類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

1、類比探究等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)上海市桐柏高級中學(xué) 李淑艷 馬莉上海市普陀區(qū)教育學(xué)院 劉達(dá)一、案例背景本課的教學(xué)內(nèi)容是上海市高中課本數(shù)學(xué)（華東師范大學(xué)出版社）高中二年級第二學(xué)期數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法章節(jié)的數(shù)列性質(zhì)探究課。上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）提出：普通中小學(xué)課程的基本觀念是以學(xué)生發(fā)展為本，堅(jiān)持全體學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生個(gè)性的健康發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展。并指出：“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，開發(fā)實(shí)踐環(huán)節(jié)和拓寬學(xué)習(xí)渠道，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一”。在顧泠沅博士的“三個(gè)階段、二次反思、行動(dòng)跟進(jìn)”的行動(dòng)教育研究模式下。本

2、課例從“背景研究”，“教學(xué)實(shí)踐”和“評價(jià)反思”，都是在“以學(xué)定教”原則的基礎(chǔ)上的。從教材體系來看，等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)就滲透類比的研究方法，鑒于學(xué)生的實(shí)際水平及樂于思考新問題的特點(diǎn)，我們設(shè)置了有一定層次的供類比的數(shù)列問題，同時(shí)也對學(xué)生學(xué)習(xí)過程可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行了預(yù)測。同時(shí)根據(jù)學(xué)生目前現(xiàn)狀，以及教材內(nèi)容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數(shù)列中問題等有關(guān)素材，在自我理解的層面上設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)思路及手段、教學(xué)過程，先進(jìn)行第一次教學(xué)嘗試，然后進(jìn)行反思；再請專家、教研員、教研組長、全體組員在聽取本人的設(shè)計(jì)初衷及反思后進(jìn)行全方位的再設(shè)計(jì)與指導(dǎo)，而后開設(shè)公開課進(jìn)行教研，在系統(tǒng)評價(jià)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行第二

3、次實(shí)踐；第三次看目標(biāo)的達(dá)成度與教師理念的轉(zhuǎn)變、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)的總結(jié)。我們就是按照這種“行動(dòng)教育”模式開展課堂教學(xué)研究的。二、目標(biāo)分析本課教學(xué)目標(biāo)的確定圍繞著“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的研究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式。探索如何運(yùn)用研究性學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式在等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)探究教學(xué)中融合類比的探究方法，自主開展的探究式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。教學(xué)目標(biāo)在初步掌握等差、等比數(shù)列的概念及部分性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比，繼續(xù)尋找等差、等比數(shù)列的一些性質(zhì)；性質(zhì)的類比經(jīng)歷運(yùn)用類比思想方法研究數(shù)列問題的過程，體驗(yàn)“大膽猜想小心論證”的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程。研究方法的類比本課希望通過“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個(gè)

4、維度：“一維知識(shí)結(jié)構(gòu)上的類比；二維證明方法上的類比；三維學(xué)生自主的理性思想方法的類比?！?三、教學(xué)流程首先通過科學(xué)事實(shí)魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問題（以回顧的形式對比出現(xiàn)）：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式中項(xiàng)公式若，若，簡單性質(zhì)若，若，通過這一回顧，學(xué)生能從“第一維”層面上開展類比學(xué)習(xí)，體會(huì)等差數(shù)列和等比數(shù)列在概念形式上的相似之處。在基本認(rèn)識(shí)了類比探究方法之后，教師通過問題提升本節(jié)探究課活動(dòng)性和探究性，設(shè)置了若干性質(zhì)探究的問題供學(xué)生思考。問題1：在等差數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)數(shù)列是等差數(shù)列，則仍是等差數(shù)列。類比：若是等比數(shù)列，當(dāng)是_數(shù)列時(shí)，是_數(shù)列。問題一是在學(xué)生已掌握“數(shù)列是等差數(shù)列

5、，對中下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)也成等差數(shù)列”這一性質(zhì)后，將“文字語言”轉(zhuǎn)化成“符號語言”，讓學(xué)生來類比等比數(shù)列中相應(yīng)的性質(zhì)，并加以證明。學(xué)生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進(jìn)行類比證明。這樣的問題，在學(xué)生理解性質(zhì)后，初步體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的“類比”方法。問題一結(jié)束后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生如何類比并得到正確結(jié)論？經(jīng)歷運(yùn)用類比思想方法研究數(shù)列問題的過程。問題2：有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列。由此經(jīng)過類比，他猜想：若為等比數(shù)列，則、也為等比數(shù)列。你認(rèn)為呢？問題二是一道開放性問題，有近85%的學(xué)生最初得到了、也為等比數(shù)列，并有部分同學(xué)給予了“證明”。學(xué)生初步感覺到“和”與“積

6、”的類比，“差”與“商”的類比。此時(shí)，教師再拋出一個(gè)問題：“積”為等比數(shù)列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數(shù)列后能說明“和”不是等比嗎？對于這一問題，學(xué)生根據(jù)前面兩個(gè)問題的解決已經(jīng)隱約體驗(yàn)到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進(jìn)行類比，說明這種思考問題的方法已不自覺地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實(shí)錄：師：對剛才問題，同學(xué)可以得到什么結(jié)論？生1：我判斷并證明了等比數(shù)列的“和”仍然是等比數(shù)列，且公比什q。（師環(huán)視四周，似乎每個(gè)人都投以贊同的目光，并且頻繁點(diǎn)頭表示同意）。生2：我有點(diǎn)不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺得，對數(shù)列-1，1，-1，1，這個(gè)數(shù)列來說，其和不

7、是等比數(shù)列。（此時(shí)全班恍然，都認(rèn)為是正確的）師：我們來看一下生1的證明過程（投影儀）： ，是等比數(shù)列。你們看證明過程嚴(yán)密嗎？生3：當(dāng)q=1時(shí)，他的第二步不成立。（此時(shí)同學(xué)們又都給予肯定）。師：答得好。本來我們不知道這一反例，但在證明過程中發(fā)現(xiàn)了問題的存在，由此找到了反例，說明同學(xué)們在發(fā)現(xiàn)問題時(shí)，能夠進(jìn)行大膽猜想、小心論證的嚴(yán)密的科學(xué)態(tài)度。師：學(xué)到這里，你有什么樣的感受呢？生4：在等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比中，我發(fā)現(xiàn)除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯(cuò)誤的可以舉出反例。生5：我感到就算是類比的結(jié)論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。這番交流的過程中，學(xué)生的思維幾經(jīng)“沖浪”輾轉(zhuǎn)，他們的

8、好奇心和探索熱情已被喚起，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)歷程正在探索中內(nèi)化著。問題3：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？問題4：我們知道對于等差數(shù)列，成立。通過類比，嘗試發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列中的相似結(jié)論并給予證明.問題三的設(shè)計(jì)和問題四是結(jié)合在一起的，設(shè)計(jì)問題三的時(shí)候考慮到學(xué)生有可能只能通過證明找到反例從而得出不成等比數(shù)列的結(jié)論，而對類比的結(jié)論有困難，甚至?xí)型瑢W(xué)得出成等比數(shù)列的結(jié)論。對于問題四，可以將問題三溝通起來探索。經(jīng)過討論、形式上類比、對結(jié)論進(jìn)行論證。我們可以在學(xué)生最終明確結(jié)論后再回到問題三，讓同學(xué)們進(jìn)一步思考并指出“成等比數(shù)列”的說法雖然不對，但在“

9、類比發(fā)現(xiàn)”的探究過程中也有不少新的收獲。繼而提問：如何改動(dòng)使得結(jié)論成立？這個(gè)過程，將“類比發(fā)現(xiàn)自悟”模式的核心學(xué)生在思維上經(jīng)過反復(fù)的類比、驗(yàn)證，自我領(lǐng)悟并掌握類比的思想方法完全體現(xiàn)在了教學(xué)過程中。四、教學(xué)反思第一次教學(xué)之后，在教研員、教研組長等老師的指導(dǎo)下，總結(jié)了以下一些不足：1在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達(dá)成度較高，但反映在數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上的內(nèi)容偏少；2問題之間的聯(lián)系不是很好，問題似乎有些孤立；3題目偏多；為此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整過程中關(guān)注了這兩個(gè)方面：1為將“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的模式更加清晰地在教學(xué)中體現(xiàn)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)由重形式向重思維方式轉(zhuǎn)變；2精選例題，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題關(guān)

10、注一題多變、多題環(huán)環(huán)相扣的連鎖關(guān)系，同時(shí)體現(xiàn)思維“嚴(yán)密性”，并且搭建腳手架，幫助學(xué)生努力實(shí)現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)自悟”的過程。在公開課教學(xué)之后，聽課老師以及學(xué)科組的專家在一起再次開展了評課探討，結(jié)合教師的反思總結(jié)如下：1本堂課是等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比，在學(xué)生經(jīng)歷了類比的學(xué)習(xí)后，能夠體會(huì)：從形式上得到類比的特征，從本質(zhì)上體驗(yàn)思維的過程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結(jié)論，再由論證使之成為類比。這樣的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在辯證中掌握類比的思想方法。2本堂課知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成度較好，學(xué)生能夠基本掌握類比的特征，但學(xué)習(xí)過程中教師沒有刻意地總結(jié)、引導(dǎo)，學(xué)生在探究過程中以體驗(yàn)為主，

11、只是學(xué)生對于“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學(xué)方法促進(jìn)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)方式的形成。3教師在平時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)具備二期課改的理念，重視學(xué)生的思維活動(dòng)。比如，在問題二中，有學(xué)生提出反例：在數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，中，所以不是等比數(shù)列。教師應(yīng)加以表揚(yáng)，并緊接著提問：你是怎樣想到這個(gè)反例的，你能得出什么樣的規(guī)律？如果這位學(xué)生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過程，從中尋找問題所在。這樣不但順應(yīng)了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，而且在老師的點(diǎn)撥下，學(xué)生能進(jìn)一步更深層次地考慮問題，從而為問題三打下伏筆。4在學(xué)生有困難的地方可以預(yù)先做準(zhǔn)備工作，這樣可以使這堂課的達(dá)成度更高。比如，在問題

12、三中，是非常抽象的，它牽涉到子數(shù)列的問題，而且在原設(shè)計(jì)中是“數(shù)列是等差數(shù)列，請同學(xué)在等比數(shù)列中進(jìn)行類比”，但由于證明過于抽象，學(xué)生不容易理解，因此改為上述形勢，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數(shù)列的概念，學(xué)生理解起來也許更容易。因此在下一堂的課中，作了如下改進(jìn)：1在等差數(shù)列復(fù)習(xí)中，將問題2、3在等差數(shù)列中的情況進(jìn)行證明，再事先將等差數(shù)列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學(xué)生在證明等比數(shù)列的過程中遇到困難的話，就可以把等差數(shù)列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗(yàn)到證明的方法也可以進(jìn)行類比，更加凸顯類比的本質(zhì)特征。事實(shí)上，在本堂課中也達(dá)到了這樣的目的，學(xué)生的掌握度也更好了。如：在證明問題3的時(shí)候

13、，有的同學(xué)利用前n項(xiàng)和公式證明較為繁瑣，而有的同學(xué)很快就得出結(jié)論，她說：“證明是類比等差數(shù)列的思路和步驟，結(jié)論是類比問題二得出的?！边@就充分說明她已經(jīng)掌握了類比的本質(zhì)，表明經(jīng)歷幾次設(shè)計(jì)問題并逐步解決、探索，學(xué)生正體驗(yàn)著數(shù)學(xué)思想和方法，領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用意識(shí)。2因?yàn)閱栴}2和問題3是同類型的問題，尤其是它們的證明以及在證明過程中發(fā)現(xiàn)反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請兩組同學(xué)解決問題二，另兩組同學(xué)解決問題三，再進(jìn)行討論總結(jié)。實(shí)施下來，時(shí)間縮短了，而且有了比較，同學(xué)的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時(shí)來不及解決的推論解決了，使得學(xué)生的思維得到延伸，而且使學(xué)生對類比的本質(zhì)特征有了理性上的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到了第三維：學(xué)生自主的理性思想的類比。 通過“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的初步實(shí)施，學(xué)生在自主的學(xué)習(xí)和探究過程中體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生的過程，通過對產(chǎn)生的見解的辯論進(jìn)行了思維方式的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)習(xí)方法得到了改善，為他們今后的學(xué)習(xí)帶來了信心和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式，其效果應(yīng)該說是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學(xué)理念得到了很大的提升，尤其對于“類比發(fā)現(xiàn)自悟”的研