利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)畢業(yè)論文

1、利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)目 錄標題1中文摘要11. 函數(shù)的單調(diào)性1 1.1單調(diào)性判別法1 1.2單調(diào)區(qū)間的劃分2 1.3典型例題分析22. 函數(shù)的極值3 2.1極值的概念3 2.2極值存在的條件4 2.3典型例題解析43. 函數(shù)的最大值、最小值問題5 3.1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值求法6 3.2應用問題的最值的求法64. 函數(shù)的凸凹性7 4.1概念7 4.2定理8 4.3解題步驟8 4.4經(jīng)典題型95. 曲線的漸近線9 5.1水平漸近線9 5.2垂直漸近線9 5.3斜漸近線96. 描繪函數(shù)圖像10 6.1簡單介紹及描繪圖像步驟10 6.2典型例題分析11參考文獻12致謝13外文頁14利用

2、導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài) 摘 要 導數(shù)的廣泛應用為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具.下面通過六部分內(nèi)容:可導函數(shù)單調(diào)性判別法、函數(shù)的極值、函數(shù)的最大（小）值、函數(shù)的凹凸性、漸近線、討論函數(shù)圖像.對運用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)進行了討論,其中研究的性質(zhì)有函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及函數(shù)的凹凸性與拐點,并由這些性質(zhì)和中學所學的函數(shù)的定義域、周期性和奇偶性等等來討論函數(shù)的圖像. 關(guān)鍵詞 導數(shù) 函數(shù) 單調(diào)性 凹凸性 拐點 漸近線research on the use of derivative function of statezhuang wenjie directed by prof. liu limei abs

3、tract extensive use of derivatives, in order to solve the function. through the six sparts: 1. monotonicity derivative discriminant function method; 2. extremal function；3. function of the maximum, minimum; 4. function with the inflection point of the convex-concave；5.inflection point；6.to discuss t

4、he image function.research on the use of derivative function of state were discussed. including the nature of the study of monotone functions, extreme value, the most value and function with the inflection point of the convex-concave, and these schools have learned the nature and definition of the f

5、unction domain, cycle and parity and so on to discuss the function of the image. key words derivative function monotonicity bump inflection point asymptote 導數(shù)是數(shù)學的重要基礎,是聯(lián)系初、高等數(shù)學的紐帶.它的引入為解決中學數(shù)學問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些問題的有力工具.應借助于導數(shù)在函數(shù)中的應用,深刻領(lǐng)會在利用導數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性、極值(與最值)這一過程中的原理. 運用導數(shù)來研究函數(shù)的性態(tài)

6、,它包括如下內(nèi)容：單調(diào)性、極值、最值及函數(shù)的凹凸性與拐點、漸近線、函數(shù)的圖像.下面我們通過六部分內(nèi)容來詳細說明一下. 函數(shù)的單調(diào)性 中學數(shù)學用代數(shù)的方法討論了一些函數(shù)的性態(tài)如單調(diào)性、極值性、奇偶性、周期性等.由于受方法的限制討論得既不深刻也不全面,且計算繁瑣,也不易掌握其規(guī)律.而導數(shù)為我們深刻、全面地研究函數(shù)的性態(tài)提供有力的數(shù)學工具.回顧以前知識可以知道,導數(shù)的幾何意義也就是切線的斜率,導數(shù)的實際意義就是變化率(如同上坡的變化率是坡度等),而物理意義如同位移之如速度、速度之如加速度等等.1.1 單調(diào)性判別法定理1 若函數(shù)在內(nèi)可導,則在內(nèi)單調(diào)遞增,;在遞減,.定理2 若函數(shù)在內(nèi)可導,則內(nèi)單調(diào).

7、在內(nèi)嚴格遞增 ,有;在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于. 在內(nèi)嚴格遞減 ,有;在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于. 推論 設函數(shù)在內(nèi)可導.若 (),則在內(nèi)嚴格遞增(嚴格遞減).但仍需注意,本推論只是嚴格單調(diào)的充分條件.例如在上是嚴格單調(diào)的,但并不是在上恒大于的,因為,即允許個別離散的點使得. 滿足方程的點為函數(shù)的穩(wěn)定點(又稱駐點).1.2 單調(diào)區(qū)間的劃分 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點可能是: 駐點或不可導點. 求單調(diào)區(qū)間的步驟: 求出函數(shù)的定義域;求出可能的分界點:駐點或不可導點; 用上述各點將定義域分成若干個小區(qū)間;判斷每個小區(qū)間上的符號, 從而得出結(jié)論.1.3 典型例題分析 例1 求的單調(diào)區(qū)間.分析：先求函數(shù)的定

8、義域，再利用一階導數(shù)為零的點和導數(shù)不存在的點將定義域劃分為幾個部分區(qū)間，然后分別確定函數(shù)在這些區(qū)間上的單調(diào)性。 解 的定義域為 ,令，則 即 ,列表如下：+00+ 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為、； 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為、.例2 證明：當時，不等式成立. 分析：可變形,故只需證明在內(nèi)是單調(diào)增的 .證 令 當時，,在內(nèi)是單調(diào)增的. 當時，,即. 通過上題我們可以知道利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法是:先構(gòu)造一個輔助函數(shù),等于不等號兩端的式子的差(一般用大的減去小的),然后再利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性,讓與比較大小,從而來證明不等式.這也是證明不等式的一種方法,我們以后可以用這種方法證明一些不等式.2.函數(shù)的極

9、值函數(shù)的極值不僅在實際生活中占有重要的地位,而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征.2.1極值的概念. 定義 設函數(shù)在區(qū)間有定義,若且存在的某鄰域,有,則稱是函數(shù)的極大值點（極小值點）,是函數(shù)的極大值（極小值）,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.注 極值點必在區(qū)間的內(nèi)部（即不能是區(qū)間i的端點）是函數(shù)的極值是與函數(shù)在的某個鄰域上的函數(shù)值比較而言的,因此極值是一個局部的概念.函數(shù)在區(qū)間上可能有很多的極大值（或極小值）,但只能是一個最大值（如果存在最大值）和一個最小值（如果存在最小值）若函數(shù)在區(qū)間的內(nèi)部某點取最大值（最小值）,則必是函數(shù)的極大點（極小點）.2.2極值存在的條件 費馬定

10、理 若函數(shù)在點可導,且為的極值點,則這就是說可導函數(shù)在點取極值的必要條件是.注 函數(shù)連續(xù)但不可導的點處,也可以為極值,另一方面,使的也未必使為極值.應檢查充分性. 定理1（極值的第一充分條件）設在點連續(xù),在某鄰域內(nèi)可導.1 若當時,當時,則在點處取得極小值.2 若當時,當,則在點處取得極大值. 注 1.若在的左右鄰域內(nèi)同號,則必不是極值. 2.即使函數(shù)連續(xù)且左右側(cè)鄰域?qū)?shù)都存在,并且為極值,也未必存在某鄰域使（）與某鄰域使.換言之,左右側(cè)鄰域?qū)?shù)反號是極值的充分條件而不是必要條件. 定理2 (極值的第二充分條件)設在的某鄰域內(nèi)一階可導,在=處二階可導,且=, , 若,則在取得極小值. 定理3

11、(極值存在的第三充分條件)設在的某鄰域內(nèi)存在直到階導數(shù), 在處階可導,并且, ,則 當為偶數(shù)時, 在=取得極值,且當時, 在取得極小值; 當為奇數(shù)時, 在=處無極值.2.3典型例題解析 例3 求的極值。 解 的定義域為, 令 ,又 由極值的第二充分條件可知 ,是極大值 ,是極小值. 例4 試求函數(shù)的極值. 解 由于,因此是函數(shù)的三個穩(wěn)定點,的二階導數(shù)為,由此可得,及.所以在時取得極小值.求三階導數(shù),有,.由于為奇數(shù),由極值第三充分條件可得在不取極值.再求的四階導數(shù),有.為偶數(shù),在取得極大值.綜上所述,為極大值,為極小值.總結(jié)求極值的方法步驟:求可疑點,可疑點包括）穩(wěn)定點（亦稱駐點或逗留點,皆指

12、一階導數(shù)等于零的點;）導數(shù)不存在的點;）區(qū)間端點.對可疑點進行判斷的基本方法：直接利用定義判斷;利用實際背景來判斷;查看一階導數(shù)的符號,當x從左向右穿越可疑點若的符號,由“正”變?yōu)椤柏摗眲t為嚴格極大值；由“負”變?yōu)椤罢眲t為嚴格極小值;若不變號,則不是極值.3.函數(shù)的最大值、最小值問題 函數(shù)在某個連續(xù)區(qū)間上的最大（?。┲凳谴藚^(qū)間上的極大（小）值及此區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大（?。┱?如就最大值而言,我們常說“登峰造極”,說的是在一個山峰上達到極高,但就多個山峰來說,峰峰有極高,而其中最高者只有一個,并且在一個游山者的某段旅程中,最高點有時不一定在某個山峰之極,就算此人停在某個山峰的上坡路上的某個

13、位置,卻也可能高于其它峰顛.這說明,有時區(qū)間端點也可能是最值點.因此,求最值時不光要比較各個極值,還要考慮到區(qū)間端點值.由連續(xù)函數(shù)在上的性質(zhì),若函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值、最小值,這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大、最小值問題提供了理論保證.函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值統(tǒng)稱為最值.生產(chǎn)實踐和科學實驗所遇到的“最好”,“最省”,“最大”,“最小”等問題都可歸結(jié)為數(shù)學的最值問題.3.1 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值求法求出在該區(qū)間內(nèi)部的一切駐點及不可導的點,并計算相應的函數(shù)值；求出在閉區(qū)間兩端點處函數(shù)值.比較中求出的函數(shù)值,最大者為最大值,最小者為最小值.故由此可見,求函數(shù)的最值就歸結(jié)為求函數(shù)在穩(wěn)定點及

14、不可導的點及區(qū)間端點處函數(shù)值中的最值. 例5求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值.解 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),故必存在最大、最小值.由于,因此就得出了 .又因為,所以由導數(shù)極限定理推知函數(shù)在處不可導,求出函數(shù)在穩(wěn)定點1與2,不可導點,以及端點的函數(shù)值.所以函數(shù)在處取得最小值,在和處取得最大值5.3.2 應用問題的最值的求法建模：建立目標函數(shù)的表達式及相應的定義區(qū)間；如果在內(nèi)可導,則求出在內(nèi)的一切駐點；如果內(nèi)只有一個駐點,并且經(jīng)檢驗是極大（?。┲迭c,則在此惟一駐點處函數(shù)必為最大（?。┲? 注 這里中的“如果”,必須認真檢查是否真的滿足.在實際生活中最值的應用 例6 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立

15、方成正比.已知當速度為,燃料費為每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用為每小時96元,問輪船的速度為多少時,每航行所消耗的費用最小？ 解 設船速為,據(jù)題意,每航行的耗費為.由已知,當時,故由已知,當時,故得,所以有.令,求得穩(wěn)定點.由極值第一充分條件檢驗得是極小值點,由于在上該函數(shù)處處可導,且只有惟一的極值點,當它為極小值點時比為最小值點,所以求得當船速為時,每航行的耗費為最少,其值為元.函數(shù)最值的幾個特例:單調(diào)函數(shù)的最值;如果函數(shù)在區(qū)間上可導且僅有一個駐點, 則當為極大值點時, 亦為最大值點; 當為極小值點時, 亦為最小值點;若函數(shù)在內(nèi)可導且僅有一個極大(或小)值點, 則該點亦為最大(或小)值點

16、; 對具有實際意義的函數(shù), 常用實際判斷原則確定最大(或小)值點.4.函數(shù)的凹凸性 上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值,這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的.為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀,我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù)凹凸性的概念及其與函數(shù)二階導數(shù)的關(guān)系.討論函數(shù)在區(qū)間嚴格增加還不夠,因為函數(shù)在區(qū)間嚴格增加還有不同的方式.例如,函數(shù)與在區(qū)間,顯然都是嚴格增加的,但它們增加的方式不同. 4.1概念 定義1 設為定義在區(qū)間上的任意兩點和任意實數(shù),總有,則稱為上的凸函數(shù),反之,如果總有,則稱為上的凹函數(shù). 定義2 設曲線在點()的一邊為上凸,一邊為下凸,則稱 ()為曲線的拐點.注 若()是曲線的一個拐點

17、,在點的導數(shù)不一定存在,如在的情形. 4.2定理（拐點必要條件） 若()為拐點,則要么（1）；要么（2）在點不可導. 定理1 設函數(shù)在開區(qū)間是凸函數(shù)（凹函數(shù)）,且,有. 推論 若函數(shù)在開區(qū)間存在二階導數(shù),有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴格凸函數(shù)； ,有,則函數(shù)在區(qū)間上嚴格凹函數(shù). 定理2 設函數(shù)在開區(qū)間可導,函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）曲線位于它的任意一點切線. 4.3解題步驟若函數(shù)存在二階導數(shù),討論函數(shù)得凹凸性和拐點可按下列步驟進行:第一步：求函數(shù)二階導函數(shù)；第二步：令,求解.其解將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間；第三步：判別在每個小區(qū)間的符號,設,由下表可知函數(shù)得凹凸性和拐點.c曲線上的點+(嚴凸)0-（

18、嚴凹）拐點-（嚴凹）0+(嚴凸)拐點+(嚴凸)0+(嚴凸)非拐點-（嚴凹）0-（嚴凹）非拐點 4.4經(jīng)典題型 例7 討論函數(shù)的凹凸性及其拐點. 解 函數(shù)的定義域是, ,令其解是0與1.它們將定義域分成三個區(qū)間：.列表如下：01+0_0+嚴凸拐點嚴凹拐點嚴凸顯然在與是嚴凸,在嚴凹.曲線上的點與都是拐點. 注 若曲線的拐點,在的導數(shù)不一定存在.5.曲線的漸近線 定義 當曲線上動點沿著曲線無限遠移時,若動點到某直線的距離無限趨近于,則稱直線是曲線的漸近線. 曲線的漸近線包括三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線.5.1水平漸近線 若,則是一條水平漸近線；又有,則也是一條（若,則當然只能算一條）.5.

19、2垂直漸近線若存在,使（或）則是一條垂直漸近線,這樣的先由觀察法觀得,一般考慮分母為零處、對數(shù)的真數(shù)為零處.5.3斜漸近線 是曲線的一條漸近線的充要條件是,.這里也可以改成.若成立,即為水平漸近線. 例8 求的漸近線. 解 已知,.則是曲線的垂直漸近線.又有 .直線,即是曲線的漸近線.注 無窮區(qū)間的曲線具有什么樣的性質(zhì)才是具有漸近線？由觀察不難得到以下的簡易判別法：設,當與都是連續(xù)函數(shù)時,若且,則直線是曲線的垂直漸近線.當是次多項式,是次多項式（）,若則曲線有斜漸近線;若,則曲線有水平漸近線.當與是無理函數(shù)時,沿與的最高次冪分別是正數(shù)與,若則曲線有斜漸近線;若則曲線有水平漸近線.6.描繪函數(shù)圖像 6.1簡單介紹及描繪圖像步驟中學數(shù)學應用描點法描繪了一些簡單函數(shù)的圖像,但是描點法有缺陷.這是因為描點法所選取的點不可能很多,而一些關(guān)鍵性的點,如極值點、拐點等可能漏掉,曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些重要的形態(tài)也沒有掌握.因此,用描點