粱昆淼第四版數學物理方法第10章

1、第十章第十章 球函數球函數10.2 10.2 連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程10.1 10.1 軸對稱球函數軸對稱球函數10.3 10.3 一般的球函數一般的球函數YllYY) 1(sin1)(sinsin1222稱為球函稱為球函數方程數方程)()sincos(),(mBmAY01) 1()1(222xmlldxdxdxd式中式中cosx連帶勒讓德連帶勒讓德方程方程勒讓德方程勒讓德方程m=0m=00) 1()1(2lldxdxdxd0u球坐標系中球坐標系中0) 1(2222RlldrdRrdrRdr10.1 10.1 軸對稱球函數軸對稱球函數勒讓德勒讓德方程方程m=0,m=0, = =常數常數,

2、 ,軸對稱軸對稱0) 1()1(2lldxdxdxd( (一）、勒讓德多項式一）、勒讓德多項式kkakkkklla) 1)(2() 1() 1(2勒讓德方程的級數解勒讓德方程的級數解0212) 1(alla1323 2) 1(alla0)(kkkxaxy勒讓德方程勒讓德方程0) 1()1(2ylldxdyxdxdkkakkkklla) 1)(2() 1() 1(2勒讓德方程的級數解勒讓德方程的級數解0)(kkkxaxy2) 1() 1() 1)(2(kkakkllkka2) 1() 1() 1)(2(kallkkkk在在 x= 1 處處勒讓德方程有自然邊界條件，勒讓德方程的勒讓德方程有自然邊界

3、條件，勒讓德方程的級數解若能退化為多項式，則發(fā)散問題解決，滿足條件級數解若能退化為多項式，則發(fā)散問題解決，滿足條件為軸對稱球函數為軸對稱球函數lkkklxaxP0)(2) 1() 1() 1)(2(kkallkkkka)()(),(Y)(xPl為勒讓德多項式為勒讓德多項式l 為最高項為最高項, 設設2) !(2)!2(llallllallla) 12)(2() 1(22) !(2)!2() 12)(2() 1(llllll)!2()!1(2)!22() 1(llll2) 1)() 1)(2(kalklkkk)(2) 1)() 1)(2(kkalklkkkal 為最高項為最高項, 設設2) !(

4、2)!2(llall)!2()!1(2)!22() 1(2lllall24) 32)(4() 3)(2(llallla)!4()!2(2! 2)!42() 1(2llll46)52)(6()5)(4(llallla)!6()!3(2! 3)!62() 1(3llll)!2()!(2!)!22() 1(2nlnlnnlalnnl（ l 為偶數）為偶數）)!2()!(2!)!22() 1(2nlnlnnlalnnllkkklxaxP0)(2/02)!2()!(2!)!22() 1(lkkllkxklklkkl2, 2 , 1 , 0ln2l2/ l2/ ) 1( l（ l 為奇數）為奇數）l /2

5、表示不超過表示不超過 l /2的最大整數的最大整數2/02)!2()!(2!)!22() 1()(lkkllklxklklkklxP2l2/ l2/ ) 1( l1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxPcos) 12cos3(41)cos33cos5(812/02)!2()!(2!)!22() 1()(lkkllklxklklkklxP0)0(12nP!2 !2)!2() 1()0(2nnnPnnnn1) 1 (lPnl2 )( xPl)(xPl12 nl )( xPl)(xPlllP) 1() 1( (二）、勒讓德多項式的微分式二）、勒讓德多項式的微

6、分式證明：證明：lllllxdxdlxP) 1(!21)(2knkknnbaknknba0)!( !)(lkklklxklklx0222)!( !) 1() 1(lkklklllllllxklkldxdlxdxdl0222)!( !) 1(!21) 1(!21lkklklllllllxklkldxdlxdxdl0222)!( !) 1(!21) 1(!212/02)!(2!) 12() 122)(22() 1(lkkllkxklkklklkl)()!2()!(2!)!22() 1(2/02xPxklklkklllkkllk( (三）、勒讓德多項式的積分式三）、勒讓德多項式的積分式證明：證明：C

7、lllldzxzzixP12)()1(2121)(lzzf) 1()(2Cllllldzilzdzd122)() 1(2!) 1(令令由柯西由柯西定理定理即有即有Cllllldxilxdxd122)() 1(2!) 1(ClllldzxzzixP12)()1(2121)(而而Cllllldxilxdxd122)() 1(2!) 1(lllllxdxdlxP) 1(!21)(2ClllldzxzzixP12)()1(2121)( (四）、勒讓德多項式的正交性四）、勒讓德多項式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPlk)(0sin)(cos)(cos11lkdPPlk( (五）、勒讓德多項式

8、的模五）、勒讓德多項式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNll2112 )(dxxPNll2112 )(dxdxxddxxdllllllll11222) 1() 1() !2(11112122) 1() 1() !2(1llllllldxxdddxxdl11121222) 1() 1() !2(1lllllllldxxdddxxdlN11121221112122)1()1() !2(1)1()1() !2(1dxdxxddxxddxdldxxddxxdlllllllllllllll11121222) 1() 1() !2(10dxdxxddxxddxdlNllllllll0)

9、 1(12xx0) 1(11121llldxxd上式以上式以x= 1為一級零點為一級零點111212212) 1() 1() !2() 1(dxdxxddxxddxdlNllllllll1122222) 1() 1() !2() 1(dxdxxdxlllllll)!2() 1(222ldxxdlll11222) 1() !2()!2() 1(dxxllNllll因為因為11222) 1() !2()!2() 1(dxxllNllll分部分部積分積分112) 1() 1() !2()!2() 1(dxxxllllll11112) 1() 1(1) 1() !2()!2() 1(dxxxlllll

10、lll11202) 1() 1(21211) 1() !2()!2() 1(dxxxlllllllllll122l1222lNl122lNl), 2 , 1 , 0(l( (六）、廣義六）、廣義FourierFourier級數級數系數系數0)()(lllxPfxfdxxfxPNflll112)()(1dxxfxPll11)()(212系數系數0)()(lllxPfxfdxxfxPlfll11)()(212系數系數0)(cos)(lllPfxfdfPlfll0sin)()(cos212積分帶全重積分帶全重sinsin 例：以勒讓德多項式為基，在例：以勒讓德多項式為基，在-1-1，11上把上把f(

11、x)=2x3+3x2+4 展開為廣義傅里葉級數展開為廣義傅里葉級數)()()()(4323322110023xPfxPfxPfxPfxx系數系數解：解：1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxP因為因為)35(21) 13(2143233221023xxfxfxffxx02120ff40f例：以勒讓德多項式為基，在例：以勒讓德多項式為基，在-1-1，11上把上把f(x)= x 展開為廣義傅里葉級數展開為廣義傅里葉級數系數系數解：解：dxxfxPlfll11)()(2120)()(lllxPfxfdxxxPldxxPxlflll1001)(212)()(2

12、12dxxxPldxxPxlll1010)(212)(212dxxPxPxlll)()(21210nl2 )( xPl)(xPl12 nl )( xPl)(xPldxxPxPxlflll)()(21210dxxPxlfnn)(22122102dxxPxnn)()14(210012nflllllxdxdlxP) 1(!21)(2dxxdxdnxnnnnn2222210)1()!2(21)14(dxxPxf)(0100dxx102/1dxxdxdnxnfnnnnn22222102)1()!2(21)14() 1() 1()!2(2) 14(10221212102212122dxxdxdxdxdxn

13、nnnnnnnn0) 1(12xx0) 1(10122212nnndxxdx因為因為1022121222) 1()!2(2) 14(dxxdxdnnfnnnnn102222222) 1()!2(2) 14(nnnnxdxdnn上式以上式以x= 1為一級零點為一級零點上式以上式以x= 1為二級零點為二級零點1022222222) 1()!2(2) 14(nnnnnxdxdnnf022222222) 1()!2(2) 14(xnnnnnxdxdnnfkknnknxkknnx) 1()(!)!2()!2() 1(222022而而02220222222) 1()(!)!2()!2()!2(2) 14(

14、xkknnknnnnxkknndxdnnfknn24221nk02220222222) 1()(!)!2()!2()!2(2) 14(xkknnknnnnxkknndxdnnfknn24221nk) 1()!1()!1()!2()!2(2) 14(122222222nnnnnnxnnndxdnnf)!2(2)!22)(14()!1()!1()!2() 1(21nnnnnnnnnnnnnn212)!1()!1()!22)(14() 1(210fnnnnnnnf2122)!1()!1()!22)(14() 1(210f)(2)!1()!1()!22)(14() 1()(2121210 xPnnnn

15、xPxnnnn( (七）、勒讓德多項式的母函數七）、勒讓德多項式的母函數設設N點放一電量為點放一電量為 q= 40 的電的電荷，荷，單位球單位球內任意點內任意點M處的電勢為處的電勢為),(),(rvrvdroMqNzdq04d12cos211rr1,2112xrrxcosx令令1r單位球單位球droMqNz1,211),(2xrrxrv而而球坐標球坐標系中系中0v其中其中),()(),(YrRrv)()(rR0) 1(2222RlldrdRrdrRdr) 1()(llBrArrR1,211),(2xrrxrv球坐標系中球坐標系中其中其中)()(),(rRrv) 1()(llBrArrR0) 1

16、()1(2lldxdxdxd滿足勒讓滿足勒讓德方程德方程而而)(coslP)(cos211),(0)1(2llllllPrBrArrxrv球內電勢有限球內電勢有限取取 x=1,)(cos2110)1(2llllllPrBrArrx0lB)(cos21102llllPrArrx1) 1 (lP因為011lllrAr于是于是)2 , 1 , 0(1lAl同理球外電勢有限同理球外電勢有限1r)(cos21102llllPrArrx)2 , 1 , 0(1lAl)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1r2cos21/1rr稱為勒讓德多項式的母函數稱為勒讓德

17、多項式的母函數對于半徑為對于半徑為R R的球的球1r)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1rRr )(coscos210122llllPRrrrRR)(coscos210122llllPrRrrRRRr ( (八）、勒讓德多項式的遞推關系八）、勒讓德多項式的遞推關系有遞推關系有遞推關系0) 1()1(2lldxdxdxd勒讓德方程勒讓德方程0)()() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll證明：證明：)(21102lllxPrrrx兩邊對兩邊對 r 求導求導)()21)(012/32lllxPlrrrxrx有遞推關系有遞推關系0)()

18、() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll兩邊乘以兩邊乘以兩邊對兩邊對 r 求導求導)()21)(012/32lllxPlrrrxrx221rrx)()21 ()21)(0122/ 12lllxPlrrrxrrxrx)()21 ()()(0120llllllxPlrrrxxPrrx比較比較 r l 同冪次同冪次)() 1()(2)() 1()()(111xPlxlxPxPlxPxxPlllll有遞推關系有遞推關系例：求積分例：求積分解：解：dxxPxxPkl11)()(遞推關系遞推關系0)()() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll)() 1()(121)(11xPl

19、xlPlxxPllldxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxPlldxxPxPllklkl111111)()(121)()(12112212kllll2 1) 1(2) 1(2kk) 1(kl1122121kllll1422kk) 1(kl例：勻強電場例：勻強電場 E0 0 中，放一接地導體球，球半徑中，放一接地導體球，球半徑為為a, ,求球外電場。求球外電場。選擇極坐標討論選擇極坐標討論解：解：0u0aru電勢電勢u滿足滿足Laplace方程方

20、程定解問題：定解問題：邊界條件：邊界條件：（接地）（接地）無限遠處為勻強電場無限遠處為勻強電場rErzu0Ez設在導體未放入前，設在導體未放入前，r=0 處處 u=u000uzEur0u0aru定解問題：定解問題：邊界條件：邊界條件：軸對稱軸對稱故故00uzEur)()(rRu解為解為)(cos),(0)1(llllllPrBrAru由邊界條由邊界條件（件（1）得）得12 lllaAB)(cos),(0)1(12llllllPrarAru0u0aru定解問題：定解問題：邊界條件：邊界條件：展開求系數展開求系數00uzEur由邊界條由邊界條件（件（2）得）得)(cos),(0)1(12lllll

21、lPrarAru000)(cosuzEPrAllll00cosurE展開展開求系求系數數000cos)(cosurEPrAllllcos)(cos)(cos)(cos102221100rAAPrArPAPA00uA 01EA) 1 , 0(, 0lAl)(cos),(0)1(12llllllPrarArvcoscos023000ErarEurau00cosurE例：勻強電場例：勻強電場 E0 0 中，放一均勻介質球，球半徑為中，放一均勻介質球，球半徑為a, ,相對相對介電常數為介電常數為 ，求球外電場。求球外電場。選擇極坐標討論選擇極坐標討論解：解：)(0aru內1）、球內電勢）、球內電勢u滿

22、足滿足Laplace方程方程定解問題：定解問題：z)(cos),(0)1(llllllPrBrAru內)(cos0llllPrA)(0aru外2）、球外電勢）、球外電勢u滿足滿足Laplace方程方程定解問題：定解問題：無限遠處為勻強電場無限遠處為勻強電場rErzu0Ez設在導體未放入前，設在導體未放入前，r=0 處處 u=u000uzEur)(cos),(0)1(llllllPrDrCru外000)(cosuzEPrCllll解為解為3）、銜接）、銜接條件條件000)(cosuzEPrCllll00cosurE00uC 01EC) 1 , 0(, 0lCl)(cos),(0)1(llllll

23、PrDrCru外)(coscos0)1(00llllPrDurEararuu外內ararDD外內比較系數比較系數)(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA3）、銜接條件）、銜接條件araruu外內ararDD外內ararrruru外內00)(cos) 1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA比較系數比較系數)(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA)(cos) 1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1(

24、 llllaDaA)2(1) 1(llllraDlalA)0( l1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1( llllaDaA)2(1) 1(llllraDlalA)0( l00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lA00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lAcos2300rEuur內cos121cos20300rEarEuurr外例：在點電荷例：在點電荷 40 q 的電場中放置于、的電場中放置于、接地導體球，球半徑為接地導體球，球半徑為a，球，球內球心與內球心與點電荷相距為點電荷相距為r1(r1a)。求靜電場求靜電場),(c

25、os2),(2121rvrrrrqruv由感應電荷引起由感應電荷引起2rroq04a1r解：解：0u0raruu0v2121cos2aarrqvar0rv2rroq04a1r導體球外導體球外)(cos),(0) 1(llllllPrDrCrv0rv)(cos),(0) 1(llllPrDrv由邊界條件得由邊界條件得21210) 1(cos2)(cosaarrqPaDllll)(coscos210122llllPrRrrRRRr 21210) 1(cos2)(cosaarrqPaDllll用母函數關系用母函數關系)(cos)(cos0110) 1(llllllllPraqPaD1112lllra

26、qD),(cos2),(2121rvrrrrqru)(cos),(0) 1(llllPrDrv1112lllraqD)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru)(cos)()(cos0) 1(1210) 1(1112lllllllllPrraraqPrraq)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru)(cos)()(cos0) 1(1210) 1(1112lllllllllPrraraqPrraq)(coscos210122llllPrRrrRR用母函用母函數關系數關系2122120) 1(12cos)(2)(

27、1)(cos)(rrarraPrrallll)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru21221210) 1(121cos)(2)(/)(cos)(rrarrarqaPrraraqllll21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqru21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqru2122121cos)(2)(/),(rrarrarqarv這相當于電量為這相當于電量為 -40 qa/r1 的電荷的電荷放置在球心與本來那個點電荷的聯(lián)放置在球心與本來那個點電荷的聯(lián)線上，到球心的距

28、離為線上，到球心的距離為r0=a2/r1(a)。這個假想的電荷叫原電荷的電像這個假想的電荷叫原電荷的電像2rroq04a1r例：求積分例：求積分解：解：dxxPl11)(0dxxPl11)(dxxPxPl110)()(20l0l10.2 10.2 連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程01) 1()1(222xmlldxdxdxd令令cosx連帶勒讓德連帶勒讓德方程方程（一）、連帶勒讓德函數（一）、連帶勒讓德函數（1 1）、連帶勒讓德函數的表示式）、連帶勒讓德函數的表示式令令)()1 (2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1 ()1 (01) 1()1(222xmlldxdxdxd

29、cosx)()1 (2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1 ()1 (yxxmmyxmxyxmyxdxdmmmm22221221222/222)1)(2()1 ()1 (2 )1 (0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx為勒讓德方程逐項微分為勒讓德方程逐項微分m次的結果次的結果因為勒讓德方程因為勒讓德方程0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx為勒讓德方程逐項微分為勒讓德方程逐項微分m次的結果次的結果0)() 1(2)( )1 (2xPllxPxPxlll微分一次微分一次0)( )11 ( 1) 1( )11 (2)( )1 (2xPll

30、PxxPxlll再微分一次再微分一次0)( )12( 2) 1()12(2)( )1 (2xPllPxxPxlll微分微分m次次正是勒讓德方程逐項微分正是勒讓德方程逐項微分m次的結果次的結果0)( )12( 2) 1()12(2)( )1 (2xPllPxxPxlll微分微分m次次0)()1() 1()() 1(2)()1 (2xPmmllxPxmxPxmlmlml0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx是方程是方程)(xPml的特解的特解)()(xPxyml)()1 (2/2xyxm0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx的特解的特解)()(xPxyml)()

31、1 (2/2xPxmlm稱為連帶勒稱為連帶勒讓德函數讓德函數連帶勒讓德函數的本征值為連帶勒讓德函數的本征值為), 2 , 1 , 0() 1(lll)(xPml所以所以 l m., 2 , 1 , 0lm)()1 (2/2xyxm)()1 (2/2xPxmlm稱為連帶勒稱為連帶勒讓德函數讓德函數.), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(lml)(xPl令令為連帶勒讓德函數為連帶勒讓德函數)()(00 xPxPll)( )1 ()(12/1211xPxxP2/12)1 (xsin)( )1 ()(22/1212xPxxP2sin23)3()1 (2/12xx)()1 ()(2222xPx

32、xP)1 ( 32x)2cos1 (23)()1 ()(2/2xPxxPmlmml(2(2）、連帶勒讓德多項式的微分式）、連帶勒讓德多項式的微分式而而)()1 ()(2/2xPxxPmlmmllmlmllmmlxdxdlxxP) 1(!21)1 ()(22/2mllmlmllmlmmlmldxxddxxdxxPxP/) 1(/) 1()1 ()()(222lmlmllmxdxdlx) 1(!21)1 (22/2)!()!() 1(mlmlm稱為羅稱為羅得里格得里格斯公式斯公式)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmmlPlm 與與 Pl-m相關相關(3(3）、連帶勒讓德多項式的積分式

33、）、連帶勒讓德多項式的積分式Cmlllmdzxzzilmlx1222/2)() 1(21!2)!()1 ()()1 ()(2/2xPxxPmlmml/ )() 1(2121)1 (1222/2mClllmmdxdzxzzidx( (二）、連帶勒讓德多項式的正交性二）、連帶勒讓德多項式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPmkml)(0sin)(cos)(cos0lkdPPmlmk( (三）、連帶勒讓德多項式的模三）、連帶勒讓德多項式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNmlml2112 )()(dxxPNmlml2112 )()()()!()!() 1()(xPmlmlx

34、Pmlmml利用利用dxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!() 1()(11211222) 1() 1() !2(1)!()!() 1(dxdxxddxxdlmlmlmllmlmllmllmdxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!() 1()(112分部積分分部積分122)!()!()(2lmlmlNml122)!()!(lmlmlNml模模( (四）、廣義四）、廣義FourierFourier級數級數系數系數0)()(lmllxPfxfdxxfxPNfmlmll112)()()(1dxxfxPmlmllml11)()()!()!(212系數系數0)(cos)(l

35、mllPfxfdfPmlmllfmll0sin)()(cos)!()!(212積分帶全積分帶全重重sinsin 例：以例：以 （l=0,1,2,3)為基，在為基，在x的區(qū)間的區(qū)間-1，1上上將函數將函數f(x)=sin2x=1-x2 展開為展開為廣義廣義FourierFourier級數級數解：解：)(2xPl事實上事實上2m2 ml0)()(lmllxPfxfdxxfxPNfmlll1122)()()(12)(lmllxPfxxP222sin3)()(31)(22xPxf例：球半徑為例：球半徑為a的球形區(qū)域內沒有電荷，球面上的電勢為的球形區(qū)域內沒有電荷，球面上的電勢為u0 0sinsin2 2

36、 coscos sinsin ，u0 0為常數為常數，求求球形區(qū)域內的電勢球形區(qū)域內的電勢。解：解：0usincossinu20aru定解問題：定解問題：一般解為一般解為有限0rur=0 處處 u=有限有限)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru00)1()(cossincosllmmlmlmllPmDmCr0usincossinu20aru定解問題：定解問題：球內解為球內解為利用邊利用邊界條件界條件)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArrusincossinu)(cossincos2000llmmlmlmllPmBmA

37、a)(cossincosu31220P)(cos2sinu61220P)(cos2sinu61)(cossincos22000PPmBmAallmmlmlmll比較比較兩邊兩邊系數系數0222u61Ba0222u61aB )2, 2(0mlBml0mlA)(cos2sinu61),(22202Praru（一）、球函數（一）、球函數（1 1）、球函數的表示式）、球函數的表示式10.3 10.3 一般球函數一般球函數YllYY) 1(sin1)(sinsin1222)sincos)(),(mBmAY)cossin)(cosmmPml記號記號 例舉的函數是線性獨立的，可任取其一，例舉的函數是線性獨立

38、的，可任取其一，l為階為階),(mlY.), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(lml（2 2）、復數形式的球函數表示式）、復數形式的球函數表示式)sincos)(cos),(mBmAPYmlml), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(llm也可表示為復數形式的球函數表示式也可表示為復數形式的球函數表示式)(cos),(imimmlmleBeAPY), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0, 1,(llllmimimeBeAmBmAsincosimmleP)(cosY( , )有有 2l+1 個獨立的個獨立的球函數球函數m 0有有 l個個mPmlcos)(cosm 0有有

39、l個個mPmlsin)(cosm= 0有有 1個個)(cos)(cos0llPP對于對于 m0 的復冪項的復冪項immlimmlePeP)(cos)(cos表示表示復數形復數形式式的的球函數球函數)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmml由于由于Plm 與與 Pl-m線性線性相關相關相關與)(cos)(cosmlmlPPimmlmlePY)(cos),(故用故用)cossin)(cos),(mmPYmlml( (二）、球函數的正交性二）、球函數的正交性因為因為)(0sin),(),(*lkddYYSnlmk0)cossin)cossin)()(2011dnnmmdxxPxPnlmk

40、)(nmlk或)(nmlk或復數形式復數形式0)()(2011deedxxPxPinimnkml( (三）、球函數的模三）、球函數的模ddYNSmlmlsin),()(22利用利用2022211)cossin )(dmmdxxPml)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm（1 1）、三角函數形式的模）、三角函數形式的模令令)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm)0(1mm)0(2mmdm202cos)0(sin202mdm20222112)cossin )()(dmmdxxPNmlml考慮到考慮到122)!()!( )(21

41、1lmlmldxxPml模模mdmm2022)cossin122)!()!()(2lmlmlNmml122)!()!(lmlmlNmml（2 2）、復數形式的模）、復數形式的模ddYNSmlmlsin),()(2220*211 )(deedxxPimimmldxxPml211 )(2124)!()!()(2lmlmlNml124)!()!(lmlmlNml( (四）、廣義四）、廣義FourierFourier級數級數系數系數00)sincos)(cos),(llmmlmlmlmBmAPfddmPfmlmllmlmcossin)(cos),()!()!(212020 ddmPfmlmllBmlm

42、lsinsin)(cos),()!()!(212020 dxdmxPxfmlmllAmlmmlcos)(),()!()!(2122011 廣義廣義FourierFourier級數（復數形式）級數（復數形式）系數系數0)(cos),(lllmimmlmlePCfddePfmlmllCimmlml 020sin)(cos),()!()!(412( (五）、正交歸一化球函數五）、正交歸一化球函數immlmlePY)(cos),(令令),(1mlmllmYNYimmlePmlmll)(cos)!()!(412124)!()!(lmlmlNmlddYYnkml 0*20sin),(),(ddeePPNNinimnkmlnkml 020sin)(cos)(cos1mnlk正交歸一正交歸一系數系數0)(cos),(ll