雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索

1、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索 基本條件：1:該三角形一邊長(zhǎng)為焦距 2c,另兩邊的差的約對(duì)值為定值2a。 2:該三角形中由余弦定理得 cos F|PF2 |PF1 |PF2|2 |F1F2|2 結(jié)合定義，有 2|PFj IPF2I 2 2 | PF1 | PF2 | PF1 | 2 | PF2 |2 | PF1 | 2 | PF2 | 4a 2 | PF1 | | PF2 | 22 x_y_1 99I 2 1 配方得：(1 2)2 2叩2 22 cos4c2. 即 4a2 2r1r2(1 cos ) 4c2. 2(c2 a2)2b2 1 21 cos 1 cos 由任意三角形的面積公式得： S f

2、pf 廠1廠廠2 1 . r1r2sin 2 b2 sin 1 cos 2si n cos- b22_2 2sin2 - 2 b2 cot- 2 2 SF1PF2 b cot2. cotQ 特別地，當(dāng) =90 時(shí)， 2 = 1,所以 Svf1pf2 22 同理可證，在雙曲線a b (a 0, b 0)中，公式仍然成立 例4 若P是雙曲線 F1 PF2的面積. x2 解法一：在雙曲線64 點(diǎn)P在雙曲線上, 由雙曲線定義得: x2 64 2 y 36 1 2 y 36 中, 在厶F1PF2中，由余弦定理得: 配方，得: (r1 D)2 .a 400 AR 256.從而叩2 S F1PF2 1 r訂

3、2 sin 2 x2 解法二: 在雙曲線64 RPF2 b2 tan 2 考題欣賞 上的一點(diǎn)，R、F2是其焦點(diǎn)，且 2a 2 1 400 144. 1 144 2 2 .3 2 L 1 36 中, 36 cot 30 F1PF260，求 8,b6,c10,而 60 .記 |PR | A,| PF2 | Q. 16. 2 Q2nr2cos 36.3. b236 （2010全國(guó)卷1理）（9）已知F1、F2為雙曲線 / F1 PF2 =600，則P到x軸的距離為(A) 3 1 2 2 【答案】B （2010全國(guó)卷1文）（8）已知F1、F2為雙曲線 / F1 P F2 = 600，則 | PF1 |g

4、 PF2 | (A)2(B)4(C) 6(D) 8 C: (B) C：x2 【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos/ F1 PF2 = cos600 (2c)2. 60 . 1的左、 (C) 1的左、 右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上, .3(D) 右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上, |PF2|證|2 |PR f 2IPFJPF2I 2 2 |pfJ IPF2I2IPF1IIPF2I IF1F2I 2|PFPF2 -2 1 22 2 PF1 PF2 2 2 2 2 PF1 PF2 I PFi |g PF2 | 4 【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得: S FiPF2 b2cot i2cot 型.3 2 一 PFi PF

5、2 sin60 PFi PF2 I PFi |g PF2 | 4 性質(zhì)一推論：在雙曲線 (a 0, b 0）中，左右焦點(diǎn)分別為Fi、F2，當(dāng)點(diǎn) P是雙曲線左支上任意 PF1F2 ，則 S FiPF2a b2csin ccos .特別地，當(dāng) b2c s F PF PFiF290時(shí)，有 i 2 a。當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上任意一點(diǎn), 若 PFiF2 雙曲線漸近線的傾斜角），則S FiPF 證明：i、當(dāng)P 為左支上一點(diǎn)時(shí)，記 b2csin ccos a |PFi| ri,|PF2| r2 ( ri r2 )，由雙曲線的定義得 ri 2a 在厶FiPF2中, 由余弦定理得: 2 ri 4c2 4ricco

6、s 2 r2 代入得 2 ri4c4nccos (ri 2a)2. 求得* b2 a ccos S F1PF2 切FiF2 sin b2 2cs in b2csin 特別地, 當(dāng) =90 ii 、當(dāng) 時(shí), P為右支上一點(diǎn)時(shí) 2a, r2 ri 2a FiPF2 ，記 ccos b2c I PFi | ri,|PF2 | a ccos得證 2 （ ri2 ）,由雙曲線的定義得 在厶FiPF2中，由余弦定理得: ri2 4c2 4riccos 2 r2 . 代入得 r12 4c2 4r1ccos (A 2a)2. 石 求得 b2 ccos a。 1 . r1 F1F2 sin 2 b2 (1)若P

7、是雙曲線 2 x 64 F1PF2的面積. 2cs in ccos a 2 乞1 36左支上的一點(diǎn), (2) 2 x 若P是雙曲線 1 右支上的一點(diǎn)， Fi、 b2csin c cos a得證 F1、F2是其焦點(diǎn), F2是其焦點(diǎn)，且 且 PF1F2 PF1F2 60 60 F1 PF2的面積. (1)解法一：在 線64 2 L 1 36 8,b6,c 10, 60 . |PFi | ri,|PF2 | b 點(diǎn)P在雙曲線上, 由雙曲線定義得: 2a 16.r2 16 在厶F1PF2 中，由余弦定理得: r/ 4c2 4hccos 2400 40r1 cos60 (16 G2. 解得: r1 36

8、 13 F1PF2 1 r1 F1 F2 sin 2 36 13 20 、3180 213 解法二: 在雙曲線64 b2csin a ccos 解法一：在 2 L 36 36 1 中, 8,b6,c 10, b2 36，而 60 . 10 sin 60 8 10cos60 180 13 x2匸 雙曲線4 1,b 2,c、5, 60 . 1 |PFi | A,|PF2 | b 點(diǎn)P在雙曲線上， S RPF2 b2csin ccos a 4 一 5 sin60 5 cos60 1 20：3 8.15 性質(zhì)二、雙曲線的焦點(diǎn)三角形PF1F2中, PFF2 PF2F1 由雙曲線定義得： r1 r2 2a

9、 2.r2 r12 在厶F1PF2中，由余弦定理得： 2 1 4c2 4r1ccosr22. 2 1 204. 5r1 cos60 (1 2)2. 解得: :18(.5 2) 1 S F1PF22 r1 F1 F2 sin 1 2 8(一5 f 2) 2.5320、. 38.15 2 2 x 2 y_ 1 中， 解法1 二:在雙曲線64 36 a 8,b6,c10, b236，而60 tan cot - 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，有22 cot tan 當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，有 22 IF2PI |FP| 壓| 證明：由正弦定理知 sin sin sin( ) LFPLLFPJLFEd 由等比定理，上式轉(zhuǎn)化為 sin sin sin( ) 2a 2c sin sin si n( ) c sin( ) 2sin - 2 cos 2 sin