導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算10 / 8知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率(1) 概念： 函數(shù)1中，如果自變量.1在I處有增量，那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增量厶y=f(x .+ x)-f(x o)，其比值叫做 坪二傀+ &)-伽)函數(shù):從則到血+ x的平均變化率，即肛Ax。Ax _/()-/Ui)若兒 ，二 v 一一；，則平均變化率可表示為，- 一，稱為函數(shù)一 從1到的平均變化率。注意： 事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值； 函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì)，當(dāng)丄丄取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。 二是自變量；在處的改變量， Ax*O ；而3 是函數(shù)值的

2、改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是 0，并不一定說(shuō)明函數(shù) /W 沒(méi)有變化，應(yīng)取丄更小考慮。(2) 平均變化率的幾何意義函數(shù) =/W 的平均變化率- vi的幾何意義是表示連接函數(shù)y=/to 圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。如圖所示，函數(shù)AB的斜率。事實(shí)上，:-作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念：i.導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)函數(shù)：，在點(diǎn) 處給自變量x以增量函數(shù)y相應(yīng)有增量A嚴(yán)佩+加)-他)若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn):處的導(dǎo)數(shù)，記作 /偏或兒崛 ，此時(shí)也稱在點(diǎn)-處可導(dǎo)。即：_L.（或.）注意： 增量二可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)； 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限

3、，即瞬時(shí)變化率。2. 導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù) y 二/W 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù),從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)：1,稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在-處的函數(shù)值，反映函數(shù) .門在二：附近的變化情況。3. 導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線A則有備=伽爐空曲線上一點(diǎn)P（x。，yo）及其附近一點(diǎn)Q（x+Ax,y0+Ay），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q（x+Ax,y卄厶y）沿曲線無(wú)限接近于點(diǎn) P（xo，y。），即 x-0時(shí)，割線PQ的極限位置直線 PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的

4、傾斜角為左，則當(dāng) x-0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。L Ay j. 了仏丿tm 0 Im = Im 即：丄-i. ,（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù):在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù) /Vo） 是曲線 y = /W 上點(diǎn)（ 心佩）處的切線的斜率注意:若曲線處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與/.軸垂直，切線與軸正向夾角為銳角;/W0，切線與軸正向夾角為鈍角;/W=o切線與丄軸平行（3）曲線的切線方程如果在點(diǎn)；I可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（；7廠心）處的切線方程為:4. 瞬時(shí)速度：物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比，而非勻速直線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度這一概

5、念。如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足 s=s(t)(位移公式)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體t到t+ t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t T0時(shí)平均速度的極限，即丄如果把函數(shù)- 看作是物體的位移公式)，導(dǎo)數(shù) i的瞬時(shí)速度規(guī)律方法指導(dǎo)1如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法： 作差：求出 -和丄丄 - -1 作商：對(duì)所求得的差作商，即： 一：注意： _ 了(可)-了佃)_ 了(可+&)-了佃)(1) 4二：-，式子中二、 的值可正、可負(fù)，但乩的值不能為零，Ay的值可以為零。若函數(shù) /為常數(shù)函數(shù)時(shí)，二!(2)在式子與二1 是相對(duì)應(yīng)的“增量”，即在 Am時(shí)，Ay二他|卜血)妙_/佃+&)-/01

6、)(3) 在式子二一.：中，當(dāng)】取定值，丄取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率不同；當(dāng) 二丄取定值，1取不 同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”計(jì)算函數(shù)的增量：iy _/(x1+Ax)-/(x1)求平均變化率： 一.： ；你)二血 *俶+網(wǎng)一您)取極限得導(dǎo)數(shù)：Ax 曲斗 oAx(2) 利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)“；1在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是u表示曲線“在點(diǎn)(.人)處的切線的斜率。 設(shè)匚 二I是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則 =lq,表示物體在二二時(shí)刻的瞬時(shí)速度; 設(shè)1二一是速度關(guān)于時(shí)間

7、的函數(shù)，則；匚.表示物體在二訂時(shí)刻的加速度；4. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出丨 ；:在處的導(dǎo)數(shù).;利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為 尸肝/譏)A咼)類型一：求函數(shù)的平均變化率求1一I 1在到-I之間的平均變化率，并求I. I時(shí)平均變化率的值思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式V(州+&)-/(州)ci、.進(jìn)行操作.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+丄內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率:(1) 1，3；(2) 1，2；(3) 1，1.1；(4) 1，1.001.【變式3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算t從3s到3.1s

8、，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度(位移s的單位為m)【變式4】過(guò)曲線 y 二 m 上兩點(diǎn) m和 JI 作曲線的割線，求岀當(dāng) Ax=0.1 時(shí)割線的斜率類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)02、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)丄、二在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三:【變式1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).y = -H4 廠 I)（2）求曲線二上一點(diǎn):處的切線方程?！咀兪?】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程

9、.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過(guò)哪一點(diǎn)的切線：（1）平行于直線y=4x 5；（2）垂直于直線 2x 6y+5=0 ；（3）與x軸成135的傾斜角。知識(shí)點(diǎn)三：常見(jiàn)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）1：（C為常數(shù)），（n為有理數(shù)），/(x) = sinx，廣=f(x)cosx，/(x) = -smi5-/, ； - -（7）.f. ,_ ,（8）t * 知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)U 工 均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)： %）士酗丄廣士殊）（2）積的導(dǎo)數(shù)： g卜廣盹（力+ /（帖（3）商的導(dǎo)數(shù):r/Wj . =（X）麗_ 咯面 （魚(yú)）工0 ）知識(shí)點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則兀二譏兀或幾處）1二他）卿即復(fù)合函數(shù)

10、 尸耐 對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)y n，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量八 二的導(dǎo)數(shù).,乘以中間變量對(duì)自變量丄的導(dǎo)數(shù)1注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函 數(shù)。規(guī)律方法指導(dǎo)i 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟 適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； 分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）； 把中間變量代回原自變量（一般是X）的函數(shù)。整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分解一一求導(dǎo)一一回代，熟練以后，可以省略中間過(guò)程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1y（i）(4) y=2x33x2+5

11、x + 4舉一反三:【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：_ 廠 = -2sin-(l-2cos3-)(1) 一 - -J ;(2)_(3) y=6x3 4x2+9x 62、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)XH- COSX(1)匸-11U.(2) y=x2sinx;(3) y=i一： 一 ;(4) y=-二J+1舉一反三：【變式1】函數(shù) 尸(蓋+1)匕7 在._處的導(dǎo)數(shù)等于()A 1B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)：一 丄】廠 ，： _ 1 ;(2)【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).尸心+ 尸(&+1)(厶7(1)；(2)；(3)二類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)1(3)(1)rrr；舉一反三:【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)J :譏.(3) y=ln (x+ -I );(4)一廣：- 1類型五：求曲線的切線方程34、求曲線y=x +2x在x=1處的切線方程舉一反三：【變式1】求曲線在點(diǎn)匚處的切線的斜率，并寫(xiě)出切線方程【變式2】已知 一 T. _ 4 是曲線y 上的兩點(diǎn)，則與直線 PQ 平行的曲線八的切線方程是,【變式3】已知曲線，- J .（1）求曲線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線 是否還有其他的公共點(diǎn)?