可化為一元一次方程的分式方程(提高)知識(shí)講解

1、可化為一元一次方程的分式方程(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程.2. 會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程 要點(diǎn)詮釋：(1)分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù)(2) 分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)(不是一般的字 母系數(shù))分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù) 的方程是整式方程(3) 分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都

2、乘以最簡(jiǎn)公分 母，去掉分母在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做 原方程的增根因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根解分式方程的一般步驟：(1) 方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母)；(2) 解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；(3) 檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根產(chǎn)生增根的原因：去分

3、母時(shí)，方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來說，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來說，分式無意義， 所以這個(gè)根是原分式方程的增根 要點(diǎn)詮釋：(1 )增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0,那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根(2)解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤， 而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根， 它是在解方程的過程中 沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)

4、用主要就是列方程解應(yīng)用題列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：(1) 審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 設(shè)未知數(shù)；(3) 找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；(4) 解這個(gè)分式方程；(5) 驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；(6) 寫出答案【典型例題】類型一、判別分式方程A .、下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是(B.空Z1仝72【答案】【解析】B、C、D、3+x _D.解：A、方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，n是常數(shù)；方程分母中含未知數(shù) x，故是分式方程.D.=1 -：2+x x故選D

5、.【總結(jié)升華】判斷一個(gè)方程是否為分式方程， 主要是依據(jù)分式方程的定義, 是否含有未知數(shù)(注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母).類型二、解復(fù)雜分式方程的技巧也就是看分母中02、解方程:131041x4 x-3 x-5 x1【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分,3x 13x 1(x -4)(x -3)(x -5)(x -1)3x 1x 1 小0 ,(x-4)x(-3)x* 今(1)- 1 1 1(3x+1) | 1 = 0 ,T(x-4)(x-3) (x-5)(x-1)一3x + 1= Q 或:=0 ,(x 4)(x3) (x 5)(x 1)由 3x 0，解得 x = -1 ,3由(

6、x -4)( x -3)-0，解得 x = 7 .(x -5)(x T)x=7是原方程的根.【總結(jié)升華】 若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)，去分母后的整式方程的解很難求出來. 注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解.舉一反三:【變式】解方程+ +x 4 x 7 x 5 x 6【答案】解：移項(xiàng)得兩邊同時(shí)通分得(x 5) -(x 4) (x 7) -(x 6)(x 4)(x 5) (x 6)( x 7)即 1(x 4)( x 5) (x 6)(x 7)因?yàn)閮蓚€(gè)分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等.所以(x 4)(x 5

7、) =(x 6)(x 7),2 2x 9x 20 二 x 13x 42,2 2x 9x 20-x -13x -42 =0 ,-4x-22 = 0,11x =211檢驗(yàn)：當(dāng) x時(shí)，(x 4)(x 5)(x 6)(x 7) = 0.11二 x是原方程的根.2類型三、分式方程的增根2 mx 33、( 1)若分式方程2有增根，求m值；x-2 x -4 x + 2k _11 k _5(2)若分式方程 22 有增根X = -1，求k的值.x -1 x -x x -x【答案與解析】解: (1)方程兩邊同乘(x，2)(x-2)，得 2( x 2) m 3(2).(m -1)x - -10 .10x =1 -m

8、由題意知增根為x = 2或x = -2 ,衛(wèi)=2或匹2.1m 1 _m(2)方程兩邊同乘 x(x 1)(x -1)，得(k -1)x -(X 1) =(k - 5)(x 1).3x = k - 4.k4x =3增根為x = -1 , y.3k = 1.【總結(jié)升華】（1）在方程變形中，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根， 這種根叫做原方程的增 根.在分式方程中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根；（2）這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值.舉一反三：【變式】是否存在實(shí)數(shù) x，使得代數(shù)式 I與代數(shù)式1+ ；的值相等.x+2 x2 - 41-2【答案】解：根據(jù)題意

9、得：一 -一=1+亠,x+24x- 222去分母得：x - 4x+4 - 16=x - 4+4x+8 ,移項(xiàng)合并得：8x= - 16 ,解得：x= - 2,經(jīng)檢驗(yàn)x= - 2是增根，分式方程無解，所以不存在這樣的實(shí)數(shù) x,使得代數(shù)式一-一與代數(shù)式1+一的值相等.x+2 K2 - 4x- 2類型三、分式方程的應(yīng)用4、（ 2016?婁底）甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為3000米.甲同學(xué)先步行 600 米,然后乘公交車去學(xué)校、乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校.已知甲步行速度是乙騎自行車速度的丄，公2交車的速度是乙騎自行車速度的2倍.甲乙兩同學(xué)同時(shí)從家發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘.（1 ）求乙騎自行車

10、的速度；（2 ）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)時(shí)間量之間的關(guān)系來列分式方程，即甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘.【答案與解析】解：（1 ）設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是1 x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意得600 3000 - 600 3000 o+ = - 2 -，2 *解得：x=300米/分鐘，經(jīng)檢驗(yàn)x=300是方程的根，答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；(2 )T 300 X 2=600 米，答：當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時(shí)，乙同學(xué)離學(xué)校還有600 米.【總結(jié)升華】舉一反三：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到乙的運(yùn)動(dòng)速度是解題關(guān)鍵.【變式】一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地，慢車比快車早出發(fā) 2小時(shí)，在離 A地2276公里處快車追