專題：橢圓的離心率解法大全

1、 ，利用定義求橢圓的離心率 1,已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 2,橢圓 4 2 1的離心率為 解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時, 專題：橢圓的離心率 e c 或 e2 a 2倍，則橢圓的離心率 e m 3 ；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，m 4 b0）的右焦點(diǎn)為Fi,右準(zhǔn)線為li,若過 Fi且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn) Fi到l i的 距離，則橢圓的離心率是1。 2 ，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率e 1,在 Rt ABC 中, A 90 , AB AC 1，如果一個橢圓過 A B兩點(diǎn)，它的一個焦點(diǎn)為 C,另一個焦點(diǎn)在 AB上，求這個橢圓的離心率e . 6 、3 2,如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是

2、左焦點(diǎn)，直線AB1與BF交于D,且 BDB190 則橢圓的離心率為（） 解析b ( b)1 a2 c2 ac e a c2 .5 1 3,以橢圓的右焦點(diǎn) F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于 M N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為Fi,直線 MF與圓相切，則橢圓的離心率是,3 1 變式（1）:以橢圓的一個焦點(diǎn)F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心 O并且與橢圓交于M N兩點(diǎn)，如果 I MFI = I MO，則橢圓的離心率是 0）的兩焦點(diǎn)為 R、F2，以 F1F2為邊作正三角形, 若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則 橢圓的離心率e 解：T | F1F2 | =2c | BF | =c | BF2 |

3、 = 3c c+ 2 2 x y 變式(1):橢圓+ bL=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 R、 3c=2ae= = 、3-1 F2，點(diǎn)P在橢圓上，使 OPF為正三角形，求橢圓離心率 解：連接 PF2 ,貝y | OF | = | OF | = | OP | , / F1PF2 =90 2 2 x y 變式(2) 橢圓于 +七丁=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1、 a b 圖形如上圖，e= 3-1 F2 , AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 PF丄X軸, PF2 / AB,求橢圓離心率 b2 PF1 | =| F2 F1 | =2c | OB| =b | OA | =a a y5 e= T PF 2

4、 / AB /. | | fFF1 F | = a | F2 F1 | a 又/ b=a2-c 2 2-2 二 a =5c 變式（3）: 將上題中的條件“ PF2 / AB”變換為“ PO / AB （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）” 2 2 x y 相似題：橢圓+ =1（ab 0） , A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn), B是短軸的一個頂點(diǎn)，/ ABF=90 ，求 e 解：| AO| =a | OF| =c | BF| =a | AB I = , a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 兩邊同除以 a2 e 2+e-1=0 e=上嚴(yán)e= 號（舍去） x?21+

5、 f5 變式（1）：橢圓 才 + *亍=1（ab 0） , e= , A 是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，求/ABF 點(diǎn)評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊, 學(xué)1的橢圓為優(yōu)美橢圓。 由余弦定理解決角的問題。答案: 90 引申：此類e= 性質(zhì)：（1） / ABF=90 假設(shè)下端點(diǎn)為 B ,則ABFB四點(diǎn)共圓。 (3) 焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。 2 2 變式（2）:橢圓1（ab0）的四個頂點(diǎn)為 A、 a2b2 、51 B C、D,若四邊形 ABCD勺內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點(diǎn)，則 橢圓的離心率e= 提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于c,又等于直角三角形 AOB斜

6、邊上的高，.由面積得：ab r . a 2 b2 , 2 2 4,設(shè)橢圓寧話（a b。）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，如果橢圓上存在點(diǎn) P,使 F1PF2 90，求離心率e 的取值范圍。 解：設(shè) P x,y , F,c,0 , F2 c,0 法1:利用橢圓范圍。 由 Ff F2P得x2y2 c2，將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 y,可解得x2 2 2 a c 2 a a2b2 P 2 2 2 a (c a ) 。 e 由橢圓的性質(zhì)知0 x2 a2，得以e 手,。 附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍（與法 1類似） 法2:判別式法。 由橢圓定義知PFIPF2I 2a |PFi|2 IPF

7、2I2 2IPF1IIPF2I 2 4a，又因為 F1 PF 90 22 可得 |PF1 | PF2 | 2 2 2 |F1F2| 4c，則 |PF1 | PF2 | 2(a 2 2 c ) 2b , pf2是方程 z2 2az 2b20的兩個根，則 4a28(a2 c2) e2 2 c 2 a 解法3：正弦定理 設(shè)記 PF1F2 PF2 F1，由正弦定理有 IPF1 | |PF2| I F1F2 I IPF1I IPF2I sin sin sin 90 sin sin IF1F2I 又因為| PR | PF2 2a, F1F2 2c，且 90 sin 1 sin 所以丄e 1 sin cOs

8、 2s( 2 - 則厘 sin( -)1 , 1. 2sin( 4424 -) 2 解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有2a | PF1| |PF2|平方后得 2 2 2 2 2 2 2 4a|PFi| HI 2|PFi|PF2| 2(|PFj 壓| ) 2IRF2I 8c 2 / 得篤-所以有e ，1) a 22 解法6:巧用圖形的幾何特性 由 Fi PF2 90，知點(diǎn)P在以IF1F2I 2c為直徑的圓上。 又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn) P，故有c bc2 b2 a2c2 2 2 x y 變式(1):圓尹 + *L=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為 Fi (-c , 0 )、 F2 (c,

9、0), P是以丨FiF2丨為直徑的圓與橢圓的一個交 點(diǎn)，且/ PF1F2 =5 / PFzFi ,求橢圓的離心率 分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。 解：由正弦定理: | F1F2 | sin F 1PF I FiP| sin F 1F2P PF2 sin PF1F2 根據(jù)和比性質(zhì): | FE | = sin F 1PF F1P | + | PF2 | sinF 1F2P+S in PF 1F2 變形得: / PF1F2 =75 / PF2F1 =15 o e= sin90 sin75 o +sin 15。 點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知 I F1F2 | I PF

10、 | + | F1P | =3 sin F 1PF2 sin F 1PF2 sin F 1F2P +si n PF 1F2 2c =e 2a e= sin F 1F2P +sin PF 1F2 2 2 x y 變式(2):橢圓 h +=1(ab 0) a b 的兩焦點(diǎn)為F1(-c , 0)、F2 (c,0), P是橢圓上一點(diǎn)，且/ F1PF2 =60 o，求 橢圓離心率e的取值范圍 分析：上題公式直接應(yīng)用。 解：設(shè)/ F1F2P=a，則/ F2F1P=120o e= sin F 1PF2 sin 60 sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 1 1 2sin(

11、 a +30 o )2 1 .產(chǎn) eb 0)的兩焦點(diǎn)為 F1 a b (-c , 0)、F2 (c,0)，滿足MF =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，貝U e 的取值范圍 分析：MFj 解： c2c 如圖所示 ,畫圖可知點(diǎn) M的軌跡是以 M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。 BF?為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部 c bc2 b2 e2- ；0 2 1 2 x 8,橢圓r a 2 + =1(ab 0) 的兩焦點(diǎn)為F1 (-c ， 0)、 F2 (c,0) ，P為右準(zhǔn)線 2 a L: x= 上一點(diǎn)，F(xiàn)1 P的垂直平分線 c 恰過F2點(diǎn), 求e的取值范圍 分析：思路 1,如圖FF與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找 a、 b、

12、 c的不等關(guān)系。 思路2:根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求 解法一: 既（若 F1(-c , 0) F 2 (c,0) P( 2 a 則 PF1 =-(+c, y c M( 2 a -c cy0 廠,4 ME =-( 2) 2) b2 2c_-c, 2 a (-+c) ( J 2 ) b2 -c)+ 2c丿 PFi MF =0( 2 a c+c, y 0 ) b2 (莎-c, 2 )=0 解法 2:| F1F2 2 牛=0a2-3c 2w 0 =2c 2 a I PE |-c c 2 小a 則2c-c c 3c w e3c a c 總結(jié)：對比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二

13、是運(yùn)用了垂直平分線的幾何性質(zhì)，巧妙的運(yùn) 用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對于它的應(yīng)用方法，值得大家 注意。 9,如圖，正六邊形 ABCDE的頂點(diǎn)A D為一橢圓的兩個焦點(diǎn)，其余四個頂點(diǎn)B 心率的取值范圍是 3 1 C E、F均在橢圓上，則橢圓離 解：以AD所在直線為X軸，AD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長為 r,則橢圓的半焦距c r，易 知AAOF為等邊三角形， c仝 2, 2 2 c 2 a 3c2 a 4，即: 3e2 1 e2 e2(1 e2 3e2 4(1 e2),e4 8e24 C），代入橢圓方程 1 , e 1, ,3 法二：如圖，

14、連結(jié) AE, 易知 AED 900 ，設(shè)AD 2c,則EA 3c, ED c，由橢圓定義, 有: EA ED 2a , 1)c 2a, 2 x 10，橢圓尹+ 2 y bL=1(ab 0)，過左焦點(diǎn) F1 且傾斜角為60的直線交橢圓與 AB兩點(diǎn)，若| FA| =2 | BF | ,求 橢圓的離心率 e的值 解：設(shè)| BF | =m 貝U| AF | =2a-am | 在厶AFF2及厶BF1F2中, 由余弦定理得: I =2a-m -c2=m(2a-c) 2 2、 BF2 2 a 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 2a c 1 兩式相除：+= 2 2 e=3 練習(xí)題: (a b 0）上有一點(diǎn)

15、 M F1, F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若 MF 1 MF2 2b2 ，求橢圓的離心率 解析：由橢圓的定義，可得 MF 1 MF2 2a又 MFh MF2 2b2，所以IMFMF是方程 2 2 2 2 x 2ax 2b 0 的兩根，由 (2a)4 2b 0,可得 a2 2b2，即 a2 2(c2 a2)所以 e -, a 2 所以橢圓離心率的取值范圍是?,1） 2 3 2, 在厶 ABC 中，A 90/, tan B .若以 A, 4 AB 解析AB 4k, AC 3k, BC 5k,e AC BC 3, 已知FF2為橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若 B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C,則該橢圓的離心率e

16、 2 PFi F2 : PF2F1 : F1PF2 1： 2:3,貝毗橢圓的離心率 解析31 三角形三邊的比是1：3:2 4,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 22 x y. 22 1( a b a b 0）的焦距為 2 a 2，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn),0 c 作圓的兩切線互相垂直, 則離心率 2 解析乞 .2a c 2 2 5，在厶ABC 中, 30,|AB| 2, S ABC 3 .若以 A B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率 S ABC 2|AB| 2 | AC | si nA . 3 |AC| 2.3 |BC| J AB

17、|2 |AC |2 2| AB| | AC | cos A 2 |AB| | AC| |BC |2.3 2 2 y 仝 1(a b 2 6，已知橢圓冷 a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 sin PF1F2a F1cc,。，若橢圓上存在一點(diǎn)P使而崩c， 則該橢圓的離心率的取值范圍為 解析 在 PF1F2中，由正弦定理得 PF2 PF1 則由已知，得 a c ，即 aPF1 cPF2， PF1 sin PF1F2 sinPF2R PF2 PF1 c -PF2，由橢圓的定義知 a |PF1 PF2 2a， |PF2 a PF2 2a， 即PF2 2 2a ，由解法三知c a PF2 2 2a a c2 1 e 1 橢圓的離心率 e . 2 1,1。 c a c a 7,已知橢圓m：% 詁1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi c,0 , F2 c,0 , P為橢圓M上任意一點(diǎn)，且科龍 的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c ab2，則該橢圓的離心率的取值范圍為 2 心 y。X0 2 2 y c，而 解析:設(shè)P X