數(shù)值分析：5.5平方根法

1、第五章第五章 解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法 5.5 平方根法平方根法 定理定理1. (Cholesky分解分解) 使得正數(shù)的下三角陣 元全是則一定存在一個主對角為對稱正定矩陣設(shè) , , L A T LLA 且該分解式唯一。 這種關(guān)于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解分解 nnnrn rrr lll ll l L 1 1 11 nnnrn rnrrr nr aaa aaa aaa A 1 1 1111 設(shè) jiij aa ir arArL列元素的第考察列已求出的第假設(shè),11 nnnrn rrr lll ll l 1 1 11 nnnrn rnrrr nr aaa aaa aa

2、a 1 1 1111 nn nrrr nr l ll lll 1111 111111 lla 112121 lla 1111 lla ii ni,2 , 1 可以求出的第一列元素 1i lL r k rkrkrr lla 1 2 1 1 2 rr r k rk ll r k rkikir lla 1 rrir r k rkik llll 1 1 nrri, 1, -(1) -(2) -(3) 的元素的計(jì)算公式式可得由L)8()6( 1111 al 11 1 1 l a l i i ni, 3 ,2 1 1 2 r k rkrrrr lal nr,2 rr r k rkikir ir l lla

3、 l 1 1 nri, 1 ijijij lal放的儲存地址可以用來存求出后當(dāng) 在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時從公式中可以看出 , , -(4) r 1 2 rrrrrkrr k 1 lala 這說明L的元素的絕對值一般不會很大，故計(jì)算 是穩(wěn)定的。 二、對稱正定線性方程組的解法二、對稱正定線性方程組的解法 bAx 線性方程組 階對稱正定矩陣為其中nA 使得的下三角陣則存在主對角元為正數(shù),L T LLA -(5) -(6) 則線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組 bLy yxL T bxLL T )( -(7) -(8) bLy 解. 1 nnnin iii lll ll l L 1 1 11 11 1

4、1 l b y ii i k kiki i l ylb y 1 1 ni, 3 ,2 -(9) yxL T 解. 2 nn niii ni T l ll lll L 1111 nn n n l y x ii n ik kkii i l xly x 1 -(10) 對稱正定方程 組的平方根法平方根法 1 ,2 , 1 ni 思考 本例中出現(xiàn)了大量的根式運(yùn)算 ) , , ( 2211nn uuudiagD 2 1 2 1 DD ) , , ( 2211nn uuudiagD 原因?yàn)?分解的因此不作 T LLA 考慮改變分解方式 (D) T ALDLL單位下三角，對角矩陣 分解矩陣的這種分解稱為對稱正定 T LDL 運(yùn)用平方根法計(jì)算量較大，為了避免開方運(yùn)算，運(yùn)用平方根法計(jì)算量較大，為了避免開方運(yùn)算， 改用單位三角陣作為分解陣改用單位三角陣作為分解陣! 1 2 1 (1,2, ) k kkkkmm m dal dkn 1 1 ()/(1,2, ) k jkjkjm kmmk m lal l ddjkkn 關(guān)于對角矩陣D對角元素及下三角矩陣元素的計(jì)算 公式