正項級數(shù)收斂的判別法正項級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用

1、正項級數(shù)收斂的判別法 正項級數(shù)收斂性判別法的 比較及其應(yīng)用 正項級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用 摘 要：文章主要介紹了正項級數(shù)收斂的幾種主要的求解方 法，通過這九種方法相互進(jìn)行比較，運用典型的正項級數(shù)的 例題，從而增加解決正項級數(shù)的證明方法。關(guān)鍵詞：正項 級數(shù)；收斂；典型；方法；比較 Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, u

2、sing typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof. Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare i 、引言 數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分 析的重要組成部分，在實際生活中的運用也較為廣泛，如經(jīng) 濟問題等。而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級 數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的 求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷。正項級數(shù)收斂性 判斷的方法雖然

3、較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不 同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最 大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用 典型方法，才能事半功倍。 二、預(yù)備知識 1、正項級數(shù)收斂的充要條件 部分和數(shù)列S n 有界，即存在某正數(shù) M，對？ n N ,有 S n 2、幾種不同的判別法 （1）比較判別法 設(shè)刀u n和刀v n是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對 一切nN都有u n N 0 ,成立不等式 N 0 ,成立不等式1則級數(shù)E u n發(fā)散。 u n i =1 (3) 根式判別法 OO 設(shè)刀u n是正項級數(shù)，且存在某正整數(shù) N0及正常數(shù) M n =1 (i )若對一切n

4、 N 0 ,成立不等式 u n (ii )若對一切n N 0 , 成立不等式 根式判別法的極限形式： g n =1 設(shè)刀u n是正項級數(shù)，且lim u n =l，貝U n t +g oo OOTO 0)，使得當(dāng)x等于自然數(shù)n時，其函數(shù)恰為u n 那么級數(shù)刀u n積分， n =1 oo A n = ? f (x )d (x )，同時收斂或同時發(fā)散。 1 oo (5)拉貝判別法 設(shè)刀un是正項級數(shù)，且存在自然數(shù) N0及常數(shù)r , n =1 oo ? u n +1 ? (i )若對一切n 1，則級數(shù)E u n發(fā)散； i =1n ? oo oo ? u n +1 ? (ii )若對一切n N 0 ,成

5、立不等式 n 1-u ? i =1n ? 拉貝判別法的極限形式： u n +1 ?設(shè)刀u n是正項級數(shù)，且極限lim n 1-? =r存在，則n宀+ u n =1n ? oo (i )當(dāng)r 1時，級數(shù)E u n發(fā)散。 n =1 oo n =1 oo (iii )當(dāng)r三時，拉貝判別法無法判斷。 (6)阿貝爾判別法如果： (i )級數(shù)E b n收斂； n =1 oo (ii )數(shù)列a n 單調(diào)有界，a n 如果： WK (n =1, 2, 3, ?)，則級數(shù) E a n b n 收斂。 n =1 oo (7)狄立克萊判別法 變量級數(shù)判別法 (i )級數(shù)E b n的部分和B n有界，B n n =1

6、 oo 0, n n 0 E u n為正項級數(shù)，若 n =1 o 1 oo (i ) 1+a n 0, E u n 收斂 In n n =1 In 1 oo (ii )ln (9) 高斯判別法 ? a n +1 ? a ? 1? 設(shè) E u n 為正項級數(shù)，若 u 1-=1+ a 7 ? a n ? In n ? In n ? n =1 ? oo 則在B 1時，級數(shù)E u n收斂； n =1 o oo B n =1 三、判別方法的比較 1、當(dāng)級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比值或 通項為含有二項以上根 式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的 比較判別法判斷。如： 111

7、（1） 1+?+? 23n 1 取02 111111 S n +p -S n =+ ?+ ?+= 0 n +1n +22n 2n 2n 2 所以級數(shù)發(fā)散 oo n =1 n +2-2n +2+n S n = 3-2 2+1 + )4-2+ )-2 4+ )n +2-2n +1+n ) =1-2+n +2-n +1 1 =1-2+ n +2+n +1 S=lim S n =1-2 n fs P級數(shù)只能用正項級數(shù)的比較判別法進(jìn)行判斷最為簡便。 1 2、當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如 u n，u n為任意函數(shù)的因子可以進(jìn) 行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級 u n +1u n +1 lim =1lim n n t+bu n

8、 +8、 n rr +數(shù)、P級數(shù)、調(diào) 和級數(shù)進(jìn)行比較不易算出或、等此類無 lim 法判斷級數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級數(shù)的證明問題時，應(yīng)選用比 較判別法。例： 1? 1? 2 (1) E級數(shù)收斂()? n ? a ? n =11+a oo 1111 (2) E級數(shù)收斂=1,級數(shù)發(fā)散 bcbc=1,原式=1+b +1+b + ?級數(shù)發(fā)散 用 比值判別法 u n +1lim =c n fo u n c 1級數(shù)收斂b 1級數(shù)發(fā)散 lim u n +1 =b n fou n 由例題可知，兩種判別法都可以用來判斷上題，但根式判別 法與比值判別法相比得出的收斂范圍更小，約束條件更為詳 細(xì)。因此，上題選用根式判別法

9、比比值判別法更好。在使用 判別法時，我們可以選用根式判別法找到最佳收斂條件。同 時也存在只能使用根式判別法，使用比值判別法無法判斷的 情況。例如： (3) E2 -n -(-1)5 111 級數(shù)收斂 =(-1)n n fg n fg 222 不可使用比值判別法 n u n +1-1+2(-1) 無法判斷斂散性lim =lim 2 n fg u n fg n 因此，當(dāng)我們觀察級數(shù)的一般項的極限趨近于 以選用比值判別法或根式判別法。 lim n =lim 5、當(dāng)級數(shù)表達(dá)式形如 11 ,u n為含有In n的表達(dá)式或可以找到原函數(shù)， n u n 為1, + g上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，u n含有In n

10、找到原函數(shù)，可以選用柯西積分判別法。例： 0時，我們可 或級數(shù)u n u 等的因子可以 11 ()u x =，其中 刀 x In x In In x n In n In In n n =3 因為？ u (x )dx發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 3TO oo 6、當(dāng)通項是由兩個部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減 且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列；或可 化為(-1)，如：(-1) n n (n -1) 2 =(-1);也可以行如 n 刀 sin (u ) u n oo n 為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。阿貝爾判別法也 可以看成是 狄立克萊判別法的特殊形式。例： oo 3n +1 ? 1

11、? 設(shè)刀b n收斂，則級數(shù) 刀b n 1+?,刀b n In等都是極限。 2n ? n ? n =1n =1n =1 oo n 7、當(dāng)通項可通過泰勒展開式等方法找到其等價式，則可以 通過判斷其等價式的斂散性來判斷原正項級數(shù)的斂散性，這 需要對泰勒展開式能夠較為熟練的使用，以及對各種等價式 能夠熟練的運用。例： sin (2 n en !) 刀 n a (a 0) 11 Qe =1+ ?+ ?(泰勒展開式) 1! n ! ?1? ? 11 sin (2 n en ! )=Sii2 n n ! 1+?+? n ! ? ? 1! 2! ? (1) ? 1? 2 n 2? 1+ o 2 =sin 2

12、n n ! 1+?+ ? + n ! ? n +1n +1n +2 ? n ? ? 2 n 2?n? 2 n (n s ) + O? 2 =sin ? n +1n +1n +2n n ? ? sin (2 n en ! )2 n 1+a a 2n 因為E 1+a收斂 n 所以原級數(shù)收斂 ? ? ? &當(dāng)(1) u n 的值可化為泰勒開式，則選用高斯判別法。如：u n +1 E2 n =1 oo -入 In x 6 入log 2e, 級數(shù)收斂log 2 級數(shù)發(fā)散 1? x In n ? (2) Ep 1- ? n ? n ? x In n Q lim =0，當(dāng) n 充分大時，u n 0 n on

13、 1 當(dāng)x =0,級數(shù)為Ep如果p 1，則級數(shù)收斂；如果 p w,則 級數(shù)發(fā)散 ? x In n ? 當(dāng) x 工，In (u n n p +x )=x In n +n In 1- ? n ? u x In n 2n +ln (1-u n ) u =工 0, n 1 =nu n +n In n (1u n )=nu 其中 n 2 n u n當(dāng)x 時，x 0, nu n 宀由洛必達(dá)法則Iim n ts 7 u n +In (1-u n ) 2 u n u Iim In (u n n p +x )=0, Iim n =1 級數(shù)收斂 n ts n ts n p +x In g (x ) 9、當(dāng)通項 u

14、 n =n In x或u n =In f (x )可以選用對數(shù)判別法 例： =lim v +ln (1 v )=lim n ts n tsv2 1- 1 仁lim仁- n 22-12 u n =ln 1 8 In x In In n 1 u n =ln In (In n )對 a 0, ? n 0,當(dāng) n n 0寸，In n In In (In n )級數(shù)收斂 四、應(yīng)用舉例 例 1 u n = 1! +2! + ?+n ! 2n ! 分析：本題無法使用根式判別法與比值判別法，因此選擇比 較判別法進(jìn)行判斷解0n ?n ! n 1 =n ! n +1 ? 2n n +1 ? 2n 2n -1 ?

15、2n 且級數(shù)刀 收斂 n =12n -12n oo 所以級數(shù)收斂例2 a n 刀 1+a 1+a ?1+a n =112n oo 分析：本題無法使用根式判別法、比值判別法，或比較判別 法以及其他的判別法進(jìn) 行判斷，因此選用充要條件進(jìn)行判斷。 11 解 u n =- 1+a 11+a 2 ?1+a n -11+a 11+a 2 ? 1+a n o a n 1 S n =刀=H+a 11+a 2 ? 1+a n 1+a 11+a 2 ? 1+a n n =1S n 單調(diào)遞增且有界所以級數(shù)收斂 ? 1? 1?3? 1?3?5? 9 例 3 ? + ? + ? + ? ? 2? 2?4? 2?4?6?

16、 (2n -1)! !含有階層，但不能使用根式判別式或比值判別式進(jìn) 分析：本題中通項 un = 2n ! ! 行判斷，因此選用拉貝判別法 p p p u ? 2n +2 ?解 n = ? u n +1 ? 2n +1 ? 1? 2n +2? 1 ? 1+ o? -1 ? -1 ? u n ? p 2n +1 ? 2n +1 ? n ? Q lim n =lim =lim = ? n s n s u n 宀旳 n+l ? n n p 所以當(dāng)1，即p 2，級數(shù)收斂 2 n 2+(-1)例 4 E n 2 n 分析：本題中分子含有(-1)，無法用比值判別法或其他方法 判別，這種類型也是根式判別法的典

17、型類型，取上極限進(jìn)行 判斷，因此，選用根式判別法。 p p 2+-11 解 lim n =lim =nn 22 n 例5 ? 1? 1? -In 1 + ? Y? n ? n ? n =1 ? oo 分析：通過觀察，本題可以使用充要條件進(jìn)行判斷，但等價 判斷法進(jìn)行判斷更為便 捷。 1? 1? 1? 1 ? 解 In 1+? =-2+o 2? (n to) ? n ? n 2n ? n ? 所以又Y oo 11? 1? 1? -In 1 + ? 2+o 2? (n to)? n ? 2n ? n ? 1 收斂2n 2 ? 1? 1? -In 1 + ?收斂 Y? n n ? n =1 五、總結(jié)與

18、展望 判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若 為0則發(fā)散，若不為0 則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若 級數(shù)的一般項可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可 以找到其等價式用等價判別法。當(dāng)通項具有一定的特點時， 則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法 或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積 分判別法、柯西判別法、庫默判別法或高斯判別法。庫默爾 判別法可以推出比值判別法、 拉貝爾判別法與伯爾特昂判別 法。當(dāng)無法使用根式判別法時，通常可以選用比值判別法， 當(dāng)比值判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別 法還是無法判別時再使用充要條件進(jìn)行斷。由此，我們可以 得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法 無法判斷時，就出現(xiàn)一種新的判別法來進(jìn)行判斷，因此正項 級數(shù)的判別法有無窮多種。 正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定 的技巧，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn) 行判斷，能夠最大限度的節(jié)正項級數(shù)收斂性判別法的比較及 其應(yīng)用約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型 方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項級數(shù)收斂