華羅庚學(xué)校五年級(jí)數(shù)學(xué)(上冊(cè)）教材（第915講共15講）

1、本系列共 15 講第九講“牛吃草”問題.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣有這樣的問題，如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供 27頭牛吃 6 周，或供 23 頭牛吃 9 周。那么它可供 21 頭牛吃幾周？ 這類問題稱為“牛吃草”問題。 解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時(shí)間越長，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的 ：（1）某個(gè)時(shí)間期限前草場上原有的草量；（2）這個(gè)時(shí)間期限后草 場每天（周）生長而新增的草量。因此，必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來 。下面就用開頭的題目為例進(jìn)行分析。（見下圖）從上面的線段圖可以看出 23 頭牛 9 周的總草量比 27 頭牛 6 周的總草量多，多出

2、部分相當(dāng)于 3 周新生長的草量。為了求出一周新 生長的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。27 頭牛 6 周吃草量相當(dāng)于 276=162 頭牛一周吃草量（或一頭牛吃 162 周 ）。23 頭牛 9 周吃草量相當(dāng)于239=207 頭牛一周吃草量（或一頭牛吃 207 周）。這樣一來可以認(rèn) 為 每周新生長的草量相當(dāng)于（207162）（96）=15 頭牛一周的 吃草量。需要解決的第二個(gè)問題是牧場上原有草量是多少？用 27 頭牛6 周的總吃草量減去 6 周新生長的草量（即 156=90 頭牛吃一周的 草量）即為牧場原有的草量。所以牧場上原有草量為 266156=72 頭牛一周的吃草量（或者為 239159=72）。牧場

3、上的草 21 頭牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問題相當(dāng)于把21 頭牛分成兩部分。一部分看成專吃牧場上原有的草，另一部分看 成專吃新生長的草。但是新生的草只能維持 15 頭牛的吃草量，且 始終保持平衡（前面已分析過每周新生的草恰夠 15 頭 牛 吃 一 周 ）。 故分出 15 頭牛吃新生長的草，另一部分 2115=6 頭牛去吃原有的 草。所以牧場上的草夠吃 726=12 周，也就是這個(gè)牧場上的草夠 21 頭牛吃 12 周。例 2：一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)。如果 10 人淘水，3 小時(shí)淘完；如 5 人淘水 8 小時(shí)淘完。如果要求 2 小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？分析與解答：這類

4、問題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水 的延長而增加。所以總水量是個(gè)變量。而單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的 增長量是不變的。船內(nèi)原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水 量）也是不變的量。對(duì)于這個(gè)問題我們換一個(gè)角度進(jìn)行分析。如果設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為“1 個(gè)單位”，則船內(nèi)原有水 量與 3 小時(shí)內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時(shí)淘水量時(shí)間人 數(shù) ， 即 1310=30。船內(nèi)原有水量與 8 小時(shí)漏水量之和為 158=40。 每小時(shí)的漏水量等于 8 小時(shí)與 3 小時(shí)總水量之差時(shí)間差，即（4030）（83）=2（即每小時(shí)漏進(jìn)水量為 2 個(gè)單位，相當(dāng)于 每小時(shí) 2 人的淘水量）。船內(nèi)原有的水量等于 10 人 3 小時(shí)

5、淘出的總水量3 小時(shí)漏進(jìn) 水量，3 小時(shí)漏進(jìn)水量相當(dāng)于 32=6 人 1 小時(shí)淘水量。所以船內(nèi)原 有水量為 3023=24。如果這些水（24 個(gè)單位）要 2 小時(shí)淘完，則需 242=12 人 。 但與此同時(shí)，每小時(shí)的漏進(jìn)水量又要安排 2 人淘出，因此共需要 122=14 人。從以上這兩個(gè)例題看出，不管從哪一個(gè)角度來分析問題，都必 須求出原有的量及單位時(shí)間內(nèi)增加的量，這兩個(gè)量是不變的量。有 了這兩個(gè)量，問題就容易解決了。例 3：12 頭牛 28 天可以吃完 10 公畝牧場上全部牧草，21 頭牛 63 天可以吃完 30 公畝牧場上全部牧草。多少頭牛 126 天可以吃完 72 公畝牧場上全部牧草（每

6、公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場 每天生長草量相等）？分析：解量的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭 牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12 頭牛 28 天吃完 10 公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于 1 公畝原來 的牧草加上 28 天新生產(chǎn)的草可供 33.6 頭牛吃一天（122810=33.6）。21 頭牛 63 天吃完 30 公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于 1 公畝原有 的草加 上 63 天新生 長的草可供 44.1 頭牛吃 一天（ 632130=44.1）。1 公畝一天新生長的牧草可供 0.3 頭牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3（頭）1 公畝原有的牧草

7、可供 25.2 頭牛吃一天，即：33.60.328=25.2（頭）72 公畝原有牧草可供 14.4 頭牛吃 126 天，即：7225.2126=14.4（頭）72 公畝每天新生長的草量可供 21.6 頭牛吃一天，即：720.3=21.6（頭）所以 72 公畝牧場上的牧草可供 36（=14.421.6）頭牛吃 126 天，問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？（632130122810）（6328）=0.3（頭） 一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？1228100.328=25.2（頭）72 公畝的牧草可供多少頭牛吃 126 天？7225.2126720.3= 36(頭)例 4：一

8、塊草地，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供 16 頭牛 吃 20 天，或者供 80 只頭吃 12 天。如果一頭牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 頭牛與 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析：由于 1 頭牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和 15 頭牛每天的吃草量相等，80 只羊每天吃 草量與 20 頭牛每天吃草量相等。解：60 只羊每天吃草量相當(dāng)于多少頭牛每天的吃草量？604=15（頭）草地原有草量與 20 天新生長草量可供多少頭牛吃一天？1620=320（天）80 只羊 12 天的吃草量可供多少頭牛吃一天？80412=240（頭） 每天新

9、生長的草量夠多少頭牛吃一天？（320240）（2012）=10（頭） 原有草量可夠多少頭牛吃一天？3202010=120（頭）原有草量可供 10 頭牛與 60 只羊吃多少天？120（6041010）=8（天）例 5：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5 臺(tái)抽水機(jī)連 續(xù) 20 天可抽干，6 臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù) 15 天可抽干。若要求 6 天 抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？解：水庫原有的水與 20 天流入水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽 1 天？205=100（臺(tái)）水庫原有水與 15 天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽 1 天？615=90（臺(tái)）每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽 1 天？（10090）（2015

10、）=2（臺(tái)） 原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽 1 天？100202=60（臺(tái)）若 6 天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？6062=12（臺(tái)）例 6：有三片草場，每畝原有草量相同，草的生長速度也相同。三 片草場的面積分別為 3 1 畝、10 畝和 24 畝。第一片草場可供 12 頭3牛吃 4 周，第二片草場可供 21 頭牛吃 9 周。問：第三片草場可供 多少頭牛吃 18 周？用方程解：解：設(shè)每畝草場原有的草量為 a，每周每畝草場新生長草量為b。依題意第一片草場（ 3 1 畝）原有的草與 4 周新生長的草量之和為：3（3 1 ）a（43 1 ）b33每頭牛每周的吃草量為（第一片草場 3 1 畝 ）：3 (3

11、1)+ 4 (3 1)(124)=10(a + 4b) = 5(a + 4b)(1)3 a3 b3 12 472第二片草場（10 畝）原有的草與 9 周生長出來的草為：10a(109)b每頭牛每周的吃草量為：（第二片草場）a10 + (10 9)b(2)21 9由于每頭牛每周吃草量相等，列方程為：b10a + (10 9)b = 5(a + 4 )(3)21 9725a=60ba=12b（表示 1 畝草場上原有草量是每周新生長草量的 12 倍）將 a=12b 代入（3）的兩邊得到每頭牛每周吃草量為 10。9 b設(shè)第三片草場（24 畝）可供 x 頭牛吃 18 周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方

12、程為：b24a + b (18 24) = 10(4)18x9x=36答：第三片草場可供 36 頭牛 18 周食用。這道題列方程時(shí)引入 a、b 兩個(gè)輔助未知數(shù)，在解方程時(shí)不一 定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。習(xí)題九1一場牧場長滿草，每天牧草都均勻生長。這片牧場可供 10 頭 牛吃 20 天，可供 15 頭牛吃 10 天。問：可供 25 頭牛吃多少 天？222 頭牛吃 33 畝草地上的草，54 天可以吃完；17 頭牛吃 28畝同樣的草地上的草，84 天可以吃完。問：同樣的牧草 40 畝可供多少頭牛食用 24 天？（每畝草地原有草量相等，草生 長速度相等）3有一牧場，17 頭牛

13、 30 天可將草吃完；19 頭牛則 24 天可以吃 完?，F(xiàn)有若干頭牛吃了 6 天后，賣掉了 4 頭牛，余下的牛再 吃兩天便將草吃完。問：原來有多少頭牛吃草（草均勻生長）？4現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時(shí)有水勻速流入池塘。若用8 臺(tái)抽水機(jī) 10 天可以抽干；用 6 臺(tái)抽水機(jī) 20 天能抽干。問： 若要 5 天抽干水，需多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)來抽水？本系列共 15 講第十講列方程解應(yīng)用題.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣列方程解應(yīng)用題是用字母來代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，也就是列出方程，然后解出未知數(shù)的值。列方程 解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)在于可以使未知數(shù)直接參加運(yùn)算。解這類應(yīng)用題的 關(guān)鍵在于能夠正

14、確地設(shè)立未知數(shù)，找出等量關(guān)系從而建立方程。而 找出等量關(guān)系又在于熟練運(yùn)用數(shù)量之間的各種已知條件。掌握了這 兩點(diǎn)就能正確地列出方程。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）弄清題意，找出已知條件和所求問題；（2）依題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù) x；（3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；（4）解方程；（5）檢驗(yàn)，寫出答案。例 1：列方程，并求出方程的解。（1） 11 減去一個(gè)數(shù)，所得差與 1.35 加上 13 的和相等，求這36個(gè)數(shù)。解：設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，則依題意有11 x=1.35 1336即11 x= 27 133206x=11 27 133206x= 320檢驗(yàn)：把 x=3 代入原方程，左邊= 3 2 3203

15、20= 3 31 與右邊相等，60所以 x= 320是原方程的解。（2）某數(shù)的 1 比它的 21 倍少 11，求某數(shù)。28解：設(shè)某數(shù)為 x，依題意，有：21 x 1 x=1182即17 x=118x= 8817例 2：已知籃球、足球、排球平均每個(gè) 36 元，籃球比排球每個(gè)多 10 元，足球比排球每個(gè)多 8 元，每個(gè)足球多少元？分析：（1）籃球、足球、排球平均每個(gè) 36 元，購買三種球的 總價(jià)是：363=108（元）（2）籃球和足球都與排球比，所以把排球的單價(jià)作為標(biāo)準(zhǔn)量， 設(shè)為 x。（3）列方程時(shí)，等量關(guān)系可以確定為分類購球的總價(jià)=平均值 導(dǎo)出的總價(jià)。解：設(shè)每個(gè)排球 x 元，則每個(gè)籃球（x10）

16、元，每個(gè)足球（x8）元。依題意，有：xx10x8=3633x18=1083x=90x=30x8=308=38 答：每個(gè)足球 38 元。例 3：媽媽買回一筐蘋果，按計(jì)劃天數(shù)，如果每天吃 4 個(gè)，則多出48 個(gè)蘋果；如果每天吃 6 個(gè)，則又少 8 個(gè)蘋果。問：媽媽買回蘋果多 少個(gè)？計(jì)劃吃多少天？分析 1根據(jù)已知條件分析出，每天吃蘋果的個(gè)數(shù)及吃若干天 后剩下蘋果的個(gè)數(shù)是變量，而蘋果的總個(gè)數(shù)是不變量。因此列方程 的等量關(guān)系是蘋果總個(gè)數(shù)=蘋果總個(gè)數(shù)，方程左邊，第一種方案下 每天吃的個(gè)數(shù)天數(shù)剩下的個(gè)數(shù)，等于右邊第二種方案下每天吃 的個(gè)數(shù)天數(shù)所差的個(gè)數(shù)。解：設(shè)原計(jì)劃吃 x 天。4x48=6x82x=56x=

17、28蘋果個(gè)數(shù)：42848=160（個(gè)）分析 2列方程解等量關(guān)系確定為計(jì)劃吃的天數(shù)=計(jì)劃吃的天數(shù)。解：設(shè)媽媽共買回蘋果 x 個(gè)。x 48 = x + 8464x32=6x2882x=320x=160 (16048)4=28(天)答：媽媽買回 160 個(gè)蘋果，原計(jì)劃吃 28 天。例 4：甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 個(gè)。如果甲多做 10 個(gè)，乙 少做 10 個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘 2，丁做的個(gè)數(shù)除以 2，那么四人做的零 件數(shù)恰好相等。問：丙實(shí)際做了多少個(gè)？（這是設(shè)間接未知數(shù)的例 題）分析根據(jù)“那么四人做的零件數(shù)恰姨相等”，把這個(gè)零件相 等的數(shù)設(shè)為 x，從而得出：甲10=乙10=丙2=丁2=x根據(jù)這

18、個(gè)等式又可以推出：甲10=x，（ 甲 =x10）；乙10=x，（ 乙 =x10）丙2=x，（ 丙 = x ）2丁2=x，（ 丁 =2x）又根據(jù)甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 個(gè)，可以得到一個(gè)方 程，它的左邊表示零件的總個(gè)數(shù)，右邊也表示零件的總個(gè)數(shù)。解：設(shè)變換后每人做的零件數(shù)為 x 個(gè)。x10x102x x =27022x2xx4x=5409x=540x=60 丙2=60， 丙=30 答：丙實(shí)際做零件 30 個(gè)。例 5：某圖書館原有科技書、文藝書共 630 本，其中科技書占 20%。 后來又買進(jìn)一些科技書，這時(shí)科技書占總數(shù)的 30%，買進(jìn)科技書多 少本？分析依題意，文藝書的本數(shù)沒有變，如果設(shè)

19、買進(jìn)科技書 x 本 ， 那么，原來的本數(shù)x 本=增加后的本數(shù)。文藝書占增加后總本數(shù)的70%，相當(dāng)于原有書總數(shù)的 80%，所以，增加后總本數(shù)70%=原來總 本數(shù)80%，即原先的文藝書本數(shù)=后來的文藝書本數(shù)。解：設(shè)買進(jìn)科技書 x 本。（630x）(130%)=630(120%)44170%x=50470%x=63x=90 答：買進(jìn)科技書 90 本。例 6：一塊長方形的地，長和寬的比是 5：3，長比寬多 24 米，這 塊地的面積是多少平方米？分析要想求這塊地的面積，必須先求出長和寬各是多少米。 已知條件中給出長和寬的比是 5：3，又知道長比寬多 24 米，如果 把寬設(shè)為 x 米，則長為（x24）米，

20、這樣確定方程左邊表示長與 寬的比等右邊長與寬的比，再列出方程。解：設(shè)長方形的寬是 x 米，長是（x24）米。x + 24 = 5x35x=3x722x=72x=36x24=3624=60，6036=2160（平方米）答：這塊地的面積是 2160 平方米。例 7：某縣農(nóng)機(jī)廠金工車間有 77 個(gè)工人，已知每個(gè)工人平均每天可以加工甲種零件 5 個(gè)或乙種零件 4 個(gè)，或丙種零件 3 個(gè)。但加工 3 個(gè)甲種零件，1 個(gè)乙種零件和 9 個(gè)丙種零件才恰好配成一套。問： 應(yīng)安排生產(chǎn)甲、乙、丙種零件各多少人時(shí)，才能使生產(chǎn)的三種零件 恰好配套？分析如果直接設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件的人數(shù)分別為 x 人 、 y 人、

21、z 人，根據(jù)共有 77 人的條件可以列出方程 xyz=77，但解 起來比較麻煩。如果仔細(xì)分析題意，會(huì)發(fā)現(xiàn)除了上面提到的加工甲、乙、丙三 種零件的人數(shù)這三個(gè)未知數(shù)外，還有甲、乙、丙三種零件的各自的 總件數(shù)。而題目中又有關(guān)于甲、乙、丙三種零件之間裝配時(shí)的內(nèi)在 聯(lián)系，這個(gè)內(nèi)在聯(lián)系可以用比例關(guān)系表示，而乙種零件件數(shù)又在中 間起媒介作用。所以如用間接未知數(shù)，設(shè)乙種零件總數(shù)為 x 個(gè)，為 了配套，甲種、丙種零件件數(shù)總數(shù)分別為 3x 個(gè)和 9x 個(gè)，再根據(jù)生 產(chǎn)某種零件人數(shù)=生產(chǎn)這種零件的個(gè)數(shù)工人勞動(dòng)效率，可以分別 求出生產(chǎn)甲、乙、丙種零件需安排的人數(shù)，從而找出等量關(guān)系，即 按均衡生產(chǎn)推算的總?cè)藬?shù)=總?cè)藬?shù)，

22、列出方程。解：設(shè)加工乙種零件 x 個(gè)，則加工甲種零件 3x 個(gè)，加工丙種 零件 9x 個(gè)。加工乙種零件需安排 x 人，加工甲種零件需安排 3x459x人，加工丙種零件需安排 3 人。3x x 9 x =775 4312x5x60x=154077x=15403x = 3 20=12x=205 5x14 = 4 20=59x3 =320=60答：應(yīng)安排加工甲、乙、丙三種零件工人人數(shù)分別為 12 人、5人和 60 人。習(xí)題十1媽媽帶一些錢去買布，買 2 米布后還剩下 1.80 元；如果買同樣的布 4 米則差 2.40 元。問：媽媽帶了多少錢？2第一車間工人人數(shù)是第二車間工人人數(shù)的 3 倍。如果從第一

23、 車間調(diào) 20 名工人去第二車間，則兩個(gè)車間人數(shù)相等。求原來兩個(gè)車間各有工人多少名？3兩個(gè)水池共貯水 40 噸，甲池注進(jìn) 4 噸，乙池放出 8 噸，甲池 水的噸數(shù)與乙池水的噸數(shù)相等。兩個(gè)水池原來各貯水多少 噸？4兩堆煤，甲堆煤有 4.5 噸，乙堆煤有 6 噸，甲堆煤每天用去0.36 噸，乙堆煤每天用去 0.51 噸。幾天后兩堆煤剩下噸數(shù)相等？5小龍、小虎、小方和小圓四個(gè)孩子共有 45 個(gè)球，但不知道每 個(gè)人各有幾個(gè)球，如果變動(dòng)一下，小龍的球減少 2 個(gè)，小虎 的球增加 2 個(gè)，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那 么四個(gè)人球的個(gè)數(shù)就一樣多了。求原來每個(gè)人各有幾個(gè)球？6有一批旅游者需用轎車接送

24、，轎車有甲、乙兩種，用 3 輛甲 種轎車，4 輛乙種轎車（恰滿載）需跑 5 趟；如果用 5 輛甲 種轎車和 3 輛乙種轎車（恰滿載）只需跑 4 趟。請(qǐng)問哪種轎 車坐的乘客多？本系列共 15 講第十一講簡單的抽屜原理.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣把 3 個(gè)蘋果任意放到兩個(gè)抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個(gè)抽屜放一個(gè)，另一個(gè)抽屜放兩個(gè)；或 3 個(gè)蘋果放在某一個(gè)抽屜 里。盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個(gè)共同的規(guī)律：至少 有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。如果把 5 個(gè)蘋果任意放到4 個(gè)抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果。由此我們可 以想到，只要蘋果的個(gè)數(shù)多于抽屜的個(gè)數(shù)，就一定能保證

25、至少有一 個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。道理很簡單：如果每個(gè)抽屜里 的蘋果都不到兩個(gè)（也就是至多有 1 個(gè)），那么所有抽屜里的蘋果 數(shù)的和就比總數(shù)少了。由此得到：抽屜原理：把多于 n 個(gè)的蘋果放進(jìn) n 個(gè)抽屜里，那么至少有一 個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié) 論，所以有時(shí)也把抽屜原理叫做鴿籠原理。不要小看這個(gè)“原理”， 利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數(shù)學(xué)問題。比如，我們從街上隨便找來 13 人，就可以斷定他們中至少有 兩個(gè)人屬相（指鼠、牛、虎、兔等十二種生肖）相同。怎樣證明這個(gè)結(jié)論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚。事

26、實(shí)上，由于人數(shù)（13）比屬相（12）多，因此至少有兩個(gè)人屬相 相同（在這里，把 13 個(gè)人看成 13 個(gè)“蘋果”，把 12 種屬相看成 12 個(gè)“抽屜”）。應(yīng)用抽屜原理要注意識(shí)別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數(shù)目一 定要大于抽屜的個(gè)數(shù)。例 1：有 5 個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意 摸出 3 枚棋子。請(qǐng)你證明，這 5 個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋 子的顏色的配組是一樣的。分析與解答首先要確定 3 枚棋子的顏色可以有多少種不同 的情況，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 種配組情況 ， 看作 4 個(gè)抽屜，把每人所拿 3 枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的

27、抽屜，由于有 5 個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少 有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一 樣的。例 2：一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多 少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同 的？分析與解答撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃 4 種花色，2 張牌的花色可以有：2 張方塊，2 張梅花，2 張紅桃，2 張黑桃，1張方塊 1 張黑桃，1 張方塊 1 張梅花，1 張方塊 1 張紅桃，1 張梅花1 張黑桃，1 張梅花 1 張紅桃，1 張黑桃 1 張紅桃共計(jì) 10 種情況。 把這 10 種花色配組看作 10 個(gè)抽屜，只要蘋果的個(gè)數(shù)比

28、抽屜的個(gè)數(shù) 多 1 就可以有題目所要的結(jié)果。所以至少有 11 人。例 3證明：任意取 8 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是 7 的倍數(shù)。 分析與解答在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù) a、b，它們除以自然數(shù) m 的余數(shù)相同，那么它們的差 ab 是m 的倍數(shù)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需要證明這 8 個(gè)自然數(shù)中有 2 個(gè)自 然數(shù)，它們除以 7 的余數(shù)相同。我們可以把所有自然數(shù)按 7 除所得 的 7 種不同的余數(shù) 0、1、2、3、4、5、6 分成七類，也就是 7 個(gè)抽 屜。任取 8 個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中 ， 也就是它們除以 7 的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是 7 的

29、倍數(shù) 。 把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù) m 的余數(shù)分為 m 類，叫做 m 的 剩余類或同余類，用0，1，2，m1表示。每一個(gè)類 含有無窮多個(gè)數(shù)，例如1中含有 1，m1，2m1，3m1，。在 研究與整除有關(guān)的問題時(shí)，常用剩余類作為抽屜，根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意 n1 個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是 n 的倍 數(shù)。在有些問題中，“抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋果”。如果制造“抽屜”和“蘋果”可能是很 困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需 要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。例 4：從 2、4、6、30 這 15 個(gè)偶數(shù)中，任取 9 個(gè)數(shù)，證明其中 一定有兩個(gè)

30、數(shù)之和是 34。分析與解答我們用題目中的 15 個(gè)偶數(shù)制造 8 個(gè)抽屜：4 6 810 12 14 16 230 28 26 2422 20 18凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是 34?，F(xiàn)從題目中的 15 個(gè)偶數(shù)中任取 9 個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌?屜只有 8 個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中。由制造的抽屜的特點(diǎn)， 這兩個(gè)數(shù)的和是 34。例 5：從 1、2、3、4、19、20 這 20 個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾 個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是 12。分析與解答在這 20 個(gè)自然數(shù)中，差是 12 的有以下 8 對(duì)：20，8， 19，7 18，6 17，516

31、，4 15，3 14，2 13，1另外還有 4 個(gè)不能配對(duì)的數(shù)9， 10， 11， 12，共 制 成12 個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）。只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽 屜，那么它們的差就等于 12，根據(jù)抽屜原理至少任選 13 個(gè)數(shù)，即 可辦到取 12 個(gè)數(shù)：從 12 個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取 1，2，3，12），那么這 12 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于 12。例 6：從 1 到 20 這 20 個(gè)數(shù)中，任取 11 個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一 個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。分析與解答根據(jù)題目所要求證的順題，應(yīng)考慮按照同一抽屜 中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜，把這 20 個(gè)數(shù)分成 以下十組，看成

32、10 個(gè)抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：1，2，4，8，16， 3，6，12， 5，10，20， 7，14，9，18， 11， 13， 15， 17， 19。從這 10 個(gè)數(shù)組的 20 個(gè)數(shù)中任取 11 個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至 少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有 倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。 例 7：證明：在任取的 5 個(gè)自然數(shù)中，必有 3 個(gè)數(shù)，它們的和是 3 的倍數(shù)。分析與解答按照被 3 除所得的余數(shù)，把全體自然數(shù)分成 3 個(gè)剩余類，即構(gòu)成 3 個(gè)抽屜。如何任選的 5 個(gè)自然數(shù)中，至少有 3 個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜，那么這 3 個(gè)數(shù)除以 3

33、得到相同的余數(shù) r，所以它 們的和一定是 3 的倍數(shù)（3r 被 3 整 除 ）。如果每個(gè)抽屜至多有 2 個(gè)選定的數(shù)，那么 5 個(gè)數(shù)在 3 個(gè)抽屜中 的分配必為 1 個(gè)，2 個(gè)，2 個(gè)，即 3 個(gè)抽屜中都有選定的數(shù)。在每 個(gè)抽屜中各取 1 個(gè)數(shù)，那么這 3 個(gè)數(shù)除以 3 得到的余數(shù)分別為 0、1、2。因此，它們的和也一定能被 3 整除（0+1+2 被 3 整 除 ）。例 8：某校校慶，來了 n 位校友，彼此認(rèn)識(shí)的握手問候。請(qǐng)證明無 論什么情況，在這 n 位校友中至少有兩人握手的次數(shù)一校多。分析與解答共有 n 位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是 0 次 ， 即這個(gè)人與其他校友都沒有握過手；最多有 n1

34、 次，即這個(gè)人與 每位到會(huì)校友都握了手。校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況（0，1，2，n1）都是 n，還無法用抽屜原理。 然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是 0 次，那么握手次數(shù)最多的不能多于 n2 次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是 n1 次，那么 握手次數(shù)最少的不能少于 1 次。不管是前一種狀態(tài) 0、1、2、3、 n2，還是后一種狀態(tài) 1、2、3、n1，握手次數(shù)都只有 n1 種情況。把這 n1 種情況看成 n1 個(gè)抽屜，到會(huì)的 n 個(gè)校友每人 按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。習(xí)題十一1某校的小學(xué)生年齡最小的 6 歲，最大的 13

35、 歲，從這個(gè)學(xué)校中 任選幾位同學(xué)就一定保證其中有兩位同學(xué)的年齡相同？2中午食堂有 5 種不同的菜和 4 種不同的主食，每人只能買一 種菜和一種主食，請(qǐng)你證明某班在食堂買飯的 21 名學(xué)生中， 一定至少有兩名學(xué)生所買的菜和主食是一樣的。3證明：任取 6 個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是 5 的倍數(shù)。4為了歡迎外賓來校參觀，學(xué)校準(zhǔn)備了紅色、黃色、綠色的小 旗，每個(gè)同學(xué)都左右兩手各拿一面彩旗列隊(duì)迎接外賓。至少 有多少位同學(xué)才能保證其中至少有兩個(gè)人不但所拿小旗顏色 一樣，而且（左，右）順序也相同？5從 10 至 20 這 11 個(gè)自然數(shù)中，任取 7 個(gè)數(shù)，證明其中一定有 兩個(gè)數(shù)之和是 29。6從 1、2、3

36、、20 這 20 個(gè)數(shù)中，任選 12 個(gè)數(shù)，證明其中 一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是 11。720 名小圍棋手進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每個(gè)人都要和其他任何人 比賽一次），證明：在比賽中的任何時(shí)候統(tǒng)計(jì)每人已經(jīng)賽過的 場次都至少有兩位小棋手比賽過相同的場次。8從整數(shù) 1、2、3、199、200 中任選 101 個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍 數(shù)。本系列共 15 講第十二講抽屜原理的一般表述.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣我們知道，把 3 個(gè)蘋果隨意放進(jìn)兩個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。如果把 5 個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜里，上 述結(jié)果當(dāng)然還能成立。能不能有更強(qiáng)一

37、點(diǎn)的結(jié)果呢？我們發(fā)現(xiàn)把 5 個(gè)蘋果往兩個(gè)抽屜里放，即使每個(gè)抽屜都放 2 個(gè)還剩 1 個(gè)蘋果，這 個(gè)蘋果無論放到哪個(gè)抽屜里都會(huì)出現(xiàn)有一個(gè)抽屜里有 3 個(gè)蘋果。同 樣，如果蘋果個(gè)數(shù)變?yōu)?7 個(gè)，那么就可以保證有一個(gè)抽屜里至少有4 個(gè)蘋果了。 這里有什么規(guī)律呢？先將蘋果平均分到各個(gè)抽屜里，如果至少還余 1 個(gè)蘋果，那么 多余的蘋果無論放入哪個(gè)抽屜中都可以保證至少有一個(gè)抽屜里有（商+1）個(gè)（或更多的）蘋果。 這樣，可得到下述加強(qiáng)的抽屜原理：把多于 mn 個(gè)蘋果隨意放進(jìn) n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有（m+1）個(gè)或（m+1）個(gè)以上的蘋果。例 1：（ 1）求證：任意 25 個(gè)人中，至少有 3 個(gè)人的

38、屬相相同。（2）要想保證至少有 5 個(gè)人的屬相相同，但不能保證 6 個(gè)人屬相 相同，那么人的總數(shù)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？分析與解答（1）把 12 種屬相看作 12 個(gè)抽屜。 因?yàn)?512=21所以，根據(jù)抽屜原理，至少有 3 個(gè)人的屬相同。（2）要保證有 5 個(gè)人的屬相相同，總?cè)藬?shù)最少為：4121=49（人）不能保證有 6 個(gè)人屬相相同的最人數(shù)為：512=60（人）所以，總?cè)藬?shù)應(yīng)在 49 人到 60 人的范圍內(nèi)。例 2：放體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球。有 66 名同學(xué)來倉庫拿球，要求每人至少拿 1 個(gè)球，至多拿 2 個(gè)球。問： 至少有多少名同學(xué)所拿的球種類是完全一樣的？分析與解答拿球的配組方式

39、有以下 9 種： 足 ， 排 ， 籃 ， 足 ， 足 ， 排 ， 排 ， 籃 ， 籃 ， 足 ， 排 ，足 ， 籃 ，排 ， 籃 。把這 9 種配組方式看作 9 個(gè)抽屜。因?yàn)?669=73，所以至少有 71=8（名）同學(xué)所拿的球的 種類是完全一樣的。例 3：一副撲克牌，共 54 張，問：至少從中摸出多少張牌才 能保證（1）至少有 5 張牌的花色相同；（2）四種花色的牌都有；（3）至少有 3 張牌是紅桃。分析與解答一副撲克牌有四種花色，每種花色各 13 張，另 外還有兩張王牌。（1）為了“保證”5 張牌花色相同，我們應(yīng)從最“壞”的情況 去分析，即先摸出了兩張王牌。把四種花色看作 4 個(gè)抽屜，要想

40、有5 張牌屬于同一抽屜，只需再摸出 441=17（張），也就是共摸 出 19 張牌。即至少摸出 19 張牌，才能保證其中有 5 張牌的花色相 同。（2）因?yàn)槊糠N花色有 13 張牌，若考慮最“壞”的情況，即摸 出了 2 張王牌和三種花色的所有牌共計(jì) 1332=41（張），這時(shí)， 只需再摸一張即一共 42 張牌，就保證四種花色的牌都有了。即至 少摸出 42 張牌才能保證四種花色的牌都有。（3）最壞的情形是先摸出了 2 張王牌和方塊、黑桃、梅花三種花色所有牌共計(jì) 41 張，只剩紅桃牌。這時(shí)只需再摸 3 張，就保證有 3 張牌是紅桃了。即至少摸出 44 張牌，才能保證其中至少有 3張紅桃牌。例 4：平

41、面上給定 17 個(gè)點(diǎn)，如果任意三個(gè)點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之 間的距離小于 1，證明：在這 17 個(gè)點(diǎn)中必有 9 個(gè)點(diǎn)可以落在同一半 徑為 1 的圓內(nèi)。分析與解答如果 17 個(gè)點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間的距離都小于 1， 那么，以這 17 個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為圓心，以 1 為半徑作一個(gè)圓，這 17 個(gè)點(diǎn)必然全落在這個(gè)圓內(nèi)。如果這 17 個(gè)點(diǎn)中，有兩點(diǎn)之間距離不 小于 1（即大于 1 或等于 1），設(shè)這兩點(diǎn)為 o1、o2，分別以 o1、o2 為圓心，1 為半徑作兩個(gè)圓（如圖），把這兩個(gè)圓看作兩個(gè)抽屜，由 于任意三點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于 1，因此其他 15 個(gè)點(diǎn)中的 每一點(diǎn)，到 o1、o2 的距離必須有一個(gè)小于

42、1，也就是說這些點(diǎn)必 落在某一個(gè)圓中。根據(jù)抽屜原理必有一個(gè)圓至少包含這 15 個(gè)點(diǎn)中 的 8 個(gè)點(diǎn)。由于圓心是 17 個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，因此這個(gè)圓至少包含 17 個(gè)點(diǎn)中的 9 個(gè)點(diǎn)。例 5：把 1、2、3、10 這十個(gè)數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個(gè)數(shù)之和不小于 17。圖一分析與解答把這一圈從某一個(gè)數(shù)開始按順時(shí)針方向分別記 為 a1、a2、a3、a10(見圖一)。相鄰的三個(gè)數(shù)為一組，有 a1a2a3、a2a3a4、 a3a4a5、a9a10a1、a10a1a2 共 10 組。這十組數(shù)的總和為：（a1a2a3）(a2a3a4)(a10a1a2)=3(a1a2a3a10)=355

43、=165=16105 根據(jù)抽屜原理這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于 17。 這道題還可以用下面的方法證明：在 10 個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)是 1，設(shè) a10=1，除 去 a10 之外，把 a1、a2、 a3、a9 這 9 個(gè)數(shù)按順序分為三組 a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9。下面證 明這三組中至少有一組數(shù)之和不小于 17。因?yàn)檫@三組數(shù)之和的總和為（a1a2a3）（a4a5a6）(a7a8a9)= a1a2a3a9=23410=54=3166 根據(jù)抽屜原理這三組數(shù)中至少有一組數(shù)之和不小于 17。 第二種證法中去掉了最小數(shù) 1，其實(shí)若去掉 2、3、4 也可以的 ，因?yàn)?54=3173，所以用第

44、二種證法還可以得出至少有一組數(shù)的 和不小于 18 的結(jié)論，而第一種證法卻不能得出這個(gè)結(jié)論。此外，由于 54=318，因此即使第二種證法也不能由抽屜原 理得出三組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于 19 的結(jié)論。事實(shí)上，如 下圖所示，劃了線的三組數(shù)的和都是 1 8（并且其他任何三個(gè)相鄰數(shù) 之和都小于 18）。例 6：在邊長為 3 米的正方形內(nèi)，任意放入 28 個(gè)點(diǎn)，求證：必有 4 個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過 1 平方米。分析與解答根據(jù)題目的結(jié)論，考慮把這個(gè)大正方形分割成面 積為 1 平方米的 9 個(gè)小正方形（如下圖一）。圖一圖二 因?yàn)?28=391，所以根據(jù)抽屜原理，至少有 4 個(gè)點(diǎn)落在同一

45、個(gè)邊長為 1 的小正 方形內(nèi)（或邊上）（圖二），這 4 個(gè)點(diǎn)所連成的四邊形的面積總小于 或等于小正方形的面積，即以這 4 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超 過 1 平方米。例 7：在邊長為 1 米的正方形內(nèi)，任意放入 9 個(gè)點(diǎn)，求證：至少有 3 個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積不大于 1 平方米。8分析與解答把邊長為 1 米的正方形取各邊中點(diǎn)，把對(duì)邊中點(diǎn)相連將它分成四個(gè)邊長為 1 米的小正方形（如圖一）。把這四個(gè)小2正方形看成 4 個(gè)抽屜，把 9 個(gè)點(diǎn)隨意放入 4 個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理 ，有一個(gè)抽屜至少有 3 個(gè)點(diǎn)。現(xiàn)在證明以在邊長為 1 米的小正方形內(nèi)2的這三個(gè)點(diǎn)為頂?shù)娜切蔚拿娣e不大于小正方

46、形面積的一半。設(shè)a、b、c 三點(diǎn)在同一個(gè)小正方形內(nèi)。如果abc 中的某一條邊 bc與小正方形的邊平行（如圖二），則11111sabc= bch米米=平方米。如果abc 的22228三邊均與小正方形的邊不平行（如圖三），則可過其中一點(diǎn) b 作 bd與小正方形邊平行，它將abc 分成兩個(gè)三角形：abd 與bcd。則11sabc=sabdscbd= bdh1bdh2221111=bd(h1h2)米米2= 1 平方米8222由以上證明可知，至少有 3 個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積不大于 1 平方米。8習(xí)題十二1.“幼苗杯”數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)的 87 名學(xué)生來自 12 所小學(xué)，證明： 至少有 8 名學(xué)生

47、來自同一所學(xué)校。2.在一米長的線段中任意放入 7 個(gè)點(diǎn)，證明：不論怎樣放，至少 有兩點(diǎn)之間的距離小于 17 厘米。3.52 張撲克牌有紅桃、黑桃、方塊、梅花 4 種花色各 13 張，問：（1）至少從中取出多少張牌，才能保證有花色相同的牌至少 2張？（2） 至少從中取出幾張牌，才能保證有花色相同的牌至少5 張？（3）至少從中取出幾張牌，才能保證有 4 種花色的牌？（4）至少從中取出幾張牌，才能保證至少有 2 張梅花牌和 3 張 紅桃？（5）至少從中取出幾張牌，才能保證至少有 2 張牌的數(shù)碼（或 字母）相同？4.學(xué)校圖書館里有 a、b、c、d 四類書，規(guī)定每個(gè)同學(xué)最多可以 借 2 本書，在借書的

48、85 名同學(xué)中，可以保證至少幾個(gè)人所借書的類型是完全一樣的？5.把 1 到 30 這 30 個(gè)自然數(shù)擺成一個(gè)圓圈，則一定有三個(gè)相鄰的 數(shù)，它們的和不小于 47。6.在一個(gè)邊長為 1 米的正三角形內(nèi)隨意放置 10 個(gè)點(diǎn)，證明：至少有 2 個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過 1 米。3本系列共 15 講第十三講染色中的抽屜原理.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你 的 緣根據(jù)抽屜原理可以解決許多有趣的問題，關(guān)鍵在于根據(jù)不同的問題制造抽屜。如研究整除問題時(shí)常用剩余類當(dāng)作抽屜，研究長度 和面積時(shí)用圖形制造抽屜等等。在這一講中將研究如何用顏色當(dāng)作 抽屜來解決一些問題。例 1：平面上有 a、b、c、d、e、f 六個(gè)點(diǎn)，其中沒有三點(diǎn)共

49、線，每兩點(diǎn)之間任意選用紅線或藍(lán)線連接，求證：不管怎樣連接， 至少存在一個(gè)同色的三角形。分析與解答連彩線的方式很多，如果一一畫圖驗(yàn)證結(jié)論，顯 然是不可取的。這個(gè)問題如果利用抽屜原理去解決，就不是難事了 。 從任意一點(diǎn)比如點(diǎn) a 出發(fā)，要向 b、c、d、e、f 連 5 條線段 。 因?yàn)橹挥袃煞N顏色，所以根據(jù)抽屜原理，至少有 3 條線段同色。不 妨設(shè) ab、ad、ae 三線同色（如下圖）。如果 b、d、e 這三點(diǎn)之 間所連的三條線段中有一條是紅色的，則出現(xiàn)一個(gè)三邊為紅色的三 角形。如果這三點(diǎn)之間所連線段都不是紅色，那么就是藍(lán)色的，這 樣，三角形 bde 就是一個(gè)藍(lán)色的三角形。因此，不管如何連彩線，總

50、可以找到一個(gè)三邊同色的三角形。如果我們把上面例題中的點(diǎn)換成人，把紅藍(lán)兩種顏色連線換成人與人之間的關(guān)系，又可以解決某些實(shí)際問題。如：證明在任意的6 個(gè)人之間，或者有 3 個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，或者有 3 個(gè)人互相都不認(rèn)識(shí)。 我們只需要把互相認(rèn)識(shí)的兩人用紅線連接，互相不認(rèn)識(shí)的用藍(lán) 線連接，那么所要證明的結(jié)論就變成證明存在一個(gè)紅色或藍(lán)色的三角形了。例 2：從同一個(gè)小學(xué)畢業(yè)的同學(xué)之間的關(guān)系可以分為三個(gè)等級(jí) ： 關(guān)系密切、一般關(guān)系、毫無關(guān)系。請(qǐng)你證明在這個(gè)學(xué)校的 17 名校 友中，至少有三個(gè)人，他們之間的關(guān)系是同一個(gè)等級(jí)的。分析與解答把 17 個(gè)人看成平面上的 17 個(gè)點(diǎn)，用紅、藍(lán)、白 三種顏色的連線表示同學(xué)之

51、間三種不同等級(jí)關(guān)系，那么這個(gè)實(shí)際問 題就轉(zhuǎn)化為：證明用紅、藍(lán)、白三種顏色的線段連接平面上的 17 個(gè)點(diǎn)（沒有三點(diǎn)共線），一定存在一個(gè)同色的三角形。因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)要與其他 16 個(gè)點(diǎn)連線，只有三種顏色，所以根據(jù) 抽屜原理，從一點(diǎn)至少引出 6 條同色的線段。不妨設(shè)點(diǎn) a 與 b、c、d、e、f、g 六點(diǎn)是用白色線段連接的。如果 b、c、d、e、f、g 這六點(diǎn)之間有一條白色連線，那么就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)三邊為白色的三角 形。否則，這六個(gè)點(diǎn)只能用紅、藍(lán)兩種顏色連接了。根據(jù)例 1 的證 明可得，這六個(gè)點(diǎn)之間必有一個(gè)紅色邊或藍(lán)色邊的三角形存在。從例 2 的證明看出，它的論證方法與例 1 是相似的，只不過比 例 1 多

52、用了一次抽屜原理。例 3：用黑、白兩種顏色把一個(gè) 25（即 2 行 5 列）的長方形 中的每個(gè)小方格都隨意染一種顏色，證明：必有兩列，它們的涂色 方式完全相同。分析與解答因?yàn)槊苛兄挥袃筛?，而這兩格的染法只有（下圖 ） 四種，將 4 種染色方式當(dāng)作 4 個(gè)抽屜，題中所有的方格共有 5 列 ， 根據(jù)抽屜原理，至少有兩列的染色方式完全相同。例 4：如果有一個(gè) 3n 的方格陣列，每一列的三個(gè)方格都任 意用紅、黃、藍(lán)、綠四色之三染成三種不同顏色，問 n 至少是多少 時(shí)，才能保證至少有 3 列的染色方式完全相同。分析與解答每一列都從 4 種顏色中選出三種分別染上這列 中的三個(gè)小格，染色的方式共有 432=24（種）。若要保證至少有 3 列的染色方式完全相同，那么 n 至少是 2421=49。下面研究另一類長方形陣列小格的染色的問題。例 5：對(duì)一塊 3 行 7 列的長方形陣列中的小方格的每一格任意 染成黑色或白色，求證：在這個(gè)長方形中，一定有一個(gè)由小方格組 成的長方形，它的四個(gè)角上的小方格同色。證法 1：每一列的三個(gè)格用黑、白兩種顏色染色，所有可能的 染法只有如下圖中的八種。如果在所染色的 3 行 7 列陣列中某一列是第（1）種方式，即 三格均為白色，則其余 6 列中只要再有第（1）（ 2）（ 3）（ 4）種方 式