 1 (1,2) 2 i j j cc in ccjn a

11、 12 1 2 2 11 1111 22 11 1 22 00200 00020 00002 i n i n n n a n aaa a a a a 1 11 1 22 ( 2) 1 1 22 n i n i n a aa n a 22 12 ,1 ( 2)(2) n n i n i jj a a aan a 9 50 0 4 9 50 0 4 90 0 09 5 0 04 9 n d i 112 1 5 00 4 9 5 c 94920, 5 4 9 nnnn n dddd 按按 行行展展 開開 解：解： 即有即有 112 54(5), nnnn dddd 于是有于是有 練習(xí)練習(xí)2、計(jì)算、計(jì)

12、算 同理有同理有 2 123 45 (4) nnnn dddd 22 21 5(4)5(6136)5 nnn dd 11 1 1 54 54 45 n nn nn n n nn dd d dd 即即 22 12321 54 (5)4(5) n nnnn dddddd 2 4(6145)4 , nn n abbb cabb dccab ccca 1 1 1 ()1 1 n n bbb abb cac dcab cca 0 0 0 n cbbbac bbb cabbabb dccabcab cccacca 解解 練習(xí)練習(xí)3、計(jì)算、計(jì)算 1 1 000 ()00 0 n n bbb ab cac dcb ab cb cbab 1 1 ()() n n c