第8章 時間序列分析

1、中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 第8章 時間序列分析 time series analysis 8.1 時間序列的分解 8.2 指數(shù)平滑 8.3 arima模型 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2 學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) l理解時間序列分析中的基本概念；理解時間序列分析中的基本概念； l掌握時間序列成分的分解方法；掌握時間序列成分的分解方法； l掌握根據(jù)時間序列的組成成分進(jìn)行掌握根據(jù)時間序列的組成成分進(jìn)行 預(yù)測的方法；預(yù)測的方法； l掌握時間序列的指數(shù)平滑預(yù)測方法掌握時間序列的指數(shù)平滑預(yù)測方法 l熟悉熟悉arimaarima模型特性，了解建模方法模型特性，了解建模方法 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 3 為什么要進(jìn)行時間序列分析

2、？為什么要進(jìn)行時間序列分析？ l 個人、企業(yè)和政府都需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)（時間序 列）對現(xiàn)象的未來發(fā)展作出預(yù)測并采取相應(yīng)的決策， 時間序列分析為我們提供了相應(yīng)的分析工具。 l我國每年年初都要對當(dāng)年的主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)作出預(yù) 測，每個五年計(jì)劃中要對未來五年的經(jīng)濟(jì)和社會 發(fā)展進(jìn)行預(yù)測。 l股票經(jīng)紀(jì)人要對股票市場的未來走勢作出及時的 預(yù)測并相應(yīng)作出買入或賣出的決策。 l企業(yè)經(jīng)理人員的決策中經(jīng)常需要對 未來的市場供求進(jìn)行預(yù)測。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 4 8.1 時間序列的分解時間序列的分解 l8.1.1 時間序列的構(gòu)成成分時間序列的構(gòu)成成分 l8.1.2 時間序列分解模型時間序列分解模型 l8.1.3 時間序列

3、長期趨勢分析時間序列長期趨勢分析 l8.1.4 時間序列季節(jié)變動分析時間序列季節(jié)變動分析 l8.1.5 時間序列循環(huán)變動分析時間序列循環(huán)變動分析 l8.1.6 時間序列分解預(yù)測法時間序列分解預(yù)測法 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 5 8.1.1 時間序列的構(gòu)成成分 l一個時間序列中可能包含以下四個（或者一個時間序列中可能包含以下四個（或者 幾個）組成成分：幾個）組成成分： l長期趨勢長期趨勢 (secular trend ,t) l季節(jié)變動季節(jié)變動 (seasonal variation , s) l循環(huán)波動循環(huán)波動 (cyclical variation , c) l不規(guī)則波動不規(guī)則波動 (irreg

4、ular variation, i ) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 6 長期趨勢 l現(xiàn)象在較長時期內(nèi) 持續(xù)發(fā)展變化的一 種趨向或狀態(tài) l可以分為線性趨勢 和非線性趨勢 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 7 季節(jié)變動（ s ） l 由于季節(jié)的變化引起的現(xiàn)象發(fā) 展水平的規(guī)則變動。季節(jié)變動 產(chǎn)生的原因主要有兩個： l自然因素； l人為因素： 法律、習(xí)俗、 制度等 l“季節(jié)變動”也用來指周期小 于一年的規(guī)則變動，例如24小 時內(nèi)的交通流量。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 8 循環(huán)變動（c） l 以若干年為周期、不具嚴(yán) 格規(guī)則的周期性連續(xù)變動。 l與長期趨勢不同，它不是朝 著單一方向的持續(xù)運(yùn)動，而 是漲落相間的波浪式起伏變 化；

5、 l與季節(jié)變動也不同，它的波 動時間較長，變動的周期長 短不一，變動的規(guī)則性和穩(wěn) 定性較差。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 9 不規(guī)則變動（i） l由于眾多偶然因素 對時間序列造成的 影響。 l 不規(guī)則變動是不 可預(yù)測的。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 10 ttttt icsty 8.1.2 時間序列分解模型 l時間序列的組成成分之間可能是乘法或加法的關(guān) 系，因此，時間序列可用多種模型進(jìn)行分解，常 見的有加法模型、乘法模型和加乘混合模型。 l加法模型假設(shè)時間序列中每一個指標(biāo)數(shù)值都是長 期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動四種 成分的總和，在加法模型中，四種成分之間是相 互獨(dú)立的。某種成分的變動并不影響其他

6、成分的 變動。各個成分都用絕對量表示，并且具有相同 的量綱。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 11 ttttt icsty 乘法模型乘法模型 l乘法模型乘法模型是假設(shè)時間序列中每一個指標(biāo)數(shù) 值都是長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和 不規(guī)則變動四種成分的乘積。在乘法模型 中, 四種成分之間保持著相互依存的關(guān)系。 一般而言，長期趨勢成分用絕對量表示， 具有和時間序列本身相同的量綱，其它成 分則用相對量表示。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 12 l加乘混合模型，比如 l 時間序列分解模型的選取需要考慮到現(xiàn)象變化 的規(guī)律和數(shù)據(jù)本身的特征，如果季節(jié)變動（循環(huán) 變動、不規(guī)則變動）依賴于長期趨勢的變化，則 宜選用乘法模型或加乘混

7、合模型，否則可以考慮 加法模型。 ttttt ictsy ttttt ytcsi 加乘混合模型加乘混合模型 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 13 8.1.3 時間序列長期趨勢分析 l研究目的： l通過測定和分析過去一段時間之內(nèi)現(xiàn)象的 發(fā)展趨勢，來認(rèn)識和掌握現(xiàn)象發(fā)展變化的 規(guī)律性； l通過分析現(xiàn)象的長期趨勢，為統(tǒng)計(jì)預(yù)測提 供必要的條件； l消除原有時間序列中長期趨勢的影響，更 好地研究季節(jié)變動和循環(huán)變動等問題。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 14 1 移動平均法 l移動平均法：在原時間序列內(nèi)依次求連 續(xù)若干期的平均數(shù)作為其某一期的趨勢 值，如此逐項(xiàng)遞移求得一系列的移動平 均數(shù)，形成一個新的、派生的平均數(shù)時 間序列

8、。 l 在新的時間序列中偶然因素的影響被削 弱，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象在較長時間的基本 發(fā)展趨勢。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 15 l把時間序列連續(xù) n 期的平均數(shù)作為最近一 期（第t期）的趨勢值: )( 1 11 )1( ntttt yyy n m n 期移動平均數(shù)期移動平均數(shù) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 16 l把時間序列連續(xù) n 期的平均數(shù)作為 n 期的中間一期 的趨勢值。 l如果n為奇數(shù)，則把n期的移動平均值作為中間一期 的趨勢值。 l如果n為偶數(shù)，須將移動平均數(shù)再進(jìn)行一次兩項(xiàng)移 動平均，以調(diào)整趨勢值的位置，使趨勢值能對準(zhǔn)某 一時期)。相當(dāng)于對原序列進(jìn)行一次n+1 項(xiàng)移動平均， 首末兩個數(shù)據(jù)的權(quán)重為0.

9、5，中間數(shù)據(jù)權(quán)重為1。 為偶數(shù)）nyyyy n m ntntttnt ()5 . 05 . 0( 1 112/ 中心化移動平均中心化移動平均 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 17 example 1 l新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入（萬元）：新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入（萬元）： 年份年份銷售銷售 收入收入 年份年份銷售銷售 收入收入 年份年份銷售銷售 收入收入 年份年份銷售銷售 收入收入 19851080199021601995216020003240 19861260199123401996234020013420 19871800199219801997288020023240 198816201993252019

10、98306020033060 19891440199425591999270020043600 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 18 中心移動平均法中心移動平均法 銷售銷售 收入收入 3 3年移年移 動平均動平均 銷售銷售 收入收入 4 4年移動平年移動平 均均 移正移正 198519851080108010801080 19861986126012601380138012601260 1987198718001800156015601800180014851485 198819881620162016201620162016201642.51642.5 198919891440144017401740

11、144014401822.51822.5 14401440 15301530 17551755 18901890 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 19 移動平均的結(jié)果 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 20 example 2 l 移動平均法可以作為測定長期趨勢的一種 較為簡單的方法，在股市技術(shù)分析中有廣 泛的應(yīng)用。比如對某只股票的日收盤價格 序列分別求一次5日、10日、一個月的移動 平均就可以得到其5日、10日、一個月的移 動平均股價序列，進(jìn)而得到5日線、10日線、 月線，用以反映股價變動的長期趨勢。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 21 移動平均股價序列移動平均股價序列 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 22 l移動平均法一般用來消

12、除不規(guī)則變動的 影響，把序列進(jìn)行修勻（smoothing)， 以觀察序列的其他成分。 l如果移動平均的項(xiàng)數(shù)等于季節(jié)長度則可以消除 季節(jié)成分的影響； l如果移動平均的項(xiàng)數(shù)等于平均周期長度的倍數(shù) 則可以消除循環(huán)變動的影響。 l由于區(qū)分長期趨勢和循環(huán)變動比較困難，在 應(yīng)用中有時對二者不做區(qū)分，而是把兩項(xiàng)合 在一起稱為“趨勢循環(huán)”成分（trend-cycle)。 移動平均法的應(yīng)用 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 23 2、時間回歸法（趨勢方程法） l使用回歸分析中的最小二乘法，以時間t 或t的函數(shù)為自變量擬合趨勢方程。 l習(xí)慣上t的取值為從1到n。也可以取其他值， 不同取值方法不會影響到方程的擬合效果。 l常用

13、的趨勢方程包括： l線性趨勢方程 l二次曲線 l指數(shù)曲線 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 24 趨勢線的選擇 l1、根據(jù)散點(diǎn)圖觀察數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，結(jié)合理 論分析和經(jīng)驗(yàn)確定。 l2、 比較不同回歸模型的決定系數(shù)、估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)誤等指標(biāo)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 25 趨勢方程的估計(jì)方法 l趨勢方程可以使用回歸分析中的最小二乘 法進(jìn)行估計(jì)。 l對于線性趨勢方程，根據(jù)回歸分析中推導(dǎo) 出的結(jié)果，有 b ntyty ntt ()() () 22 aybt 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 26 example 1: 新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入 部分?jǐn)?shù)據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù) 銷售銷售 收入收入 t t 198510801 198612602 198718

14、003 198816204 198914405 2003306019 2004360020 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 27 excel的計(jì)算結(jié)果 回歸統(tǒng)計(jì)回歸統(tǒng)計(jì) multiple r0.944964 r square0.892958 adjusted r square0.887011 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差248.0092 觀測值觀測值20 f signific ance f 150.1578 3.6e-10 coefficien ts 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差t statp-value intercept1185.52 115.21 10.29 0.0000 t117.85 9.62 12.25 0.000

15、0 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 28 趨勢方程 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 29 example 2: 銷售額時間序列 2 40.851 0.0090.003 t ytt 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 30 8.1.4 時間序列季節(jié)變動分析 l測定目的： l確定現(xiàn)象的季節(jié)變化規(guī)律以用于預(yù)測 l消除時間序列中的季節(jié)因素 l測定季節(jié)變動，一般需要先從原時間序列中 剔除可能存在的長期趨勢，因此需要在一定 的模型假定下進(jìn)行，也有不同的計(jì)算方法。 實(shí)際中乘法模型較為常用，下面以乘法模型 為例，介紹移動平均剔除法（ratio-to- moving-average method) 。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 31 季節(jié)指數(shù) l乘

16、法模型中的季節(jié)成分通過季節(jié)指數(shù)來反映。 l季節(jié)指數(shù)（季節(jié)比率）：反映季節(jié)變動的相 對數(shù)。 l1、月(或季)的指數(shù)之和等于1200%(或 400%) 。 l2、季節(jié)指數(shù)離100越遠(yuǎn)，季節(jié)變動程 度越大，數(shù)據(jù)越遠(yuǎn)離其趨勢值。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 32 用移動平均趨勢剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)用移動平均趨勢剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù) l1、計(jì)算移動平均值(tc)，移動期數(shù)為4或 12，注意需要進(jìn)行移正操作。 l2、從序列中剔除移動平均值(siy/tc)。 l3、 l4、如果季節(jié)系數(shù)之和不等于為400%或 1200%，需要用調(diào)整系數(shù)調(diào)整。 %100 )( )( )( 平均數(shù)季總月 平均數(shù)季同月 季節(jié)指數(shù)s 中央財(cái)經(jīng)

17、大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 33 案例: 海鵬網(wǎng)球中 心的利潤。 一季度一季度二季度二季度三季度三季度四季度四季度 200060255270105 2001120315360150 2002135390405195 2003180495525225 2004240630690285 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 34 季節(jié)指數(shù)的計(jì)算 ytcy/tc 2000.12000.16060 2000.22000.2255255172.5172.5 2000.32000.3270270187.5187.5180180150.00 150.00 2000.42000.4105105202.5202.519519553.85 5

18、3.85 2001.12001.1120120225225213.75213.7556.14 56.14 2001.22001.2315315236.25236.25230.625230.625136.59 136.59 2001.32001.3360360240240238.125238.125151.18 151.18 2001.42001.4150150258.75258.75249.375249.37560.15 60.15 2002.12002.1135135270270264.375264.37551.06 51.06 2002.22002.2390390281.25281.252

19、75.625275.625141.50 141.50 2002.32002.3405405292.5292.5286.875286.875141.18 141.18 270/180*100% 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 35 季節(jié)指數(shù)的計(jì)算 一季度一季度二季度二季度三季度三季度四季度四季度 20002000 150150 53.8461553.84615 2001200156.1403556.14035136.5854136.5854 151.1811151.1811 60.1503860.15038 2002200251.0638351.06383141.4966141.4966 141.1765

20、141.1765 63.8036863.80368 2003200353.9325853.93258140.4255140.4255 144.3299144.3299 57.9710157.97101 2004200456.3876756.38767138.843138.843 54.3811154.38111139.3376139.3376 146.6719146.6719 58.9428158.9428199.8333599.83335 54.4718954.47189139.5702139.5702 146.9167146.916759.041259.0412400400 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)

21、計(jì)學(xué)院 36 季節(jié)指數(shù)的圖形 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 37 0 100 200 300 400 500 600 700 800 2000.1 2000.3 2001.1 2001.3 2002.1 2002.3 2003.1 2003.3 2004.1 2004.3 y s = ts ci s = tci 季節(jié)調(diào)整（seasonal adjustment） l將原序列實(shí)際數(shù)值除以季節(jié)指數(shù)可以消除季 節(jié)變動的影響。此數(shù)列通常被稱為“季節(jié)調(diào) 整后的序列”， 它便于較為準(zhǔn)確地分析長期 趨勢和循環(huán)變動。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 38 l對銷售額時間序列，分別利用乘法模型和 加法模型由spss軟件計(jì)算出的季

22、節(jié)指數(shù)和 季節(jié)因素后，可以看出，銷售旺季為8月份， 淡季為12月份。 銷售額時間序列的例子（銷售額時間序列的例子（spss軟件）軟件） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 39 時間序列圖形時間序列圖形 l從數(shù)據(jù)圖可以看出，銷售額時間序列的季節(jié)變化并未 表現(xiàn)出與長期趨勢明顯的依賴性，因此，使用加法模 型分析該銷售額時間序列的季節(jié)變動較為合適。 月份乘法模型 季節(jié)指數(shù)（） 加法模型 季節(jié)因素（百萬元） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 101.640 106.828 94.727 94.091 94.781 102.898 104.569 108.162 102.209 103.599 9

23、7.455 89.041 0.972 4.074 -3.028 -3.565 -3.244 1.909 2.711 4.443 1.258 2.131 -1.474 -6.187 銷售額時間序列的例子銷售額時間序列的例子 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 41 銷售額時間序列的季節(jié)變動（加法模型） 銷售額時間序列的例子銷售額時間序列的例子 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 42 8.1.5 時間序列循環(huán)變動分析 l 實(shí)際中常采用剩余法測定循環(huán)變動。這種方法須 先從原時間序列中消除長期趨勢、季節(jié)變動和不規(guī) 則變動，求得循環(huán)變動指數(shù)。 l計(jì)算步驟： l1、如果有季節(jié)成分，計(jì)算季節(jié)指數(shù)，得到季節(jié) 調(diào)整后的數(shù)據(jù)（tci)；

24、l2、根據(jù)趨勢方程從季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)中消除長 期趨勢得到序列ci； l3、對消去季節(jié)成分和趨勢值的序列ci進(jìn)行移動 平均以消除不規(guī)則波動 ，得到循環(huán)變動成分c。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 43 循環(huán)變動 y ys sy/s=tciy/s=tcit tt ty/st=cic 2000.12000.1606054.47 54.47 110.15 110.15 1 1130.51 130.51 84.40 84.40 2000.22000.2255255139.57 139.57 182.70 182.70 2 2148.35 148.35 123.15 123.15 106.04 106.04 200

25、0.32000.3270270146.92 146.92 183.78 183.78 3 3166.20 166.20 110.58 110.58 110.12 110.12 2000.42000.410510559.04 59.04 177.84 177.84 4 4184.04 184.04 96.63 96.63 105.44 105.44 2001.12001.112012054.47 54.47 220.30 220.30 5 5201.89 201.89 109.12 109.12 102.82 102.82 2001.22001.2315315139.57 139.57 225.

26、69 225.69 6 6219.73 219.73 102.71 102.71 104.99 104.99 2004.12004.124024054.47 54.47 440.59 440.59 1717416.02 416.02 105.91 105.91 101.88 101.88 2004.22004.2630630139.57 139.57 451.39 451.39 1818433.87 433.87 104.04 104.04 104.64 104.64 2004.32004.3690690146.92 146.92 469.65 469.65 1919451.71 451.71

27、 103.97 103.97 103.60 103.60 2004.42004.428528559.04 59.04 482.71 482.71 2020469.56 469.56 102.80 102.80 trend= 112.67+17.845t 趨勢方程 也可根據(jù) 未進(jìn)行季 節(jié)調(diào)整的 序列估計(jì). 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 44 循環(huán) 變動 的圖 形 l由于只有4年的數(shù)據(jù)，本例的結(jié)果只是說 明性的，從結(jié)果中還無法看到現(xiàn)象在更 長時期內(nèi)的循環(huán)變動情況。 l有時對長期趨勢和循環(huán)變動不做區(qū)分， 而是合在一起稱為“趨勢循環(huán)”成分。 80 85 90 95 100 105 110 115 2000.1

28、 2000.2 2000.3 2000.4 2001.1 2001.2 2001.3 2001.4 2002.1 2002.2 2002.3 2002.4 2003.1 2003.2 2003.3 2003.4 2004.1 2004.2 2004.3 2004.4 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 45 不規(guī)則變動 l如果需要，還可以進(jìn)一步分解出不如果需要，還可以進(jìn)一步分解出不 規(guī)則變動成分：規(guī)則變動成分： i= ts ci tsc 80 85 90 95 100 105 110 115 120 2000.1 2000.2 2000.3 2000.4 2001.1 2001.2 2001.3 2001.

29、4 2002.1 2002.2 2002.3 2002.4 2003.1 2003.2 2003.3 2003.4 2004.1 2004.2 2004.3 2004.4 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 46 8.1.6 時間序列分解預(yù)測法 l預(yù)測是時間序列分析的重要目的之一預(yù)測是時間序列分析的重要目的之一 l分解預(yù)測法就是依據(jù)時間序列的結(jié)構(gòu)模型 將序列中的各種非隨機(jī)成分分離出來，分 別進(jìn)行預(yù)測，最后將各部分預(yù)測值合成總 的預(yù)測值。這種方法直觀易懂并可以提供 較多有用的信息，從不同的方面把握數(shù)據(jù) 的變化特征。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 47 ltltltlt csty 由建立的趨勢模型得到由建立的趨勢模型得

30、到 lt t lt s lt c 可用同期季節(jié)指數(shù)代替可用同期季節(jié)指數(shù)代替 可用半定量化方法預(yù)測，即根據(jù)分離出的可用半定量化方法預(yù)測，即根據(jù)分離出的 循環(huán)變動指數(shù)的變化趨勢，循環(huán)變動指數(shù)的變化趨勢，主觀判斷主觀判斷取值取值 的大小。若循環(huán)變動不明顯，可忽略。有的大小。若循環(huán)變動不明顯，可忽略。有 時候和長期趨勢合在一起預(yù)測。時候和長期趨勢合在一起預(yù)測。 以乘法模型為例以乘法模型為例 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 48 l為了考察預(yù)測效果，利用1990.12001.12 數(shù)據(jù)對2002年各月的銷售額進(jìn)行預(yù)測，這 樣可以計(jì)算預(yù)測誤差。 l首先原始序列進(jìn)行成分分解，這里我們選 擇乘法模型（分析預(yù)測季節(jié)性分解

31、）， 得到序列的季節(jié)指數(shù)和季節(jié)調(diào)整后的序列。 example : 銷售額時間序列分解法預(yù)測 (spss) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 49 l根據(jù)季節(jié)調(diào)整后的序列（包含tci成分）擬合二 次趨勢方程。 l因?yàn)閠在模型中不顯著，被從模型中剔除 l注：也可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)擬合趨勢方程；或者對 原始序列的12期中心化移動平均序列（包含tc成 分)建立趨勢模型。 example : 銷售額時間序列分解法預(yù)測 (spss)：長期趨勢的估計(jì) 2 003. 0590.40 ty 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 50 l利用二次模型預(yù)測出2002年各月份的銷售 額的趨勢值，再乘以季節(jié)指數(shù)就可以得到 2002年各月份的銷售額的預(yù)

32、測值。 example : 銷售額時間序列分解法預(yù)測 (spss) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 51 銷售額時間序列與分解法預(yù)測（乘法模型） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 52 預(yù)測誤差的測度指標(biāo) l衡量預(yù)測誤差大小的常用指標(biāo)主要有：衡量預(yù)測誤差大小的常用指標(biāo)主要有： l1、平均絕對誤差、平均絕對誤差(mean absolute error) l2、均方誤差、均方誤差(mean squared error) n i tt yy n mae 1 | | 1 n i tt yy n mse 1 2 ) ( 1 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 53 預(yù)測誤差的測度指標(biāo) l3、均方根誤差、均方根誤差(root mean sq

33、uared error) l4、平均絕對百分誤差（、平均絕對百分誤差（mean absolute percentage error），用來衡量相對誤），用來衡量相對誤 差的大小。差的大小。 %100 1 t tt y yy n mape n i tt yy n rmse 1 2 ) ( 1 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 54 乘法模型的預(yù)測誤差乘法模型的預(yù)測誤差 趨勢值趨勢值季節(jié)指季節(jié)指數(shù)數(shù)預(yù)測值預(yù)測值實(shí)際值實(shí)際值絕對誤差絕對誤差 jan-0293.45 101.76 95.09 94.28 0.81 feb-0294.18 107.08 100.85 98.89 1.96 mar-0294.92 9

34、4.63 89.82 91.09 1.27 apr-0295.66 93.81 89.74 93.84 4.10 may-0296.41 94.50 91.11 94.17 3.06 jun-0297.16 102.63 99.72 103.06 3.34 jul-0297.92 104.65 102.47 102.29 0.18 aug-0298.68 108.64 107.21 102.31 4.90 sep-0299.45 102.23 101.66 100.15 1.51 oct-02100.22 103.73 103.95 101.03 2.92 nov-02100.99 97.42

35、 98.39 101.27 2.88 dec-02101.78 88.92 90.50 97.94 7.44 平均絕對誤差平均絕對誤差2.86 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 55 乘法模型的預(yù)測誤差乘法模型的預(yù)測誤差 lmae=2.86 lmse=11.83 lrmse=3.44 lmape=2.91% 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 56 8.2 指數(shù)平滑指數(shù)平滑 exponential smoothing l8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑 l8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑 l8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 57 指數(shù)平滑方法的基本原理指數(shù)平滑方法的基本原理 l指數(shù)平滑是一種加權(quán)移動平均，既

36、可以用來描述時 間序列的變化趨勢，也可以實(shí)現(xiàn)時間序列的預(yù)測。 l指數(shù)平滑預(yù)測的基本原理是：用時間序列過去取值 的加權(quán)平均作為未來的預(yù)測值，離當(dāng)前時刻越近的 取值，其權(quán)重越大。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 58 ttt yyy )1 ( 1 式中： 1 t y表示時間序列第t+1期的預(yù)測值； t y 表示時間序列第t期的實(shí)際觀測值； t y 表示時間序列第t期的預(yù)測值； 表示平滑系數(shù)，01。 11 1 2 2 1 1 )1 ()1 ()1 ()1 ( )1 ( yyyyy yyy tt ttt ttt 8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑 l單參數(shù)指數(shù)平滑的模型為： 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)

37、計(jì)學(xué)院 59 適用場合適用場合 l單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含長 期趨勢和季節(jié)成分的時間序列預(yù)測 l如果原序列有增長趨勢，平滑序列將系統(tǒng) 的低于實(shí)際值 l如果原序列有下降趨勢，平滑序列將系統(tǒng) 的高于實(shí)際值 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 60 平滑系數(shù)的確定平滑系數(shù)的確定 l選擇合適的平滑系數(shù)是提高預(yù)測精度的關(guān)鍵。 l如果序列波動較小，則平滑系數(shù)應(yīng)取小一些，不 同時期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)差別小一些，使預(yù)測模型能包 含更多歷史數(shù)據(jù)的信息； l如果序列趨勢波動較大，則平滑系數(shù)應(yīng)取得大一 些。這樣，可以給近期數(shù)據(jù)較大的權(quán)數(shù)，以使預(yù) 測模型更好地適序列趨勢的變化。 l統(tǒng)計(jì)軟件中可以根據(jù)擬合誤差的大小自動篩選最 優(yōu)的

38、平滑系數(shù)值。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 61 初始預(yù)測值的確定初始預(yù)測值的確定 l初始預(yù)測值的確定 l等于第一個觀測值 l等于前k個值的算術(shù)平均 l適用場合：單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用 于不包含長期趨勢和季節(jié)成分的平穩(wěn)時間 序列預(yù)測 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 62 案例分析案例分析 l新衛(wèi)機(jī)械廠銷售額的單參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測 l分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平 滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”。 l擬合情況與2年的預(yù)測值（下頁圖）。 lspss statistics 估計(jì)的=0.689. l擬合數(shù)據(jù)的mape=12.847%. 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 63 單參數(shù)指數(shù)平滑的圖形結(jié)果單參數(shù)指數(shù)平滑的圖形結(jié)果 中央財(cái)

39、經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 64 8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑雙參數(shù)指數(shù)平滑 l雙參數(shù)指數(shù)平滑包含兩個平滑參數(shù) l適用于包含長期趨勢、不包含季節(jié)成分的 時間序列預(yù)測。 l其基本思想是：首先對序列選定其隨時間 變化的線性模型，再通過對序列水平和增 長量分別進(jìn)行平滑來估計(jì)模型中的參數(shù)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 65 lbfy ttlt , 2 , 1l )(1 ( 11 tttt bfyf 11 )1 ()( tttt bffb 11 yf 1 1 1 m yy b m 雙參數(shù)指數(shù)平滑模型雙參數(shù)指數(shù)平滑模型 l第一個平滑方程得到原序列經(jīng)趨勢調(diào)整的平滑值， 第二個平滑方程是對增量進(jìn)行指數(shù)平滑。初始值 取為: 中央財(cái)

40、經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 66 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 l利用指數(shù)平滑法對我國人均原油產(chǎn)量（單位： 公斤/人）進(jìn)行預(yù)測。 。 l從圖形看具有增長 趨勢，可以用雙參數(shù) 指數(shù)平滑法進(jìn)行 預(yù)測。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 67 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 l軟件操作：分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選 擇“指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”（選 擇holt線性趨勢模型） l由spss軟件搜索出的最終平滑系數(shù) 、 ， 分別為1.00和0.001，預(yù)測2007-2010年我國 人均原油產(chǎn)量的預(yù)測值分別為： 141.74 142.56 143.37 144.18 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 68 圖形圖形 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 69 雙參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測新

41、衛(wèi)機(jī)械廠雙參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測新衛(wèi)機(jī)械廠 的銷售收入的銷售收入 l估計(jì)的=0.018，=0.000. l歷史數(shù)據(jù)mape=9.837%. 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 70 預(yù)測圖形預(yù)測圖形 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 71 8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑三參數(shù)指數(shù)平滑 對于包含季節(jié)變動（和長期趨勢）的時間 序列進(jìn)行預(yù)測常用溫特（winter）指數(shù)平滑 法。 該法包含三個平滑系數(shù)，是依據(jù)時間序列 的乘法（或加法）結(jié)構(gòu)模型，在每一步平 滑中將原始時間序列分解成趨勢成分和季 節(jié)成分并對它們分別進(jìn)行平滑。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 72 lltttlt slbfy )( , 2 , 1l )(1 ( 11 tt lt t t

42、 bf s y f 11 )1 ()( tttt bffb lt t t t s f y s )1( 三參數(shù)指數(shù)平滑模型三參數(shù)指數(shù)平滑模型 預(yù)測公式 (l為季節(jié)長度) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 73 例子：銷售額時間序列例子：銷售額時間序列 l某企業(yè)1990-2002年各月銷售額數(shù)據(jù)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 74 example : 銷售額時間序列的溫 特指數(shù)平滑預(yù)測 l軟件操作：分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇 “指數(shù)平滑”; 設(shè)置“條件”，選擇季節(jié)性模型中 的“winter(冬季）加法或乘法模型），這里選的 是乘法模型。 l從圖形看擬合效果很好。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 75 example : 銷售額

43、時間序列的溫 特指數(shù)平滑預(yù)測 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 76 8.3 arima模型模型 l 8.2.1 平穩(wěn)時間序列模型 （arma模型） l 8.2.2 arima模型 arima: autoregressive integrated moving average 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 77 時間序列的平穩(wěn)性 l隨機(jī)時間序列分析的一個重要概念是平穩(wěn)性。 l時間序列平穩(wěn)性的直觀含義是指時間序列沒有明 顯的長期趨勢、循環(huán)變動和季節(jié)變動。 l 從統(tǒng)計(jì)意義上講，如果序列的一、二階矩存在， 而且對任意時刻滿足：(1)均值為常數(shù)；(2)協(xié)方差 僅與時間間隔有關(guān)，則稱該序列為寬平穩(wěn)時間序 列，也叫廣義平穩(wěn)時

44、間序列。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 78 非平穩(wěn)序列 平穩(wěn)序列 t x t y 時間序列的平穩(wěn)性（圖形）時間序列的平穩(wěn)性（圖形） 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 79 11ttptpt xxxa 是互不相關(guān)的序列，且均值為零，方差 為 （即為白噪聲序列）,一般假定其服從正 態(tài)分布。 2 a t a 為零均值平穩(wěn)時間序列 t x 1 平穩(wěn)時間序列模型 （1）arma模型的基本形式 lp階自回歸(autoregressive)模型ar(p) 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 80 平穩(wěn)時間序列模型平穩(wěn)時間序列模型 滑動平均(moving average)模型-ma(q) 自回歸滑動平均(autoregressive and

45、 moving average)模型 arma(p,q) 1111ttpt pttq t q xxxaaa 11tttqt q xaaa 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 81 一個模擬的一個模擬的ar(1)序列序列 1 0.6(0,1) tttt xxaanid 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 82 一個模擬的一個模擬的ma(1)序列序列 1 0.6(0,1) tttt xaaanid 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 83 有均值項(xiàng)的有均值項(xiàng)的arma模型模型 l 對于均值是否為零未知的情況下，建模時 需要給arma模型加上一個均值項(xiàng)。 lar模型： lma模型 larma模型 tptptt axxx )()()( 11

46、qtqttt aaax 11 )( qtqt tptptt aa axxx 11 11 )()()( 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 84 (2) arma模型的識別與估計(jì)模型的識別與估計(jì) box-jenkins 的模型識別方法： 根據(jù)acf和pacf確定模型的形式。 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)(acf)描述時間序列觀測值與其 過去的觀測值之間的線性相關(guān)性。 偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)(pacf)描述在給定中間觀測 值的條件下時間序列觀測值與其過去的觀 測值之間的線性相關(guān)性。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 85 模型（序列）模型（序列） ar(p) ma(q) arma(p,q)ar(p) ma(q) arma(p,q

47、) 自相關(guān)函數(shù) 拖尾 第q個后截尾 拖尾 偏自相關(guān)函數(shù) 第p個后截尾 拖尾 拖尾 拖尾是指以指數(shù)率單調(diào)或振蕩衰減， 截尾是指從某個開始非常?。ú伙@著非 零）。 box-jenkins 的模型識別方法的模型識別方法 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 86 example：一個零均值時間序列 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 87 下圖圖中橫線為0兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷acf和 pacf是否顯著非零）?？梢钥闯鯽cf呈拖尾狀，pacf 第2個后截尾，可初步斷定序列適合ar(2)模型。 一個零均值時間序列的acf和pacf acf拖尾pacf截尾 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 88 模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定 l對于ar或ma模型

48、，利用acf和pacf判定 模型類型的同時也就初步斷定了模型的階 數(shù)。 l 對于arma模型來說，用acf和pacf判 定其階次有一定的困難。此時可以借助于 下面介紹的信息準(zhǔn)則。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 89 2 ( , )ln( , )2() a aic p qp qpqn 2 ( , )ln( , )()ln() a bic p qp qpqnn 2 ( , ) a p q 模型階數(shù)的確定（模型階數(shù)的確定（arma）* l 實(shí)際中常用的準(zhǔn)則函數(shù)是aic信息準(zhǔn)則和bic信息 準(zhǔn)則（也稱為schwarz信息準(zhǔn)則，記為sic），使 準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到極小的是最佳模型。 是對序列擬合arma（p,q）模型

49、的殘差 方差，n為觀測值的個數(shù)。相對于aic信息準(zhǔn)則， bic信息準(zhǔn)則更多的考慮了模型的參數(shù)個數(shù)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 90 arma模型的參數(shù)估計(jì)模型的參數(shù)估計(jì) 對時間序列所適合的arma模型進(jìn)行初步識 別后，接下來就需要估計(jì)出其中的參數(shù)， 以便進(jìn)一步識別和應(yīng)用模型。 主要的參數(shù)估計(jì)方法有矩估計(jì)法、最小二 乘估計(jì)法和極大似然估計(jì)法等，一般都由 計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，這里不作介紹。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 91 （3）arma模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性檢驗(yàn) 模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)主要是殘差序列的獨(dú)立 性檢驗(yàn)。殘差序列可由估計(jì)出來的模型計(jì) 算得到。如果殘差序列的自相關(guān)函數(shù)不顯 著非零，可以認(rèn)為是獨(dú)立的。

50、中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 92 12 0.420.39 (4.54)(4.17) tttt xxxa 例例1：ar模型模型 l 對前面例子，由spss可以得到參數(shù)估計(jì)，模型 表達(dá)式為： l括號中為參數(shù)的t檢驗(yàn)值，各參數(shù)都是顯著的。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 93 例例1：ar模型模型 l由下圖可以看出殘差不存在顯著的自相關(guān)性，可以認(rèn)為是 獨(dú)立的，因而模型是適應(yīng)的。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 94 例例2：ma模型模型 l根據(jù)某化學(xué)過程讀數(shù)擬合arma模型。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 95 例例2：ma模型模型 acf pacf l根據(jù)acf可以嘗試ma(2)模型 l根據(jù)pacf可以嘗試ar(1)模型 中央財(cái)經(jīng)

51、大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 96 ma(2)模型模型 l模型的正態(tài)化的bic=4.969 lr2=0.179 21 302. 0319. 0170.51 tttt aaay 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 97 ma(2)的擬合效果圖的擬合效果圖 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 98 殘差自相關(guān)圖（殘差自相關(guān)圖（ma(2)模型）模型） l根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷ma(2)模型是適合的。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 99 建立建立ar(1)模型的結(jié)果模型的結(jié)果 l也就是 l模型的正態(tài)化的bic=4.91；r2=0.166 l根據(jù)bic分析 ar(1)要好一點(diǎn)。 ttt ayy )266.51(419. 0)266.51( 1 ttt ayy 1 419. 075.72 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 100 ar（1)的擬合效果圖的擬合效果圖 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 101 殘差自相關(guān)圖（殘差自相關(guān)圖（ar(1)模型）模型） l根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷ar(1)模型是適合的。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 102 8.2.2 arima模型模型 l 在實(shí)際問題中我們常遇到的序列，特別是 反映社會、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的序列，大多數(shù)并不 平穩(wěn)，而是呈現(xiàn)出明顯的趨勢性或季節(jié)性。 l對于有趨勢性時間序列通常采用arima模 型進(jìn)行分析。 l對于有季節(jié)性的時間序列可以采用乘積季