全等幾何模型講解

1、常見的幾何模型 一、旋轉(zhuǎn)主要分四大類：繞點(diǎn)、空翻、弦圖、半角。 這四類旋轉(zhuǎn)的分類似于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的分類 1. 繞點(diǎn)型（手拉手模型） 遇60旋60,造等邊三角形 （1）自旋轉(zhuǎn)：自旋轉(zhuǎn)構(gòu)造方法遇90旋90，造等腰直角 遇等腰旋頂角，造旋轉(zhuǎn)全等 遇中點(diǎn)旋1800，造中心對(duì)稱 囹(14)屮 圖(14) = 例題講解： 1. 如圖所示，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，PA=2 PB=2V3 , PC=4求厶ABC勺邊長 2. 如圖，0是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：/ AOB=115，/ BOC=125，則以線段 OA OB 0C為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少? 0 3. 如圖，P是正

2、方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 PA PD PC=1 2 : 3,則/ APD= 4. 如圖（2-1）: P是正方形ABCM點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為 PA=1, PB=2 PC=3 求此正方形 ABCDS積。 囲(2-1) （2）共旋轉(zhuǎn)（典型的手拉手模型） 共頂點(diǎn)等腰三角形 例題講解: 1. 已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為 邊作菱形ADEF按 A,D,E,F逆時(shí)針排列），使/ DAF=60 ,連接CF. ？如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：？BD=CF?AC=CF+CD. （2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不

3、變時(shí)，結(jié)論 AC=CF+C是否成立？若不 成立，請(qǐng)寫出AC CF CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；？ 如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出 AC CF CD 之間存在的數(shù)量關(guān)系 2. （13北京中考） 心 ABC中, AB=AC / BAC= ( 0 60 ），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得 到線段BD A (第24題圖1) A (1) 如圖1,直接寫出/ ABD的大小(用含 的式子表示); (2) 如圖2,Z BCE=150，/ ABE=60，判斷 ABE的形狀并加以證明; (3) 在(2)的條件下，連結(jié)DE若/ DEC=45，求 的值。 2. 半角模

4、型 說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和 為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。 例題: 1. 在等腰直角 ABCD的斜邊上取兩點(diǎn) M,N,使得/ MCN 45 ,記AM=m,MN=x,BN=n 求證以m, x, n為邊長的三角形為直角三角形 2. 如圖，正方形 ABC的邊長為1, AB,AD上各存在一點(diǎn)P、0,若厶APC的周長為2, 求 PCQ的度數(shù)。 D 3. E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且/ EAF 45 , AH EF , H為 4. 已知，正方形ABC中, Z MAN=4，/ MAh繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB

5、DC （或它們的延長線）于點(diǎn) M N, AHL MNT點(diǎn)H. （1）如圖，當(dāng)Z MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DW，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系： AH=AB （2）如圖，當(dāng)Z MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BWDN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成 立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明； （3）如圖，已知Z MAN=4，AHI MN于點(diǎn)H,且MH=2 NH=3求AH的長.（可利用（2） 得到的結(jié)論） 圖 圖 5. 已知：正方形ABC沖，Z MAN=4，Z MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB D C（或它們的延長線）于點(diǎn)M, N.當(dāng)Z MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=D時(shí)（如圖1），易證BM+

6、DN= N. 當(dāng)/MAh繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BWDN時(shí)（如圖2），線段BM DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 寫出猜想，并加以證明. 當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)直接寫出你的猜想. 6. （14房山2模）.邊長為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形EFGH勺兩邊DE、 DG上（如圖1），現(xiàn)將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋 轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交DF于點(diǎn)M ， BC邊交DG于點(diǎn)N . （1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積； （2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)（如圖2），求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)； （

7、3） 如圖3,設(shè)MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請(qǐng) 證明你的結(jié)論. 7. (2011石景山一模)已知：如圖，正方形ABCD中, AC BD為對(duì)角線，將/ BAC繞頂點(diǎn)A逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)a( 0VaV 45),旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交BD于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,交BC CD 于點(diǎn)E、點(diǎn)F,連接EF, EQ (1)在/ BAC的旋轉(zhuǎn)過程中，/ AEQ的大小是否改變？若不變寫出它的度數(shù)；若改 變，寫出它的變化范圍(直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明)； (2)探究人卩0與厶AEF的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明. 8. 已知在厶ABC中， ACB 90，CA CB 6、2，CD AB

8、于D，點(diǎn)E在直線CD 上, 1 DE CD，點(diǎn)F在線段AB 上, M是DB的中點(diǎn)，直線AE與直線CF交于N點(diǎn). (1)如圖1,若點(diǎn)E在線段CD上，請(qǐng)分別寫出線段AE和CM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān) 系: , ； (2)在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上，且AF 2FD時(shí)，求證： CNE 45 ; (3) 當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時(shí)，在線段AB上是否存在點(diǎn)F ,使得 CNE 45 .若 存在，請(qǐng)直接寫出AF的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由. 2 圖 備用圖 1 9. （2014 平谷一模 24） (1)如圖1,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD勺邊BC CD上的點(diǎn)，/ EAF=45，連接EF， 則EF、B

9、E FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BEfFD.連結(jié)BD,交AE AF于點(diǎn)M N,且MN BM DN滿足MN2 BM2 DN 2，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系； (2)在厶ABC中, AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn). 如圖2,當(dāng)/ BA(=60o,Z DA匡30時(shí)，BD DE EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是 1 如圖3,當(dāng)/BA(= , (0 90 )，/ DA匡丄 時(shí)，BD DE EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系 是.【參考：sin2cos21】 注意：2AM2 BM2 DM 圖1 圖2 (1)在正方形ABC中, AB=AQ / BAD=900 / ABM=Z ADN450 . 把厶ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到

10、ADM 連結(jié) NM .貝U DM BM , AM AM , ADM ABM 45 , DAM BAM . vZ EAF=450,aZ BAM/ DAN=45 , / DAM +/ DAI=45O , M AN MAN 45 . AMN 也 AMN . M N =MN 在DM N中, M DN ADN ADM 90 , M N2 DN2 DM 2 2 2 2 MN DN BM (2) DE2 BD2 BD EC EC2 ； DE2 BD2 2cos 2 BD EC EC 3. 空翻模型 ANBMMPDNMB 竺 MDG ACAQ22BPA 例題： 60 , 1. 如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊A

11、B所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN 射線MN與/ DBA外角的平分線交于點(diǎn)N , DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解析】猜測(cè)DM MN .過點(diǎn)M作MG / BD交AD于點(diǎn)G , AG AM ,二GD MB 又 I / ADM DMA 120 , / DMA / NMB 120 / ADM / NMB，而/ DGM / MBN 120, DGM 也 MBN , DM MN . 2. 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM且與/ ABC外角的平分線 交于點(diǎn)N , MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解析】猜測(cè)DM MN .在AD上截取AG AM , DG MB，二 / AG

12、M 45 /. Z DGM / MBN 135，/ ADM / NMB , DGM 也 MBN， DM MN . 3. 【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,ABC是等邊三角形，AEF 60，EF交等邊三角形外角平分線 CF所在的直線于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立； 【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究 AE EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思 想，通過驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn) E是直線BC（ B, C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不 變），結(jié)論AE=EF仍然成立. 假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn) E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線 段BC延長線上的任意一點(diǎn)” 點(diǎn)E是線段BC反向延長線

13、上的任意一點(diǎn)”三種情況 中，任選一種情況，在備用圖 1中畫出圖形，并進(jìn)行證明. A 【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，若CE= BC，在備用圖2中畫出圖形，并運(yùn) 用上述結(jié)論求出S ABC ：S aef的值. 4. 弦圖模型 外弦圖 內(nèi)弦圖 總統(tǒng)圖 例題: 1.兩個(gè)全等的30, 60三角板ADE,BAC如右下圖所示擺放，E、A、C在一條直線上，連 接BD,取 BD的 中點(diǎn)M 連接ME MC. (1)求證： EDM CAM ( 2)求證： EMC為等腰直角三角形. 2.如圖 ABC中，已知/ A=90, AB=AC, (1)D為AC中點(diǎn)，AE!BD于E,延長AE交BC于F,求證：/ ADB

14、M CDF 若D, M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2,連BD過A作AE1BD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連 MF判斷/ ADB與Z CMF的大小關(guān)系并證明. A 圏1 3. (14朝陽二模) 已知Z AB(=90, D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC (1)如圖1,過點(diǎn)A作AF! AB并截取AF=BD連接DC DF CF判斷 CDF的形狀并證 明; 求證BD=CE (2)如圖2, E是直線BC上的一點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P,且/AP=45 圖1圖2 、對(duì)稱全等模型 下圖依次是45、300、22.5 、150及有一個(gè)角是30直角三角形的對(duì)稱(翻折) 形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。 ，翻折成正

15、方 A B 例題: 1. 如圖 1,在厶 ABC 中，已知/ BAC=45 , ADI BC 于 D, BD=2 DC=3 求 AD 的長. 小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換如圖 1.她分別以AB AC為對(duì)稱軸, 畫出 ABD ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F,延長EB FC相交于G點(diǎn)，得到 四邊形AEGF是正方形.設(shè)AD=x利用勾股定理，建立關(guān)于 x的方程模型，求出x的值. 參考小萍的思路，探究并解答新問題: 如圖2,在厶ABC中, Z BAC=30，AD丄BC于 D, AD=4請(qǐng)你按照小萍的方法畫圖，得到四 邊形AEGF求厶BGC勺周長.（畫圖所用字母與圖1中的字母對(duì)應(yīng)） 圖1 A 2. 問題：已知 ABC中，/ BA(=2Z ACB 點(diǎn) D 是厶 ABC內(nèi)