2019年中考數(shù)學(xué)試題匯編：銳角三角函數(shù)選擇題(解析版)

1、1.（2019年湖南省湘西州）如圖，在線EF交AC于點D ,連接BD，若ABC 中，/ C = 90 ,cos / BDC =，貝y BC7AC = 12 , AB的垂直平分的長是（）【分析】設(shè)CD = 5x,B . 8BD =7x，則D . 2航BC = 2 :x，由AC = 12即可求x,進而求出 BC ;【解答】解：/ C = 90 , cos / BDC = 7設(shè) CD = 5x, BD = 7x ,/. BC = 2 x , AB的垂直平分線 EF交AC于點D ,AD = BD = 7x , AC = 12x,/ AC = 12 , x = 1 ,_ BC = 2;故選：D.【點評】

2、本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線段垂 直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2. （2019年廣東省廣州市）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度 BC為30m,斜坡的傾斜角是/ BAC,若tan/BAC =二，則此斜坡的水平距離 AC為（ ）A . 75mB . 50mC. 30mD. 12m【分析】根據(jù)題目中的條件和圖形，禾U用銳角三角函數(shù)即可求得AC的長，本題得以解決.9【解答】解：/ BCA = 90, tan/ BAC = , BC= 30m,5x2 EC 30 tan/ BAC =,5 AC AC解得，AC = 75,故選：A.【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)

3、用-坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意， 利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.3. （ 2019年湖南省益陽市）南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學(xué)在校外實踐活動中對此開展測量活動如圖，在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為a,大橋主架的頂端 D的仰角為已知測量點與大橋主架的水平距離AB = a,則此時大橋主架頂端離水面的高 CD為（ ）C. atan a+atan3acosa+acos 3【分析】在Rt ABD和RtA ABC 中,=BC+ BD = atan a+atan 3 即可.+tan CL tnP由三角函數(shù)得出 BC= atan a, BD = atan 3,得出CD【

4、解答】解：在 Rt ABD 和 Rt ABC 中，AB = a, tana=二，tan 3=:-AB BC= atan a, BD = atan 3, CD = BC+BD = atan a+atan 3;故選：C.【點評】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題; 關(guān)鍵.4. （2019年湖南省長沙市）如圖，由三角函數(shù)得出BC和BD是解題的是線段BE上的一個動點，則A . 2 ABC 中，AB= AC = 10, tanA= 2,E BD的最小值是(BE丄AC于點E, DD. 10RF【分析】 如圖，作DH丄AB于H , CM丄AB于M .由tanA= 2，設(shè)AE = a, BE = 2a,AE

5、利用勾股定理構(gòu)建方程求出a,再證明 DH = BD，推出CD+， BD = CD + DH，由垂55線段最短即可解決問題.【解答】解：如圖，作 DH丄AB于H , CM丄AB于M . sin/ DBH =弓=丄二=BD AB DH = BD,5 CD+ BD = CD + DH ,5 CD + DH CM , CD+ BD 4 匸，5 CD+ BD的最小值為5故選：B./ BE丄AC, / ABE = 90, tanA = _L= 2，設(shè) AE = a, BE = 2a,AE則有：100 = a2+4a2, a2= 20, a = 2三或-2 -（舍棄）， BE= 2a = 4，/ AB= A

6、C, BE 丄 AC, CM 丄 AC, CM = BE = 4 :（等腰三角形兩腰上的高相等）/ DBH = Z ABE,/ BHD = Z BEA,匹，【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.5. （2019年湖南省長沙市）如圖，一艘輪船從位于燈塔 C的北偏東60方向，距離燈塔60nmile 的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）北A . 30、.二nmileB. 60nmileC. 120nmileD. （30+30；）

7、 nmile【分析】過點 C作CD丄AB,則在Rt ACD中易得AD的長，再在直角 BCD中求出 BD，相加可得AB的長.【解答】解：過 C作CD丄AB于D點， / ACD = 30,/ BCD = 45, AC = 60.在 Rt ACD 中，cos/ACD =_,AC CD = AC?cosZ ACD = 60X_= 302在 Rt DCB 中，/ BCD = Z B = 45, - CD = BD = 30;, AB= AD + BD = 30+30 二.答：此時輪船所在的 B處與燈塔P的距離是（30+30 ;） nmile.故選：D.北I【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角

8、問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線.6. （2019年湖北省宜昌市）如圖，在 5 X 4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1 , ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin / BAC的值為（）C.【分析】過C作CD丄AB于D，首先根據(jù)勾股定理求出 出sin / BAC的值.AC,然后在 RtAACD中即可求【解答】解：如圖，過 C作CD丄AB于D，則/ ADC = 90, AC= . 一；|=7汀 I，-=5. sin/ BAC= CD=j4=故選：D.【點評】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.7.

9、（2019年江蘇省蘇州市）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀 CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為1&jm的地面上，若測角儀的高度是1.5m.測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30.則教學(xué)樓的高度是（）A牛磁CBA . 55.5mB . 54mC. 19.5mD. 18m【分析】根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解：過 D作DE丄AB,在D處測得旗桿頂端 A的仰角為30,/ ADE = 30 ,bc= DE = 18 二m, AE= DE?ta n30= 18m, AB= AE+BE= AE+CD = 18+1.5 = 19.5m,故選：C.【點評】此題考查了仰角的定義注意

10、能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解 此題的關(guān)鍵.8. （2019年浙江省杭州市） 如圖，一塊矩形木板 ABCD斜靠在墻邊（OC丄OB,點A, B, C, D ,0在同一平面內(nèi)），已知AB = a ,AD = b，/ BCO = x，則點A到OC的距離等于（）A . asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+ bcosxD. acosx+bsinx【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后利用銳角三角函數(shù)即可表示出點A到OC的距離，本題得以解決.【解答】解：作 AE丄OC于點E,作AF丄OB于點F ,四邊形ABCD是矩形，/ ABC= 90 ,/ ABC=Z AE

11、C ,Z BCO = x,/ EAB = x,/ FBA = x,AB= a, AD = b, FO = FB+BO= a?cosx+b?si nx, 故選：D.【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵 是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.9. （2019年浙江省臺州市）如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH , AB= EF = 2cm, BC =FG = 8cm.把紙片ABCD交叉疊放在紙片 EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點D與點G重合.當兩張紙片交叉所成的角a最小時，tan a等于（）D/G)【分析】由“ ASA”可證 CDM HDN ,可證M

12、D = DN ,即可證四邊形 DNKM是菱形，當點B與點E重合時，兩張紙片交叉所成的角 a最小，可求 CM = 1,即可求tana的值.【解答】解：如圖,/ ADC = Z HDF = 90/ CDM =Z NDH，且 CD = DH，/ H=Z C= 90 CDM HDN (ASA) MD = ND，且四邊形 DNKM是平行四邊形四邊形DNKM是菱形 KM = DM/ sina= sin/ DMC = i_!ND當點B與點E重合時，兩張紙片交叉所成的角a最小,設(shè) MD = a = BM，貝U CM = 8 - a,2 2 2 MD = CD +MC ,2 2 a = 4+( 8 - a),1

13、7 CM = 1_l4 tana= tan/ DMC = -= MC 15故選：D.【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)， 求CM的長是本題的關(guān)鍵.10. （2019年山東省威海市）如圖，一個人從山腳下的A點出發(fā)，沿山坡小路 AB走到山頂B點.已知坡角為20,山高BC = 2千米.用科學(xué)計算器計算小路AB的長度，下列按鍵順序正確的是（）C I I -.1I.-：D I II II-.?,l【分析】在厶ABC中，通過解直角三角形可得出sinA =l，貝U AB=： ，即可得A3sin20出結(jié)論.RT【解答】解：在 ABC中，si nA = sin 20=,A

14、B.BC2-AB =. = ,sin20 sin20按鍵順序為：2十sin20 =故選：A .【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題以及計算器，熟練應(yīng)用計算器是解題關(guān)鍵.11. （2019年天津市）2sin60 的值等于（ ）_A. 1B .:C .；【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.【解答】解:2sin60故選：C.【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù) 值.12. （2019年四川省南充市）如圖，正方形MNCB得到折痕AE,再翻折紙片，使2C . BC2 = CD?EHB =：一BC 2D. sin / AHD =_5MNCB在寬為

15、2的矩形紙片一端，對折正方形 AB與AD重合，以下結(jié)論錯誤的是（）【分析】首先證明四邊形 ABHD是菱形，利用勾股定理求出 AB, AD, CD, EH , AH , -一判斷即可解決問題.【解答】解：在 Rt AEB中，AB =、-二仁廠二=：,_“二=-, AB/ DH , BH / AD,四邊形ABHD是平行四邊形，/ AB= AD ,四邊形ABHD是菱形， - AD = AB=., - CD = AD = AD =：.：門）-1, =丄丄，故選項B正確，BC 2/ BC2= 4, CD?EH =（二-1） （7+1 ）= 4, bc2= cd?eh，故選項 C正確，四邊形ABHD是菱形

16、， / AHD = / AHB , sin/AHD = sin/ AHB =二= = -，故選項 D 正確,1 故選：A.【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，菱形的判定和性質(zhì)等知識， 解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.13. （2019年四川省綿陽市）公元三世紀，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出 的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個2大正方形.如果大正方形的面積是 125，小正方形面積是 25,則（sin 0- cos 0）=（）B .匹C.出D .15555【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5二，小正方

17、形的邊長為5,再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系列式即可求解.【解答】解：T大正方形的面積是125,小正方形面積是 25 ,大正方形的邊長為 5二，小正方形的邊長為 5, 5 cosB 5,sin B= 5, cos0 sin 0= ,52 1（ sin 0 cos 0）=.5故選：A.【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的證明，正方形的面積，難度適中.14. （ 2019年湖南省懷化市）已知/ a為銳角，且Sina= ，則/ a=C. 60D. 90A. 30B. 45【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.【解答】解：a為銳角，且Si門久=丄2./ a= 30.故選：A.【點評】此題考查的是

18、特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目15. （2019年山東省泰安市）如圖，一艘船由然后再沿北偏西）的距離為（A港沿北偏東65方向航行30:km至B港,C港在A港北偏東20方向，則A, C兩港之間40方向航行至C港,km.C. 10+30；D. 30_20,/ ACB= 40 +20= 60, AB = 30 :, 過B作BE丄AC于E,解直角三角形即可得到結(jié)論._【解答】解：根據(jù)題意得，/ CAB = 65 20, / ACB = 40 +20 = 60, AB= 30 :,過B作BE丄AC于E,/ AEB =Z CEB = 90,在 Rt ABE 中，/ ABE = 45, AB= 30 _,

19、 AE= BE =二 AB= 30 km,2在 Rt CBE 中，/ ACB = 60, CE BE = 10 二km,3 AC= AE+CE= 30+10 7, A, C兩港之間的距離為（30+10 7） km, 故選：B.【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，三角形的內(nèi)角和，是基礎(chǔ)知識 比較簡單.16. （2019年四川省涼山州）如圖，在厶ABC 中, CA = CB= 4, cosC =丄，則sinB的值為（VTo【分析】過點A作AD丄BC,垂足為 D,在Rt ACD中可求出AD, CD的長，在Rt ABD中，利用勾股定理可求出AB的長，再利用正弦的定義可求出sinB的值.【

20、解答】解：過點 A作AD丄BC,垂足為D，如圖所示.在 Rt ACD 中，CD = CA?cosC= 1, AD =，一 = 廣;在 Rt ABD 中，BD = CB- CD = 3, AD =甘丨二 AB= 2 :, sinB =AB 4故選：D.【點評】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出 AD，AB的長是解題的關(guān)鍵.17. （2019年浙江省溫州市）某簡易房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則坡屋頂上 弦桿AB的長為（）$3m JA .米B.米C.米D.-一米5sinQ5cos CL9sin Cl9cos Ct【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后利用銳

21、角三角函數(shù)即可表示出AB的長.【解答】解：作 AD丄BC于點D,則 BD = ： 0.3=,25COS a=9 sin a,AB解得，AB 米,5cos a故選：B.【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、軸對稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利 用數(shù)形結(jié)合的思想解答.18. （2019年重慶市B卷）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物.為測量 AB的高度，小紅從 建筑物底端B點出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達點C,然后沿斜坡CD前進，到達坡頂D點處，DC BC .在點D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點處測得建筑物頂端 A點的仰角/ AEF為27 （點A, B, C, D, E在同一

22、平面內(nèi)）.斜坡CD的坡度（或坡比）i = 1 : 2.4,那么建筑物 AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù) sin27 0.45, cos27 0.89, tan27 0.51）B CA . 65.8 米B . 71.8 米C. 73.8 米D . 119.8 米【分析】過點E作EM丄AB與點M,根據(jù)斜坡CD的坡度（或坡比）i = 1 : 2.4可設(shè)CD =x,貝U CG = 2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出 CG與DG的長，故可得出EG的長.由矩形的判定定理得出四邊形EGBM是矩形，故可得出 EM = BG, BM = EG,再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，進而可得出結(jié)論.【解答】解

23、：過點 E作EM丄AB與點M，延長ED交BC于G ,斜坡CD的坡度（或坡比）i = 1 : 2.4, BC = CD = 52米，設(shè) DG = x,貝U CG = 2.4x.在 Rt CDG 中，2 2 2 2 2 2-DG +CG = DC，即 x + （2.4x）= 52，解得 x= 20, DG = 20 米, CG= 48 米, EG= 20+0.8 = 20.8 米，BG = 52+48 = 100 米./ EM 丄 AB, AB 丄 BG, EG 丄 BG ,四邊形EGBM是矩形，EM = BG= 100 米，BM = EG = 20.8 米.在 Rt AEM 中，/ AEM =

24、27, AM = EM?tan27 100X 0.51 = 51 米， AB= AM+BM = 51+20.8= 71.8 米.故選：B.B C g【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.19. （2019年四川省自貢市）如圖，已知 A、B兩點的坐標分別為（8 , 0）、（0 , 8），點 C、F分別是直線x =- 5和x軸上的動點，CF = 10 ,點D是線段CF的中點，連接 AD 交y軸于點己，當厶ABE面積取得最小值時，tan / BAD的值是（）i=-5【分析】如圖,是以K為圓心,設(shè)直線x = 5交x軸于K .由題意KD = CF = 5 ,推出點D的運動軌跡25為半徑的圓，推出當直線 AD與O K相切時， ABE的面積最小，作EH丄AB于H .求出EH , AH即可解決問題.【解答】解：如圖，設(shè)直線 x = 5交x軸于K.由題意KD CF = 5 ,*J nft/VF哄jf1IJ10 Ax=5點D的運動軌跡是以 K為圓心，5為半徑的圓,當直線 AD與O K相切時， ABE的面積最小,T AD是切線，點D是切點， AD 丄 KD ,/ AK = 13 , DK = 5 , AD = 12 , ls OE DK/ tan / EAO =,OA AD 0