必修二立體幾何較難題匯總情況

1、1.四面體ABCD四個面的重心分別為E、F、GH,則四面體EFGH勺表面積與四的表面積的比值是B) 16 C) D)A如圖，連接AF、AG并延長與BC CD相交于M N,由于F、G分別是三角形的重心，所以M N分別是BC CD的中點，且 AF: AM=AG AN=2 3,所以 FG MN=2 3,又 MN BD=1 2,所以 FG BD=1 3,即兩個四面體的相似比是1 : 3,所以兩個四面體的表面積的比是1: 9;故選C.如圖，平面a/平面B/平面丫，兩條直線I, ni分別與平面a, 3, 丫相交于點A, B, C和點 D, E, F.已矢口 AC二 15cm, DE二 5cm, AB： B

2、O 1 : 3,求 AB, BC, EF 的長設(shè)平面 allB , Ca , B DB 直線 AB 與 CD 交于 S,若 AS二 18, BS二9, CD二34, 則 CS=08/3 或 68與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有多少個 七個你可以把它想象成一個三棱錐四個頂點各對應(yīng)一個有四個，兩條相對棱對應(yīng)一個共三組相對棱因此有三個總共有七個如圖，在四棱錐P-ABCD屮，平面PADL平面ABCD AB/ DC PAD是等邊三角形,已知 BD=2AD=8 AB二2DC二 J。設(shè)M是PC上的一點，證明：平面1BD_平面PAD,匸二一 ,Bbj-(2)求四棱錐P-ABCD的體積解：(1)證

3、明：在-二二中，由于一.匸所以 -.- 故 xL.又平面丹0丄平面，平面平面二AD ,J ”，平面.I，-二所以夕二一平面”又C平面i 故平面-U I平面(2)過作：-丄.交： 于Q由于平面門 嚴(yán)面，所以匸匚亠平面匕因此匸匚為四棱錐的咼，又是邊長為4的等邊三角形p(9 二 2x4 =23因此：在底面四邊形加中，丄一，邊二“所以四邊形爐是梯形，4x3 L在二一一匚三中，斜邊-丄：邊上的高為，此即為梯形刃的高，4退婕眉L 24所以四邊形1-二的面積為八n必嚴(yán)卜24X2少皿 故.在長方體 ABCDAiBGD 屮，AE二BC二2, AA二 1,則 BG 與平面 BBDD所成角的正弦值為26 B.315

4、.ToC.D.5(2008福建)如圖,(15)如圖，二面角二ri -的大小是60 ,線段A 8二* BI,AB與I所成的角為30。則AB與平面：所成的角的正弦值是19.(本小題滿分12分)1如圖，直三棱柱ABC- ABC中，AC二BC丄AA, D是棱AA的中點，DC丄BD。2(1)證明：DC丄BCD(2 )求二面角A-BD- C的大小?！窘馕觥浚?）在Rt.DAC中，AD =AC ,得:.ADC =45 ,同理:.ADC, =45 二.CDC, =90 ,得：DC DC 。又 DC 丄 BD DC BD =D ,所以DC平面BCD。而BC二平面BCD,所以DC! _ BC。（2）解法一：（幾何

5、法）由 DC BC, CG _ BC 二 BC _ 面 ACCd=BC _ AC o取Ab的中點0,連接CQ , 0D o因為 AC,二BQ,所以 CQ _ A3 ,因為面ABQ, _面A,BD,所以CQ _面A,BD,從而CQ _ BD ,又DC丄BD所以BD丄面DCQ,因為0D u平面DCQ,所以BD丄0D。由BD _0D , BC丄DC,所以.Ci DO為二面角A BD-C的平面角。設(shè) AA, =2a , AC 二 BC 二且，貝 U CQ 迪21 在直角 GOD , CQ 0D , C】0GD ,-2所以.GDO =30 o因此二面角幾- BD -G的大小為30 。7/A*(2007)

6、2.(北京市西城區(qū)2012年4月高三抽樣測試)下列四個正方體圖形屮,體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的屮點，能得出AB/面MNP的圖形的序號是() A.、B.、C.、答案：B3、(吉林省吉林市 2012屆上期末丿三棱錐P ABC的高P0=8 AC二BC二3 / ACB=30 , M N分別在BC和P0,且CM=x PN二2CM試問下面的四個圖像中哪個圖像大致描繪了三棱錐N-AMC的體積V與x的變化關(guān)系(X, (0, 3)()答案：AABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點，在DM上取一點G, 過G和AP作平面交平面BDMT GH求證:AP / GH.B平面a過正方形

7、ABCDAiBCD的三個頂點氏D, Ai, a與底面ABiCD的交線為L,貝9 L 與BD的位置關(guān)系？如圖，正方形ABCL正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE, BD 各有一點P,Q,且 AP=DQ 求證：PQ/ 面 BCE4下列各圖是正方體或正四面體，P, Q, 共面的一個圖是（）R, S分別是所在棱的中點，貝U四個點不A空間三條直線，其中一條和其他兩條都相交，那這三條直線中的兩條能確定的平面?zhèn)€ 數(shù)是多少1、若三條直線只有一個交點，則可以確定一個或三個平面；2、若這三條直線有兩個不同的交點，則可以確定一個或三個平面。3、若這三條直線有三個不同的交點，則可確定以一個平面。答案：一個或三個線

8、面平行的判定定理證明線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行。線面平行的定義是：若直線與平面沒有公共點，則稱此直線與該平面平行。證明：設(shè)直線a II直線b, a不在平面a內(nèi)，b在平面a內(nèi)。用反證法證明aliao 假設(shè)直線a與平面a不平行，則由于a不在平面a內(nèi)，有a與a相交，設(shè)ana二A。 則點A不在直線b上，否則an b=A與a I b矛盾。過點A在平面a內(nèi)作直線c II b,由且I b得a I Co而A a,且A c,即卩a. n c=A,這與a II c相矛 盾。于是假設(shè)錯誤，故原命題正確。（反證法）例題2從正方體的棱和各個面上的對角線中選

9、出k條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線，求k的最大值.AB解答 考察如圖所示的正方體上的四條線段AC BC, DBi, AD,它們所在直線兩兩都是異面直線又若有5條或5條以 上兩兩異面的直線，則它們的端點相異且個數(shù)不少于10, 與正方體只有8個頂點矛盾故K的最大值是4.練習(xí)1在正方體的8個頂點、12條棱的中點、 6個面的中心及正方體的中心共計27個點中，問共線的三點組的個數(shù)是多少8匯7解答兩端點都為頂點的共線三點組共有乞丄=28個；兩端點都為面的中心共線2三點組共有色二3個；兩端點都為各棱中點的共線三點組共有 丄18個，且2 2沒有別的類型的共線三點組，所以總共有28 349個.例題

10、3在單位正方體ABCDABCD的面對角線AB上存在一點P使得APfDP最短，求 AF+DP的最小值.解答 將等腰直角三角形AAB沿AB折起至AAB,使三角形AAB與四邊形ABCD共面， 聯(lián)結(jié)AD】,則A Di的長即為AP+ D】P的最小值,所以,AD 二 l2 l22 1 1 C0S135 22練習(xí)3已知單位正方體ABCDAiBiCD的對棱胡、D上有兩個動點E、F, BE二DF二丸2值.1解答當(dāng)，二丄時,2（0V人蘭1） 設(shè)EF與AB所成的角為a，與BC所成的角為B，求且+P的最小-TT不難證明：二f （）是單調(diào)減函數(shù)因此：的2最小值為一.2例十七、（2000年全國聯(lián)賽一試）一個球與正四面體的

11、六條棱都相切，若正四面 體的棱長為/則這個球的體積是 分析：由正四面體的圖象的對稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正四面體的中心，球 與 各棱相切，其切點必為各棱中點，考查三組對棱中點的連線交于一點，即為內(nèi) 切球的球心，所以每組對棱間的距離即為內(nèi)切球的直徑，于是有:C運3二一兀a24練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分析可知，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心相同，將球心與正四面體的個頂點相連，可將正四面體劃分為四個全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的 半徑即為正高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三故只要求出正四面體的高度即可.所以,R sa, r 6a 412例二十三、（

12、1991年全國聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐P-ABC的高為PQ M為P0的中點，過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個部分，試求此兩部分 的體積比.分析：取BC的中點D,連接PD交AM于G,設(shè)所 作的平行于BC的平面交平面PBC于EF,由直線 與平面平行的性質(zhì)定理得：EF/ BC,連接AE, AF,則平面AEF為合乎要求的截面.作 OH/ PG 交 AG 于點 H,貝 U: OH=PG 匹二PD 二 pG CD/ gg=i 旦二 1 VEF PG PGPG OH AO 2故.Vpef二詮二BC噲；于是：連収 V心 FBC：1A _PBC例5己知正三梭儺SABC的高SO =3,底面邊長為氐過

13、點A向它所 對的側(cè)面SBC作垂線，垂足為OS在A0上取一點巴使讓二&求經(jīng)過點卩 仇平行于底面的栽面的面積，（1989,全國髙中聯(lián)賽）解：如圖5 因為S是正三棱錐，所以點0 J&A ABC的童心H*連結(jié)A0并 延氏交BC于 D,因為點D 是的中點 丄平面SAIJ,而 A a 丄所以ACT 在平面SAD 上從而，點 CT必在DS上*于足,AD 二 6x二 3/3, 0Z = yAn=/3,+ (/3)2 =02Z7 =孕r從而夾在這四個球所組成圖形空隙中與四個球均相切的小球的半徑為（年一 1）二說明（】）本例能夠解決 的關(guān)鍵是將四個球的球心提煉岀了一個正四面體，從而我們可以將有 關(guān)計算轉(zhuǎn)移到該正四

14、面體內(nèi)進 行*（2）正四面體的外接球半徑是內(nèi)切球半徑的M倍，它們分別是高 的四分之三與四分 之一*（2012重慶）9設(shè)四面體的六條棱的長分別為1, 1, 1, 1, -、2和a,且長為a的棱 與長為J的棱異面，貝U a的取值范圍是（A ）A. （0, J2）（o,、3） C. （1 八 2） D（1 八 3）（2010全國）（6）直三棱柱ABC-ABG中，若BAC=90, AB = AC = AA,則異面 直線BA與AG所成的角等于（C ）（A） 30 （B） 45 （C） 60 （D） 90 6.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱 ABC - AB.G的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成

15、的角的求法.【解析】延長CA到D,使得AD二AC,貝U ADACi為平行四邊形，.DAB就是異AB、BQ都相交;AB BiCi都平行.片DBiGA.B CD 面直線BA與MG所成的角，又三角形兒仍為等邊三角形，DAB=60過正方體ABCDABiCD 的頂點A作直線a,使a與棱AE, AD, A /所在直線所成的角都相等，這樣的直線a 可以作（D ）A） 1條B ）2條C ）3條D ）4條（2010重慶）（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（D ）（A）只有1個（B）恰有3個（C）恰有4個（D）有無窮多個 11如圖，M是正方體ABCD - ABiCiDi的棱DDi的中點，給出下列命題 過M點有且只有一條直線與直線AB、BiCi都相交; 過M點有且只有一條直線與直線AB、BG都垂直; 過M點有且只有一個平面與直線 過M點有且只有一個平面與直線 其中真命題是:3、如圖:在正方體ABCD -