1993考研數(shù)二真題及解析

1、1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) lim xln x = .x_0 +函數(shù)y二y(x)由方程sin(x2 y2) ex - xy2 =0所確定，則魚二.dx1設F(x)=(2 -K)dt(x0)，則函數(shù)F(x)的單調(diào)減少區(qū)間是 .竺dx= .cosx1已知曲線y = f(x)過點(0,-一),且其上任一點(x, y)處的切線斜率為xln( 1 x2),2則 f(x)二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只 有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)1 1

2、(1)當x 0時，變量psin 是() xx(A)無窮小(B)無窮大(C)有界的，但不是無窮小(D)有界的，但不是無窮大|x2 -1|X式1設f (x)二x -1則在點X二1處函數(shù)f (x)()車 2， x=1,(A)不連續(xù)(B)連續(xù)，但不可導(C)可導,但導數(shù)不連續(xù)(D)可導，且導數(shù)連續(xù)/ 2x 0 x w 1x已知 f(x)二設 F(x) = 1 f(t)dt (0 沁乞2),則 F(x)為()3 1, 1x2,1 311 x,0Exc1- x ,0Exc1(A) 3(B) 331x1,0程咲211,x34j1 x c 1(C) 3(D) 33x1,1mx1,1xx 蘭2設常數(shù)k 0,函數(shù)

3、f(x) In x-k在(0,=)內(nèi)零點個數(shù)為()e(A)3(B)2(C)1(D)0若 f(x)二-f (-x),在(0,二)內(nèi) f(X)0, f (x)0，則 f(x)在(-=0)內(nèi)()(A) f (x) : 0, f (x) : 0(B) f (x) : 0, f (x) 0(C) f (x) 0, f (xp:0(D) f (x) 0, f (x) 0三、（本題共5小題,每小題5分，滿分25分.）d2y（1）設y=sinf（x2）,其中f具有二階導數(shù)，求一dx求 lim x(、x2 100 x).X_X 求4dx.1 +cos2xr； X求3 dx.3(1+x)3X=0求微分方程(x2

4、-1)dy (2xy -cosx)dx =0滿足初始條件y=1的特解.四、（本題滿分9分）設二階常系數(shù)線性微分方程y * yy二eX的一個特解為 y =e2x （1 x）eX,試確定常數(shù)，：，并求該方程的通解.五、（本題滿分9分）設平面圖形A由X y2 2x與y _ X所確定，求圖形A繞直線x = 2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、（本題滿分9分）作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高h為何值時，其體積V最小，并求出該 最小值.七、（本題滿分6分）設 x 0，常數(shù) a e,證明（a x）a : aa X.八、（本題滿分6分）設f （X）在0,a上連續(xù)，且f （0） =0,證明:f0 f(x)d

5、x Ma，其中 M 二 max | f (x) |.0 x a1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.）【答案】0【解析】這是個o :型未定式，可將其等價變換成 二型,從而利用洛必達法則0進行求解1lim xln x = lim洛 lim xlim x = 0.1 =0+ 1J0+(2)【答案】y2 -ex _2xcos(x2 y2)x_孑2y cos(x2 y2) -2xy【解析】這是一個由復合函數(shù)和隱函數(shù)所確定的函數(shù)，將方程sin(x2 y2) ex xy2 =0 兩邊對 x 求導，得2 2cos(x y ) (2x 2yy) e-

6、y2 -2xyy =0,2ycos(x2 y2) _2xy【相關(guān)知識點】復合函數(shù)求導法則:如果u二g(x)在點x可導,而y二f (x)在點u二g( x)可導,則復合函數(shù)化簡得八yfxcosa2 y2)y = f lg(x)在點x可導，且其導數(shù)為業(yè)=f(u) g(x)或業(yè)理.dxdx du dx1 【答案】0 x 0時,sin丄是振蕩函數(shù)，所以可用反證法.x111 2,則 psin (k二)sin k二=0 ,k 二X1kX1k111122x2k 1，則 2sin (2k ) ：；：= ,(k = 1,2,H| J .(2k+兀X2kX2k211因此，當k時，有心一；0及X2k； 0,但變量r

7、sin-或等于0或趨于:xx這表明當X 0時它是無界的，但不是無窮大量，即(D)選項正確.(2)【答案】(A)【解析】利用函數(shù)連續(xù)定義判定，即如果函數(shù)在Xo處連續(xù)，則有l(wèi)im f(x)X JXg -=lim f (x)X X)二 f(Xo).由題可知X2 -1二 linx x-1一1 -Xlim f (x)二 limlin1 -x1 - x -1x1 - x -1因f (x)在x =1處左右極限不相等，故在x =1處不連續(xù)，因此選(A).lim f (x) = lim |-X1X 1 x V x -1|X-1|=1叫(x 1) = 2,-lim( x 1) 一 -2.X )1 (3) 【答案】

8、(D)【解析】這是分段函數(shù)求定積分當Ox ：1時,0沁乞21,故f(t)=t2,所以F(x)f(t)dtt2dt 二 1t3當1遼x豈2時,1乞t Zx空2,故f (t) =1所以xx_xF(x)= j； f(t)dt= 1dt = E=x 1.應選(D).(4) 【答案】(B)【解析】判定函數(shù)f (x)零點的個數(shù)等價于判定函數(shù)y = f(x)與x的交點個數(shù).X1 1對函數(shù)f (x) = In x -一 k兩邊對x求導，得f (x)= - - - .ex e令f (x) =0,解得唯一駐點x =e, 即丄f (x)0,0 : x : e; f (x)嚴格單調(diào)增加，f (x) c0,e 0 .l

9、im丄f (x) = limQn x + k) = e又因為:100因為x y dy時，2 2dV -二(2-xJ dy-黛(2-x2) dy =愿(2_1J -y2)2 -(2-y)2 dy=2 點.；1 一 y2 -(1 一 y)2 dy.所以 v = 2兀(J y (1 y) dy.對于 0 1 -y2dy,令 y = sin t,則 dy 二 costdt ,所以2 1 2 1 1 cos tdt02 (1 cos 2t)dt t(1-鈔_ 1 3 dy=2二10 一1 -y2dy 二 021 2 1 2對于 0 (1 一 y)dy = - 0(1 - y) d(1 - y)所以V =

10、2 :JI1sin 2t1 21/3,解法二：取x為積分變量，則邊界線為y1 = 2x - x2 與 y2 = x(0 三 x 三 1),如右圖所示.當x x dx時，dV =2 二(2 -x)(% -y2)dx=2 二(2 - x)(、2x _ x2 _ x) dx, 所以 V = 2二 o (2-x)( ; 2x-x2 -x)dx.令 x T = t ,貝U x = 1 t,dx 二 dt 所以1 2o (2 -x)C. 2x -x -x)dx=L(it) J2(i+t)(1+t)2 (i+t)dt= W_t2 _tJ1t2 +t2 1It.再令 t 二 sin 貝 dt 二 cos 罰二

11、,所以 j J1 -12 -1 山-12 +t2一1 dt - (cost - sin jcos j sin2 j -1)cos)dv0 2 0 2 0 2 0cossin cossin vcosvdcos d v 221 0 0 2 0 2 0(1 cos2 Jd cos rd cos sin d sincosdv21 . .sin 22_兀 143T +cOs3 町 +sin3 畀71_22- 3L 32 1 243.所以V =2二 o(2 -x)(. 2x -X2 -x)dx=2：().4321-13_2六、(本題滿分9分)【解析】這是一個將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題設圓錐底半徑

12、為R，如圖，BC二R, AC二h,OD二r .由BCACR =0D，adoa2-od2,有hrh. (h -r)2于是圓錐體積R =-r2. h2 -2hr1 -V R h = r3對上式兩端對h求導，并令V：0,得1得唯一駐點h =4r ,且電 1 工(2r :：: h -).3 h 2r2 2h(h -2r) -h2(h-2r)2丄吐些o,3(h-2r)2(2r vh 4r,VvO4r h ：,V 0，所以h =4r為極小值點也是最小值點，最小體積V(4r)=字r3.3七、(本題滿分9分)【解析】首先應簡化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當x 0,常數(shù)a e時，原不等式兩邊取自然對數(shù)可化為aln(a

13、 x) : (a x)ln a 或ln(a x)a xIn aa證法一：令 f (x) = (a x)ln a - aln( a x)則 f (x) = In a -a + x a由 a e, x 0,知 ln a 1,1,故 f (x)0(x0).a + x從而f(x)為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，且f (x) = (a x)ln a - a ln( a x) f (0) = a ln a - aln a = 0,( x 0)即(a x)ln aa ln( a x) 0 ,所以(a - x)a : aa x.證法二：令f(x)=M,則f(x)=上茫.xx當 x a e時，有 f (x) = ：0,x所

14、以函數(shù)在x a e為嚴格單調(diào)遞減函數(shù)，即f(x ar- f (a),所以有m：,g,a +x a即(a - x)a : aa x.八、(本題滿分9分)【解析】證法一：用微分中值定理對任意給定的x 0, a，由拉格朗日中值定理，得f(x)二 f(0) f ( )x,(0 ： x)由 f (0) =0,知 f (x)二f ( )x.因為 M = max | f (x) |,所以0蘭蘭| f(x)F| f ( )|x 乞Mx,將兩邊從0a做x的定積分，有aaMa 20 | f(x)|dxM 0 xdx .2 aaMa由定積分的基本性質(zhì)可知|f(x)dx| | f (x) | dx002證法二：用牛頓-萊布尼茨公式.對任意給定的X，0, a,以及f (0) =0,可知x0 f (t)dt 二 f(x) f(0)= f(x),x從而 I f(x)E f