排列、組合、二項式定理、概率與統(tǒng)計1

1、第15講排列組合二項式定理和概率一、知識整合二、考試要求：1 掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題2 理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題3理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單 的應用問題4 掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題5了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義6.了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件 的概率.7了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事 件的概率乘法公式計算一些事

2、件的概率&會計算事件在 n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生 k次的概率.I、隨機事件的概率例1某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0, 1, 2,，9中的6個數字組成.(1) 某人隨意按下6個數字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？(2) 某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數字，的概率是多少？解(1)儲蓄卡上的數字是可以重復的，每一個隨意按下一個數字進行試驗，按對自己的密碼9這10種，正確的結果有1種，其概率為6位密碼上的每一個數字都有 0, 1, 2，,16 ,隨意按下6個數字相當于隨意按下106106 個,隨意按下6個數字相當于隨意按下106個密碼之一，其概率是 以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前

3、提下,能性的結果為0, 1 , 2,，9這10種，正確的結果有1種,1而.隨意按下一個數字，1其概率為.10等可例2 一個口袋內有 m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率 是多少？(用組合數表示)解 設事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應集合11,事件A是“從m個 白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(l 1)=Cmn，Card(A)二C； C；,于是2 1Card(A) Cm GCard(IJ臨n、互斥事件有一個發(fā)生的概率例3在20件產品中有15件正品，5件次品，從中任取 3件，求:(1)恰有1件次品的概率；

4、(2)至少有1件次品的概率.3 2 1解(1)從20件產品中任取3件的取法有C20，其中恰有1件次品的取法為C15C5。恰有一件次品的概率cc1155P= 廠C；03576(2)法一 從20件產品中任取3件，其中恰有1件次品為事件 A,恰有2件次品為事件 A, 3件全是次品為事件 A則它們的概率p(ai)=率=105C；0228p(2 c5c15c2o2228P(A3)=ctC202228而事件Ai、a、a彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A+A)=P(A 1)+P(A2)+P(A 3)=法二 記從20件產品中任取3件,137228 .3件全是正品為事件A,那么任取3件，至少

5、有1件次品為A，根據對立事件的概率加法公式p( A)=i _卩(人)=1_密=旦C20228例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1畐酰好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.解 從52張牌中任取4張，有C；2種取法“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“ 4張全是黑桃”,共有c；3 c；9 c|3種取法.Cl3 C39 Cl3452注研究至少情況時，分類要清楚。川、相互獨立事件同時發(fā)生的概率例5獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離 150米.如果第二次射擊又未中，則獵人進行第

6、三次射擊，并且在 發(fā)射瞬間距離為 200米.已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的 概率1 1k解 記三次射擊依次為事件 A, B, C,其中P(A) ,由 P(A) 2，求得k=5000。2 2 1005000 25000 1 P(B) 2,P(C)2,命中野兔的概率為150292002 8P(A) P(A B) P(A B C)二 P(A) P(A) P(B) P(A)P(B)P(C)95144例6要制造一種機器零件，甲機床廢品率為0.05，而乙機床廢品率為 0.1，而它們的生產是獨立的，從它們制造的產品中，分別任意抽取一件，求：(1 )其中至少有一件廢品的概率；(2)其中

7、至多有一件廢品的概率.解：設事件A為“從甲機床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機床抽得的一件是廢品”.則 P (A) =0.05, P(B)=0.1,(1 )至少有一件廢品的概率P(A B) =1 -P(A B) =1 - P(A) P(B) =1 -0.95 0.90 =0.145(2 )至多有一件廢品的概率P = P(A B A B A B) = 0.05 0.90.95 0.10.95 0.9 二 0.995W、概率內容的新概念較多，本課時就學生易犯錯誤作如下歸納總結：類型一非等可能”與等可能”混同例1擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率.1錯解 擲兩枚骰子出現的點數之和2 , 3, 4

8、, , 12共11種基本事件，所以概率為P=11剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點數和2只有(1 , 1)，而點數之和為6有(1, 5)、(2, 4)、(3, 3)、(4, 2)、(5, 1)共5種.事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且5是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率為卩=衛(wèi).36類型二互斥”與對立”混同例2把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A .對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上均不對錯解 A剖析 本題錯誤的原因在于把互斥”與對立”混同，二者的聯系與區(qū)別主要體現在：(1)兩事件

9、對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能 發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生.事件 甲分得紅牌”與 乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生，所以應選C.類型三互斥”與獨立”混同例3甲投籃命中率為 0. 8，乙投籃命中率為 0.7,每人投3次，兩人恰好都命中 2次的概率 是多少？錯解 設 甲恰好投中兩次”為事件A,乙恰好投中兩次”為事件B,則兩人都恰好投中兩次為事件 A+B, P(A+B)=P(A)+

10、P(B) cfo.82 0.2 c；0.72 0.3 =0.825剖析本題錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為甲恰好投中兩次”與乙恰好投中兩次”的和.互斥事件是指兩個事件不可 能同時發(fā)生；兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影 響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關系，但所描繪的關系是根本不同.解： 設 甲恰好投中兩次”為事件A,乙恰好投中兩次”為事件 B,且A, B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB,于是P(A B)=P(A) X P(B)= 0.169四、高考題選講1甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其

11、中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.(2000年新課程卷)(I)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？(n)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?2如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)Ni、N2.當元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)Ni正常工作；當元件 A正常工作且元件 B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正 常工作已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng) N1、N2正常工作的概率Pi、P2. （2001年新課程卷）3某單位6個員工借助互聯網開展工作，每個員工上網的概率都是0.5 （相互獨立）（I）求至少3人同時上網的概率；

12、（H）至少幾人同時上網的概率小于0.3? （2002年新課程卷）4有三種產品，合格率分別是0.90, 0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗（I）求恰有一件不合格的概率;（n）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001 ）（2003年新課程卷）5.從10位同學（其中6女，4男）中隨機選出3位參加測驗.每位女同學能通過測驗的概率均4 3為4，每位男同學能通過測驗的概率均為-.試求：5 5（I）選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率；（n） 10位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率（2004年全國卷I ）解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨立事件和互斥事件的概率以及運用概

13、率知識 解決實際問題的能力，滿分 12分.解：(I)隨機選出的 3位同學中，至少有一位男同學的概率為(n)甲、乙被選中且能通過測驗的概率為CL 4 3 亠C105 512512分6.已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為 A、B兩組海組4支.求:(I) A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率;(n) A組中至少有兩支弱隊的概率.(2004年全國卷n )解: (I)解法一：三支弱隊在同一組的概率為1 6故有一組恰有兩支弱隊的概率為1-1-.77解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率(n)解法A組中至少有兩支弱隊的概率解法二：A B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至

14、少1有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為27某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分 假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響(I)求這名同學得 300分的概率；(n)求這名同學至少得 300分的概率.(2004年全國卷川)8. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(n)求所選3人中恰有1名女生的概率；(川)求所選3人中至少有1名女生的概率.(2004年天津卷)9. 某地區(qū)有5個工廠，由于用電緊缺

15、，規(guī)定每個工廠在一周內必須選擇某一天停電(選哪一天是等可能的)假定工廠之間的選擇互不影響(I)求5個工廠均選擇星期日停電的概率；(n)求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率.(2004年浙江卷)10. 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的 6題，乙能答對其中的 8題規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對 2題才算合格(I)分別求甲、乙兩人考試合格的概率；(n)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率(2004年福建卷)11. 甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙1機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的

16、零件是一等品而丙機床加工的零件412不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為129(I)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；(n)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率(2004年湖南卷)12. 為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用預防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費用(萬兀)90603010P)和所需費用如下預防方案可單獨采用一種預防措施或聯合采用幾種預防措施，在總費用不超過甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為120萬元提下，請確定一解：方案可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概

17、率最大，其概率為 方案2 :聯合采用兩種預防措施，費用不超過 可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為 方法3:聯合采用三種預防措施，費用不超過此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1 ( 1 0.8)個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大1 :單獨采用一種預防措施的費用均不超過綜合上述三種預防方案可知，在總費用不超過三種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大13.設甲、乙、丙三人每次射擊命中目標的概率分別為.(2004年湖北卷)120萬元.由表可知，采用甲措施，0.9.120萬元，由表可知.聯合甲、丙兩種預防措施1 (1 0.9)(1 0.7)=0.97.120萬元，故只能聯合乙、丙、丁三種預防措施

18、,(1 0.7)(1 0.6)=1 0.024=0.976.120萬元的前提下，聯合使用乙、丙、丁0.7、0.6 和 0.5.(I)三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標概率;的前(n)若甲單獨向目標射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.(2004年重慶卷)14從數字1, 2, 3, 4, 5,中，隨機抽取3個數字(允許重復)組成一個三位數，其各位數字之和等于9的概率為(D )A 13B.16C. 18D.1912512512512515 (本小題滿分12分)一接待中心有A、B、CD四部熱線電話，已知某一時刻電話AB占線的概率均為0.5 ,電話C、D占線的概率均為0.4 ,各部電話是否占線相互之間沒有影響假設該時刻有E部電話占線.試求隨機變量E的概率分布和它的期望.解：本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念.考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.” 2 2解：P( E =0)=0.5 X 0.6 =0.09.1 2 2 1 2P( E =1)=c2 X 0.5 X 0.6 +c； X 0.5 X 0.4 X 0.6 =0.3亠2 2 2亠1亠1 2 亠2 2 2P( E =2)= C2 X 0.5 X 0.6 +C2 C2 X 0.5 X 0.4 X 0.6+ C2 X 0.5 X 0.4