“三點定型”法及三角形相似解決問題

1、求證：AC2=ADAB二類:當不能直接用“左看、右看.上看.下看”加“三點左形”時，如果有相等的線段“三點定型”法在相似證明屮的應(yīng)用相似形這一章在初三教學中是一個重點內(nèi)容，無論是數(shù)學本身還是在實際中，都有 廣泛的應(yīng)用，每年并地中考題中也屢次岀現(xiàn)，苴中比例式和等積式的證明是本章的重點和難 點。我在平時教學中發(fā)現(xiàn)用“左看、右看、上看、下看”加三點定型”法及適當變形做這 類題比較簡單，現(xiàn)分三類舉例如下。一類：直接利用“左看.右看、上看、下看”加“三點定型”例已知：ZACB二90。，CDlABoAC AR分析：要證AC?二ADAB,可先證一=，這時疊等號的 AD AC 左邊A. C、D三點可確左一個三

2、角形，而等號右邊A、C、B 三點也可確定一個三角形，即證 ACD-AABC.都看上而 的分子為A、B、C及都看下而的分母為A、C、D也可確左 去證 ACDAABCo例2, 已知：等邊三角形ABC中，P為BC上任一點，AP的垂直平分線交AB、AC于M. N 兩點。BP CN求證：BP*PC=BM*CN分析：要證BP*PC=BM*CN只需證=BM PC看等號的左邊B、P、M和等號右邊C、N、P可確左證APBMANCPc例2,HB.時，可用相等的線段去替換。例已知：AD平分ZBAC, EF垂直平分AD與BC的延長 線交于Fe求證：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF,直接證DF2=BF-CF找

3、不出相Ap CF似三角形，可改證AF2=BF-CF.即證= ，這時用“左BF AF看、右看”或“上看、下看”泄出 ABFACAF已知：在RtAABC中，ZA=90,四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BE*FCEF FC分析：要證ef2=be-fc,可證= ，這時我們不論是BE EF“左看.右看”還是“上看、下看” B、E、F、C都在同一直線上,BE AE 而一麗如果這個題的結(jié)論是改成證明,則應(yīng)該把等式左邊比的前項和后項看成一個AE AB三角形的兩條邊，而把等式右邊的前項和后項看成期一個三角形的兩條邊：或者交換比例內(nèi) 項的位置也可以.二、構(gòu)造法有時，題目里而沒有現(xiàn)成的相似三角形，就需要添線構(gòu)

4、造了.例2：如圖2, AD是 ABC的髙，AE是 ABC的外接圓直徑.求證：ABAC=ADAE AR Ap分析：AB-AC = AD-AE改成比例式就是=，根據(jù)尋找法需要證明 AD AC ABE- ADC,但圖形中沒有AABE，因此需要連結(jié)BE,構(gòu)造出 ABE,然 后證明相似就可以了.構(gòu)造法是平而幾何中一種十分重要的方法，不僅在相似形中用得著，而且在其它方面應(yīng)用也非常廣泛.三. 過渡法有些習題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用過 渡，其主要類型有三種，下而分情況說明.1、等線段過渡法AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求例3：如圖3, ABC中，AD平分Z BAC,證：DE

5、2=BECECF，但線段DE. BE. CE在DF分析：DE2=BECE改成比例式為BE DE同一直線上，構(gòu)造不出相似三角形.因EF垂直平分AD,連結(jié)AE,AE CF=AE,要證的比例式可化為= 由此只需要證明 ABE-厶BE AE可2、等比過渡法例4：如圖4,在A ABC中，Z BAC=90% AD丄BC, E是AC的中點, 于點F.求證：.AC AF分析：顯然此題不能找岀直接得到這個比例式的兩個相似三角 形.但由已知條件易證,這就轉(zhuǎn)化為證明比例式AC ADED交AB的延長線BD FDAD AF只須證明厶AFD-卜DFB即可.3、等積過渡法例5：如圖5,在 ABC中，Z ACB=90, CD

6、是斜邊AB上的髙, G是DC延長線上一點，過B作BE丄AG,垂足為E,交CD于點F.求證：CD2 = DF-DG 分析：CD2 = DFDG中的線段CD、DF、DG位于同一條直線上，按常規(guī)方法難以奏效.考慮到CD是RtA ABC斜邊AB上的髙，可得C=ADBD,因此可轉(zhuǎn)化為證明ADBD = DFDG這可由 ADG- FDB證得.四、假借法例6：如圖6,從圓外一點P作切線PA,從PA的中點B作割線 BCD,連結(jié)PC、PD,分別交圓于E、F.求證：FEII PA.分析：要證FEII PA,當然會想到證明Z E=Z BPC,因為Z D=Z E, 自然也可以想到證明Z D=Z BPC.問題是，怎么證明

7、這兩個角相等.從 圖形上不難看出ZD是 BPD的內(nèi)角，Z BPC是 BCP的內(nèi)角，因此， 若能證明這兩個三角形相似，問題就可以解決了.由切割線左理得BA? = BCBD,所以BPBC BD,改成比例式為竺=竺，又z PBC是公BC BP共角，所以這兩個三角形確實相似.接著就不難證明FEII PA?利用相似三角形證明垂直，方法與證平行差不多，我們也舉一例.例7：如圖7, BD、CE分別是 ABC的高，點0是厶ABC外接圓的圓心求證：AO丄DE證明：延長AO交00于點F,連結(jié)CF, 則Z ACF=90.9 Z AEC=Z ADB=90/ Z BAC=Z BAC,心ADB AECAD ABAEC:.

8、心 ADE-心 ABC./. Z ADE=Z ABC. Z F + z FAC=90, Z F=Z ABC, Z ADE+Z FAC二90, AODE.五、分拆法例&如圖& P是等邊三角形ABC的外接圓的耳上的一點求證:PA2=AB24-PB-PC.分析：由已知條件，不難得岀AADBAABP,從而AB2 = PAAD,因 此要證原式成立，只需要證明PA2 = PA-AD 4-PB-PC,因為AD是PA的一部 分，因此我們可以把PA分成AD和PD兩部分，則PAPA(AD + PD)=PAAD + PAPD,下而證明PAPD = PBPC可以通過證明 PAC PBD而得到.六、轉(zhuǎn)換法例9：如圖8, P是等邊三角形ABC的外接圓的倉卍上的一點，PA交BC于點D.求狙1 1 1F= PB PC PD分析：丄+丄=丄可以轉(zhuǎn)換為 + = 1,要證明這個等式，關(guān)鍵是要把兩PB PC PDPB PC個比換成后項相同，而前項之和恰好等于后項.注意到 PDB- CDA, PDC- BDA,所以竺=竺，巴=匹,問題就轉(zhuǎn)化為證明 + = 1,因為AB=AC = BC,上式 PB A