高一上學期函數(shù)的單調(diào)性-奇偶性及周期性知識點和題型

1、（一）函數(shù)的單調(diào)性知識梳理1函數(shù)單調(diào)性定義：對于給定區(qū)間d 上的函數(shù)f(x) ，若對于任意x 1 ,x 2 d,當 x 1 x 2 時，都有 f(x 1 ) f(x 2 )，則稱 f(x) 是區(qū)間 d 上的增函數(shù) ， d 叫 f(x)單調(diào)遞增區(qū)間當 x 1 f(x 2 )，則稱 f(x) 是區(qū)間 d 上的減函數(shù) ， d 叫 f(x)單調(diào)遞減區(qū)間2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：（ 1）從直觀上看，函數(shù)圖象從左向右看，在某個區(qū)間上，圖象是上升的，則此函數(shù)是增函數(shù) ，若圖象是下降的，則此函數(shù)是 減函數(shù) 。（ 2）一般地，設(shè)函數(shù) yf (x)的定義域為 i 如果對于屬于定義域i 內(nèi)某個區(qū)間 a 上的任意兩個自

2、變量的值x1 ，x2 ，且 x1x2 ，則 x1x20（ 1） f x1 - fx20則fx1f x20x1x2即 f ( x) 在區(qū)間 a 上是增函數(shù)；x1x2（ 2） fx1f x2則f x1fx20 x1x2即 f ( x) 在區(qū)間 a 上是減函數(shù)x1x2如果函數(shù) yf ( x) 在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做yf ( x) 的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，因此函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，應以定義域為前提；必須指明在某個區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)（ 3）復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法：設(shè)yfu , ug x , xa,b ,um,

3、 n若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相同，則yfg x在 x 的區(qū)間 d 內(nèi)單調(diào)遞增，若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相反時，則yfg x在 x 的區(qū)間 d 內(nèi)單調(diào)遞減（同增異減）3常見結(jié)論若 f(x)為減函數(shù)，則 -f(x) 為增函數(shù)；若 f(x)0 （或 0）且為增函數(shù)，則函數(shù)1在其定義域內(nèi)為減函數(shù)f (x )【題型一、 單調(diào)性的判斷 】例、寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（ 1）ykx b,（ 2）k2y，（ ）y ax bx c3x如圖是定義在區(qū)間 5，5上的函數(shù)y=f(x) ，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【題型二、 用定義法證明單調(diào)性】例、定義法證明函數(shù)y=2x+3 在 (

4、,) 的單調(diào)性 .例、判斷函數(shù)f （ x） x1在（ 0,1）上的單調(diào)性x【變式訓練1】證明函數(shù)x2) 上是增函數(shù)f (x)在 ( 1,x1【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的定義法來進行判別，記好步驟。【題型三、 單調(diào)性的運用 】例、已知f (x)( k 23k4) x2k1 在 r 上是增函數(shù) ,則 k 的取值范圍例、函數(shù)f(x)x22(a1)x2在 (, 4 上是減函數(shù) 則求a的取值范圍,【變式訓練2】已知函數(shù)25,5 上是單調(diào)函數(shù)，a 的取值范圍是f (x) x 2ax 2, x【變式訓練3】函數(shù) f （ x）是 r 上的減函數(shù) ,求 f（a2 a 1）與 f （3）的大小關(guān)系4【題型四、 抽象函數(shù)

5、的單調(diào)性及其應用】例、已知y=f(x) 是定義在（ -2，2）上的增函數(shù)，若f(m-1) f(1-2m) ，則 m 的取值范圍是例、設(shè) f（ x）定義在r +上，對于任意a、b r+，有 f（ ab） f（ a） f（ b）求證：（ 1） f （ 1） 0；1（ 2） f（ x ） f（ x）；（ 3）若 x（ 1， +）時， f（ x） 0，則 f （ x）在（ 1， +）上是減函數(shù)【題型五 、復合函數(shù)的單調(diào)性】例、求函數(shù)f ( x)x22x3 的單調(diào)遞減區(qū)間。求 f(x) =x24x5 的單調(diào)區(qū)間課后作業(yè)：一、選擇題1、函數(shù) f(x) |x|和 g(x) x(2 x) 的遞增區(qū)間依次是 (

6、)a (， 0， (， 1b (， 0， 1， )c0， )， (，1d 0， )， 1， )2、當 | x | 1時，函數(shù) yax2a 1的值有正也有負，則實數(shù)a 的取值范圍是（）a a1b a11d -1 a13c - 1 a333、若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間（ a，b）上為增函數(shù)， 在區(qū)間（ b，c）上也是增函數(shù)， 則函數(shù) f ( x)在區(qū)間（ a，c）上（）a. 必是增函數(shù)b. 必是減函數(shù)c. 是增函數(shù)或是減函數(shù)d. 無法確定增減性二、填空題4、函數(shù) f ( x)2x 2mx3,當 x 2, ) 時 ,是增函數(shù) ,當 (, 2時是減函數(shù) ,則 f(1) =_5、已知f (x) 在定義

7、域內(nèi)是減函數(shù)，且f ( x) 0 ，在其定義域內(nèi)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性： yf (x)a( a 為常數(shù) )是_； yaf ( x) (a 為常數(shù) )是 _； y1是 _； y |f ( x)2 | 是 _ f (x)6、函數(shù) f(x) = ax2 4(a 1)x 3 在 2， 上遞減，則 a 的取值范圍是 _7、若函數(shù) f(x)2x1， x 1，5 x，x1，則 f(x)的遞減區(qū)間是 _三、解答題8、討論函數(shù)f(x)x22ax3 在(-2,2) 內(nèi)的單調(diào)性。9、設(shè) f(x) 是定義在 (0,+）上的增函數(shù)，f(2)=1，且f(xy)=f(x)+f(y) ，求滿足不等式f(x)+f(x- 3) 2

8、的 x 的取值范圍 .（二）函數(shù)的奇偶性知識梳理1、函數(shù)奇偶性定義：1 、 一般地，如果對于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個x ，都有fxfx ，那么就稱函數(shù)fx 為偶函數(shù) .偶函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對稱 .2、 一般地，如果對于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)任意一個x ，都有 fxf x ，那么就稱函數(shù)fx 為奇函數(shù) .奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)2、函數(shù)奇偶性的判定方法：定義法、圖像法（ 1）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；確定 f( x)

9、與 f(x)的關(guān)系；作出相應結(jié)論：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 或 f(x)=-f(-x) ，則 f(x) 是奇函數(shù)（ 2）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關(guān)于原點對稱（ 3）利用圖像判斷函數(shù)奇偶性的方法：圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于y 軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)3、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù) 在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同 的單調(diào)性； 偶函數(shù) 在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性

10、4、（ 1）奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。若x 是定義域中的一個數(shù)值，則x 也必然在定義域中，因此，函數(shù) yf (x) 是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關(guān)于原點對稱。換言之，所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)必不具奇偶性。（ 2）若奇函數(shù)f (x) 在 x0 處有定義，則f (0)0 。（ 3） f1( x)f ( x)f ( x) 為偶函數(shù)，f2 (x)f ( x)f ( x) 為奇函數(shù)。（ 4）函數(shù)的奇偶性是相對于整個定義域來說的，而單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是局部性質(zhì)?！绢}型一、 有關(guān)函數(shù)奇偶性的判斷或證明的問題】例、判斷下列函數(shù)的奇偶性。 f

11、( x) ( x 1)1x , f (x )9 x 2,1x f ( x)x2x(x0) f (x)x 2 1 1 x 2xx2(x0)1x2 f ( x)2| 2| x【方法技巧】判斷函數(shù)的奇偶性，第一步是要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數(shù)，如果對稱，接下去再去找f(x) 與 f(-x) 之間的關(guān)系，牢記好，在定義域內(nèi)f(x)=f(-x) 則為偶函數(shù)， f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)?！咀兪接柧?4】函數(shù) f ( x) x 1 ( x0) 是 ( )xa奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【變式訓練5】若函數(shù)yx2bxc 是偶函數(shù)，

12、則有()a. br, crb.br,c0c.b0, c0 d.b0, cr【變式訓練6】設(shè)函數(shù)f ( x) ax32bx 1，且 f ( 1)3, 則 f (1) 等于（）a.-3b.3c.-5d. 5【題型二、 應用函數(shù)奇偶性求值、求解析式】例、（ 1）已知偶函數(shù) f ( x) 的定義域是 (,0)(0,) ，當 x0 時 f ( x) x 31 ，求 f ( x) 的解析式 .（ 2）已知奇函數(shù) g( x) 的定義域是 r，當 x0時 g( x)x22x ，求 g( x) 的解析式 .【變式訓練7】 已知 f (x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，且當x0 時， f (x)x22x3，求 f

13、( x) 的解析式。【題型三、 抽象函數(shù)的奇偶性的判斷】例、設(shè)函數(shù)f(x)， g(x)的定義域為r，且f (x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()a f(x)g(x)是偶函數(shù)b |f(x)|g(x)是奇函數(shù)c f(x)|g( x)|是奇函數(shù)d |f(x)g(x)|是奇函數(shù)【變式訓練 8】設(shè) f ( x) 是定義在 r 上的一個函數(shù)，則函數(shù) f (x)f (x) f ( x) ，在 r 上一定是 ( )a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d 非奇非偶函數(shù) .【題型四、 有關(guān)函數(shù)奇偶性的綜合問題】例 、 設(shè) 奇函 數(shù) f ( x) 在 (0,) 上為增函數(shù) ，且 f (1) 0

14、，則不等 式 f (x)f ( x)0的解集為x（）a 、 (, 1) (1, )b、 (, 1) (0,1)c、 (1,0) (1, )d、 (1,0)(0,1)例、已知函數(shù) f ( x) ax2a 上的偶函數(shù)，則a， b _ bx c 是定義在 2a,1例、 設(shè)函數(shù) f (x) 對任意 x, yr ，都有 f (xy)f (x)f ( y) ，求證 f ( x) 是奇函數(shù)；【變式訓練9】設(shè) f(x)=ax5+bx3+cx 5(a,b,c 是常數(shù) )且 f (7)7 ,則 f （ 7） =若 y（ m 1） x22mx3 是偶函數(shù)，則m _x22x, x0,已知函數(shù)f(x)0, x0,是奇函

15、數(shù)求實數(shù)m 的值；x2mx, x0(三)函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對于函數(shù) y f(x)，如果存在一個非零常數(shù) t，使得當 x 取定義域內(nèi)的任何值時，都有 f(xt) f(x)，那么就稱函數(shù) y f(x)為周期函數(shù)，稱 t 為這個函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期例、 設(shè) f (x) 是 (,) 上的奇函數(shù)，f ( x2)f ( x) ，當 x0,1 時， f ( x)x ，求 f (7.5) 的值。例、已知定義在r 上的奇函數(shù)f(x)滿足 f(x 4) f(x)，且在區(qū)間 0,2 上是增函數(shù)，則()a f(25)

16、 f(11)f(80)b f(80)f(11)f( 25)c f(11)f(80)f( 25)d f(25) f(80)f(11)【變式訓練】設(shè)f(x)是( ， )上的奇函數(shù)，f( x2) f(x)，當 0x1時， f(x) x.(1) 求 f( )的值；(2) 當 4x4時，求 f(x)的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積；(3) 寫出 ( ， )內(nèi)函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間課后作業(yè)1函數(shù) f(x)=4x2 mx5在區(qū)間 2， 上是增函數(shù)，在區(qū)間( ， 2)上是減函數(shù)，則f(1) 等于（）a 7b 1c 17d 252已知函數(shù) f(x)在區(qū)間 a， b 上單調(diào)，且 f( a)f(b) 0，則方程

17、f(x)=0 在區(qū)間 a， b內(nèi)（）a 至少有一實根b至多有一實根c沒有實根d必有唯一的實根3已知函數(shù) f(x)=8 2x x2，如果 g( x)=f( 2 x2 )，那么函數(shù) g(x)（）a 在區(qū)間 ( 1， 0)上是減函數(shù)b 在區(qū)間 (0， 1)上是減函數(shù)c在區(qū)間 ( 2，0)上是增函數(shù)d在區(qū)間 (0， 2)上是增函數(shù)4. 若函數(shù) y f ( x)( xr) 是奇函數(shù)，則下列坐標表示的點一定在函數(shù)yf ( x) 圖象上的是（）a ( a，f (a)b ( a，f (a) c ( a，f (a)d (a，f ( a)5下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）a yxb y xc y x 2d y x31a

18、 2 xa2r) 是奇函數(shù)，則 a 的值為（）6. 已知函數(shù) f ( x)1( x2xa 1b2c 1d 27.設(shè)偶函數(shù)f ( x) 的定義域為 r ，當 x0,時， f (x) 是增函數(shù)，則 f ( 2),f ( ) ， f (3) 的大小關(guān)系是（）af ( )f ( 3)f ( 2)bf ( )f ( 2)f ( 3)c f ( )f ( 3)f ( 2)d f ( )f ( 2)f ( 3)8若函數(shù) y f ( x) 是奇函數(shù)，f (1)3 ，則 f ( 1) 的值為 _ .9 已知分段函數(shù)f (x) 是奇函數(shù)，當x0,) 時的解析式為 y x 2，則這個函數(shù)在區(qū)間 (,0) 上的解析式為10. 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1) f ( x)xx3x5 ；(2)f (x)x2 , x( 1,3) ；(3) f (